2020届高考数学(理)一轮复习讲义 2.1　函数及其表示.docx

1、2.1函数及其表示最新考纲考情考向分析1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.1函数的基本概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域函

2、数yf(x)，xA中，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合y|yf(x)，xA叫做这个函数的值域(3)确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则2设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)于是yf(x)，x称作y的原象映射f也可记为：f：AB，xf(x)其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)3函数解析式的求法求函数解析式常用方法：待定系数法、换元法、配凑法

3、、消去法4函数的表示法(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型提示(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f：AB，其值域就是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()(3)函数f(x)的图象与直线x1最多有一个交点()(4)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()(

4、5)分段函数是由两个或几个函数组成的()题组二教材改编2函数f(x)的定义域是_答案(，1)(1,43函数yf(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_答案3,02,31,51,2)(4,5题组三易错自纠4已知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是_(填序号)f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy.答案解析对于，因为当x4时，y4Q，所以不是从P到Q的函数5已知f()x1，则f(x)_.答案x21(x0)解析令t，则t0，xt2，所以f(t)t21(t0)，即f(x)x21(x0)6设函数f(

5、x)则使得f(x)1的自变量x的取值范围为_答案(，20,10解析f(x)是分段函数，f(x)1应分段求解当x1时，f(x)1(x1)21x2或x0，x2或0x0，所以函数f(x)的定义域为x|x2(2)函数f(x)ln的定义域为_答案4,0)(0,1)解析由解得4x0或0x1，故函数f(x)的定义域为4,0)(0,1)(3)若函数yf(x)的定义域是0,2 020，则函数g(x)的定义域是()A1,2 019 B1,1)(1,2 019C0,2 020 D1,1)(1,2 020答案B解析使函数f(x1)有意义，则0x12 020，解得1x2 019，故函数f(x1)的定义域为1，2 019

6、所以函数g(x)有意义的条件是 解得1x1或1x2 019.故函数g(x)的定义域为1,1)(1,2 019引申探究本例(3)中，若将“函数yf(x)的定义域为0,2 020”，改为“函数f(x1)的定义域为0,2 020”，则函数g(x)的定义域为_答案2,1)(1,2 018解析由函数f(x1)的定义域为0,2 020，得函数yf(x)的定义域为1,2 019，令则2x2 018且x1.所以函数g(x)的定义域为2,1)(1,2 018命题点2已知定义域求参数的值或范围例2(1)若函数f(x)的定义域为x|1x2，则ab的值为_答案解析函数f(x)的定义域是不等式ax2abxb0的解集不等

7、式ax2abxb0的解集为x|1x2，所以解得所以ab3.(2)设f(x)的定义域为0,1，要使函数f(xa)f(xa)有定义，则a的取值范围为_答案解析函数f(xa)f(xa)的定义域为a,1aa,1a，当a0时，应有a1a，即0a；当a0时，应有a1a，即a0.所以a的取值范围是.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍(2)求抽象函数的定义域若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域(3)已知函数

8、定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解跟踪训练1 (1)若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)的定义域是()A0,1) B0,1C0,1)(1,4 D(0,1)答案A解析函数yf(x)的定义域是0,2，要使函数g(x)有意义，可得解得0x1，故选A.(2)函数yln的定义域为_答案(0,1解析函数的定义域满足解得0x1.(3)记函数f(x)的定义域为A，g(x)lg(xa1)(2ax)(a1)的定义域为B.若BA，则实数a的取值范围为_答案(，2解析由已知得Ax|x1或x1，Bx|(xa1)(x2a)0，由a2a，Bx|2axa1BA，a11或2a1，a2或a

9、1.a的取值范围为a2或a1.题型二求函数的解析式1若f，则当x0，且x1时，f(x)等于()A. B. C. D.1答案B解析f(x)(x0且x1)2已知f(x)是二次函数且f(0)2，f(x1)f(x)x1，则f(x)_.答案x2x2解析设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx2x1，即2axabx1，即f(x)x2x2.3定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，则f(x)_.答案lg(x1)lg(1x)(1x1)解析当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)将x换成x，则x换成x，得2f

