2020届高考数学(理)一轮复习讲义 4.6 正弦定理和余弦定理.docx

1、公众号码：王校长资源站4.6正弦定理和余弦定理最新考纲考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识题型多样，中档难度.1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(3)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(4)sin A，sin B，sin C

2、；(5)abcsin Asin Bsin C；(6)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(7)cos A；cos B；cos C2在ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)概念方法微思考1在ABC中，AB是否可推出sin Asin B?提示在ABC中，由AB可推出sin Asin B.2如图，在ABC中，有如下结论：bc

3、os Cccos Ba.试类比写出另外两个式子提示acos Bbcos Ac；acos Cccos Ab.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，.()(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()题组二教材改编2在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为 答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角

4、形或直角三角形3在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积为 答案2解析，sin B1，B90，AB2，SABC222.题组三易错自纠4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcos A，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形答案A解析由已知及正弦定理得sin Csin Bcos A，sin(AB)sin Bcos A，sin Acos Bcos Asin B0，cos B1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在6(2018包头模拟)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则C .答案解析由3

5、sin A5sin B及正弦定理，得3a5b.又因为bc2a，所以ab，cb，所以cos C.因为C(0，)，所以C.题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1 (2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，

6、可得sin A.因为ac，所以cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系跟踪训练1 (1)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，则A

7、等于()A. B. C. D.答案C解析在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，bc，a22b2(1cos A)，又a22b2(1sin A)，cos Asin A，tan A1，A(0，)，A，故选C.(2)如图所示，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sin C的值为 答案解析设ABa，ABAD,2ABBD，BC2BD，ADa，BD，BC.在ABD中，cosADB，sinADB，sinBDC.在BDC中，sin C.题型二和三角形面积有关的问题例2 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；

8、(2)若ABC的面积S，求角A的大小(1)证明由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)解由S，得absin C，故有sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B，由sin B0，得sin Ccos B.又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.思维升华 (1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A

9、，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化跟踪训练2 (1)(2018沈阳质检)若AB2，ACBC，则SABC的最大值为()A2 B. C. D3答案A解析设BCx，则ACx.根据三角形的面积公式，得SABCABBCsin Bx.根据余弦定理，得cos B.将代入，得SABCx.由三角形的三边关系，得解得22x0，sin A1，即A，ABC为直角三角形引申探究1本例(2)中，若将条件变为2sin Acos Bsin C，判断ABC的形状解2sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin Acos Bcos

10、 Asin B，sin(AB)0.又A，B为ABC的内角AB，ABC为等腰三角形2本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状解a2b2c2ab，cos C，又0Cc，可得30B180，B60或B120.3(2018丹东模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2Asin A，bc2，则ABC的面积为()A. B. C1 D2答案A解析由cos 2Asin A，得12sin2Asin A，解得sin A(负值舍去)，由bc2，可得ABC的面积Sbcsin A2.4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向

11、量m，n，p共线，则ABC的形状为()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案A解析向量m，n共线，acos bcos .由正弦定理得sin Acos sin Bcos .2sin cos cos2sin cos cos .则sin sin .0，0，即AB.同理可得BC.ABC的形状为等边三角形故选A.5(2018本溪质检)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C，bcos Aacos B2，则ABC的外接圆面积为()A4 B8 C9 D36答案C解析cbcos Aacos B2，由cos C，得sin C，再由正弦定理可得2R6，R3，所以ABC的

12、外接圆面积为R29，故选C.6(2018乌海模拟)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若SABC2，ab6，2cos C，则c等于()A2 B4 C2 D3答案C解析2cos C，由正弦定理，得sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos C，sin(AB)sin C2sin Ccos C，由于0C，sin C0，cos C，C，SABC2absin Cab，ab8，又ab6，解得或c2a2b22abcos C416812，c2，故选C.7(2018通辽模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为 答案或

13、解析由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos Btan B，sin B，又0B，B或.8设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b .答案1解析因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，BC，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.9ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为 答案1解析b2，B，C.由正弦定理，得c2，A，sin Asinsin cos cos sin .则SABCbcsin A221.10(2018锦州质检)若E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF .答案解析

14、如图，设AB6，则AEEFFB2.因为ABC为等腰直角三角形，所以ACBC3.在ACE中，A，AE2，AC3，由余弦定理可得CE.同理，在BCF中可得CF.在CEF中，由余弦定理得cosECF，sinECF，所以tanECF.11在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acb，sin Bsin C.(1)求cos A的值；(2)求cos的值解(1)在ABC中，由及sin Bsin C，可得bc，又由acb，得a2c，所以cos A.(2)在ABC中，由cos A，可得sin A.于是cos 2A2cos2A1，sin 2A2sin Acos A.所以coscos 2Acos s

15、in 2Asin .12(2018北京)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC边上的高解(1)在ABC中，因为cos B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由题设知B，所以0A，所以A.(2)在ABC中，因为sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以AC边上的高为asin C7.13在ABC中，a2b2c22absin C，则ABC的形状是()A不等腰的直角三角形B等腰直角三角形C钝角三角形D正三角形答案D解析易知a2b2c2a2b2a2b22abcos C2absin C，即a2b22absin，由于a2b22ab，当且仅当ab时取等号

16、，所以2absin2ab，sin1，故只能ab且C，所以ABC为正三角形14已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，a3，则ABC的周长的最大值为()A2 B6 C. D9答案D解析a2b2c2bc，bcb2c2a2，cos A，A(0，)，A.a3，由正弦定理得2，b2 sin B，c2 sin C，则abc32sin B2 sin C32sin B2sin33sin B3cos B36sin，B，当B时周长取得最大值9.15在ABC中，C60，且2，则ABC面积S的最大值为 答案解析由C60及2，可得c.由余弦定理得3b2a2abab(当且仅当ab时取等号)

17、，Sabsin C3，ABC的面积S的最大值为.16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2(bc)2(2)bc，且sin B1cos C，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积解(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2b2c2bc，即b2c2a2bc，cos A，又0A，A.又sin B1cos C,0sin B1，cos C0，即C为钝角，B为锐角，且BC，则sin1cos C，化简得cos1，解得C，B.(2)由(1)知，ab，sin C，cos C，在ACM中，由余弦定理得AM2b222bcos Cb2()2，解得b2，故SABCabsin C22.公众号码：王校长资源站