数值分析4牛顿迭代法课件.ppt
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- 关 键 词:
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1、1/25*lim()nnxx 0101()()nnxxxxx 不动点框架不动点框架:8:16收敛性收敛性 收敛速度收敛速度(1)()(*)(*)(*)0 (*)0rrxxxx|()|1x 2/25数值分析4Newton迭代格式迭代格式Newton迭代法的收敛性迭代法的收敛性Newton迭代法收敛速度迭代法收敛速度弦截法迭代格式弦截法迭代格式8:163/258:16Nature and Nature law lay hid in night.God said,Let Newton be,and all was light.Alexander Pope4/25()()()xxx f xx*()1(
2、)()0 xxfx*()0,()1/()fxxfx 如如果果取取1:()/()nnnnxxf xfx 牛牛顿顿迭迭代代法法给定初值给定初值 x0,迭代产生数列迭代产生数列x0,x1,x2,xn,8:165/25设设 x*是方程是方程 f(x)=0 的根的根,x0是是x*的近似值。的近似值。在在 x0 附近对函数做附近对函数做局部线性化局部线性化)()()(000 xxxfxfxf x1比比x0更接近于更接近于x*x0 x1x*0)()(000 xxxfxf f(x)=0 )()(0001xfxfxx 化难为易化繁为简8:166/25应用应用求正数平方根算法求正数平方根算法设设C 0,Cx x2
3、 C=0令令 f(x)=x2 C,则则xxf2)(nnnnxCxxx221 211nnnxCxx 8:167/25初值初值:x0=1.5迭代格式迭代格式:xn+1=0.5(xn+2/xn)(n=0,1,2,)例例1.平方根算法求平方根算法求2 xn|en|1.416666666666667 2.45e-0031.414215686274510 2.12e-0061.414213562374690 1.59e-0121.414213562373095 2.22e-0161.414213562373095 2.22e-016表表1 1 平方根算法实验平方根算法实验8:168/25收敛性收敛性:(1
4、)符合不动点框架符合不动点框架00,2 (1)()nxxn只只有有界界要要112222nnnxxx 22121(2)22nnnnxxxx8:16(2)从序列收敛的角度从序列收敛的角度(单调有界序列单调有界序列)21212=0 2(2)nnnnnnnxxxxxxx 单单调调下下降降9/25由此可知由此可知平方根算法具有平方根算法具有 2 阶收敛速度。阶收敛速度。nnnxxx21)2(221 221|2|2|lim21 nnnxx222121 nnnxxx22121(2)22nnnnxxxx2lim nnx思考思考:如何求倒数、平方根和立方根?如何求倒数、平方根和立方根?10/25Newton迭代
5、法的局部收敛性迭代法的局部收敛性定理定理2.7 设设 f(x)在点在点x*的某邻域内具有二阶连的某邻域内具有二阶连续续导数导数,且且 f(x*)=0和和 f(x*)0,则对充分靠近则对充分靠近点点x*的初值的初值x0,Newton迭代法迭代法至少平方至少平方收敛收敛。)()(1nnnnxfxfxx )()()(xfxfxx *2()()()/(0)1 xf xfxfx 收收敛敛所以所以Newton迭代法至少平方收敛。迭代法至少平方收敛。)()()(*xfxfx 8:1611/25例例2.求求 x3+10 x 20=0 在在 x0=1.5 附近的根附近的根解解:取取2010)(3 xxxf312
6、1020310nnnnnxxxxx 牛顿迭代格式牛顿迭代格式则有则有103)(2 xxfn xn|en|0 1.51 1.59701492537 0.002452808741981 2 1.59456374876 1.632137654805e-063 1.59456211663 7.227551890309e-134 1.59456211663 2.220446049250e-16 表表2 2 牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验8:1612/25注释注释1:为了二次收敛有意义我们需要为了二次收敛有意义我们需要f(x)相除相除,这这个假设是关键的。个假设是关键的。f(x)=x3 3x+2=0在在x*
7、=1附近附近0)(xf8:161:()/()nnnnxxf xf x 牛牛顿顿迭迭代代法法13/25x*x0 x0 x0Newton方法收敛性依赖于方法收敛性依赖于x0 的选取。存的选取。存在在 x0使使Newton迭代法陷入死循环。迭代法陷入死循环。注释注释2:8:1614/25Newton迭代法的变型弦截法迭代法的变型弦截法)()()()(111 nnnnnnnxxxfxfxfxx)()(1nnnnxfxfxx 1-1()()()nnnnnf xf xfxxx 由于由于代入牛顿迭代格式代入牛顿迭代格式x0 x18:1615/25n xn|en|en+1|/|en|1.6181 -1.5 5
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