10、(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)(1x，所以x0，所以x2，当且仅当x，即x时取等号所以y，即原函数的值域为.思维升华 配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用均值不等式求解题型四分段函数命题点1求分段函数的函数值例3 (1)已知f(x)且f(0)2，f(1)3，则f(f(3)等于()A2 B2 C3 D3答案B解析由题意得f(0)a0b1b2，解得b1；f(1)a1ba1

11、13，解得a.故f(3)319，从而f(f(3)f(9)log392.(2)已知函数f(x)则f(2log32)的值为_答案解析2log312log322log33，即22log323，f(2log32)f(2log321)f(3log32)，又33log320，则|log2x|，解得x或x.故x的集合为.(2)已知函数f(x)若f(a)，则实数a的取值范围是_答案解析当a0时，令2a，解得10时，令，解得0a0时，1a1，由f(1a)f(1a)，可得2(1a)a(1a)2a，解得a，不合题意；当a1,1a1，由f(1a)f(1a)，可得(1a)2a2(1a)a，解得a，符合题意综上，a.(2

12、)(2018全国)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1,0) D(，0)答案D解析方法一当即x1时，f(x1)f(2x)即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集为(，1当时，不等式组无解当即1x0时，f(x1)f(2x)即122x，解得x0时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0)故选D.方法二f(x)函数f(x)的图象如图所示由图可知，当x10且2x0时，函数f(x)为减函数，故f(x1)2x.此时x1.当2x0时，f(2x)1，f(x1)1，满足f(x1)f(2x)此时1

13、x0.综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，1(1,0)(，0)故选D.1下列图象可以表示以Mx|0x1为定义域，以Ny|0y1为值域的函数的是()答案C解析A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确2下列各组函数中，表示同一函数的是()Af(x)eln x，g(x)xBf(x)，g(x)x2Cf(x)，g(x)sin xDf(x)|x|，g(x)答案D解析A，B，C的定义域不同，所以答案为D.3函数f(x)ln(3xx2)的定义域是()A(2，) B(3，)C(2,3) D(2,3)(3，)答案C解析由解得2x3，则该函数的定义域为(

14、2,3)，故选C.4(2018营口联考)若函数f(x21)的定义域为1,1，则f(lg x)的定义域为()A1,1 B1,2 C10,100 D0，lg 2答案C解析因为f(x21)的定义域为1,1，则1x1，故0x21，所以1x212.因为f(x21)与f(lg x)是同一个对应关系，所以1lg x2，故10x100，所以函数f(lg x)的定义域为10,100故选C.5已知f2x5，且f(a)6，则a等于()A B. C. D答案B解析令tx1，则x2t2，所以f(t)2(2t2)54t1，所以f(a)4a16，即a.6.如图，AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之

15、一圆的扇形，点P在线段AB上，PQAB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设APx(0x2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数yf(x)的大致图象是()答案A解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当0x1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快(2)当1x0，f(f(2)f(log29)333381243.故选B.9已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_.答案2x7解析设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)ax5ab，所以ax5ab2x17对任意实数x都成立，所以解得所以f(x)2x7.10函数y的

16、值域是_答案解析若x0，则y0；若x0，则y.故所求值域为.11(2018呼和浩特模拟)已知函数f(x)则不等式f(x)5的解集为_答案2,4解析由于f(x)当x0时，令3log2x5，即log2x2log24，解得0x4；当x0时，令x2x15，即(x3)(x2)0，解得2x3，2x0.不等式f(x)5的解集为2,412定义新运算“”：当mn时，mnm；当mf(t)，则实数t的取值范围是_答案(4,4)解析f(2)4，f(4)8，不等式f(f(2)f(t)可化为f(t)8.当t0时，2t8，得4t0；当t0时，t22t8，即(t1)29，得0t4.综上所述，t的取值范围是(4,4)14已知具

17、有性质：ff(x)的函数，我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数，下列函数：f(x)x；f(x)x；f(x)其中满足“倒负”变换的函数是_(填序号)答案解析对于，f(x)x，fxf(x)，满足；对于，fxf(x)，不满足；对于，f即f故ff(x)，满足综上，满足“倒负”变换的函数是.15已知函数f(x)满足对任意的xR都有ff4成立，则ffff_.答案30解析由ff4，得ff4，ff4，ff4，又f2，ffff47230.16.如图为一木制框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4 m2，设用x表示y的表达式为f(x)，则f(x)_.答案(0x4)解析由已知xyxx4，yx，即f(x).又得0x4.