2020届高考数学(理)一轮复习讲义 2.5 指数与指数函数.docx
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1、公众号码:王校长资源站2.5指数与指数函数最新考纲考情考向分析1.了解指数函数模型的实际背景2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,的指数函数的图象4.体会指数函数是一类重要的函数模型.直接考查指数函数的图象与性质;以指数函数为载体,考查函数与方程、不等式等交汇问题,题型一般为选择、填空题,中档难度.1分数指数幂(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是(a0,m,nN,且为既约分数);正数的负分数指数幂的意义是(a0,m,nN,且为既约分数);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有
2、意义(2)有理指数幂的运算性质:aaa,(a)a,(ab)ab,其中a0,b0,Q.2指数函数的图象与性质yaxa10a0时,y1;当x0时,0y0时,0y1;当x1(6)在(,)上是增函数(7)在(,)上是减函数概念方法微思考1如图是指数函数(1)yax,(2)ybx,(3)ycx,(4)ydx的图象,则a,b,c,d与1之间的大小关系为_提示cd1ab02结合指数函数yax(a0,a1)的图象和性质说明ax1(a0,a1)的解集跟a的取值有关提示当a1时,ax1的解集为x|x0;当0a1的解集为x|x0题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()na(nN)()
3、(2)分数指数幂可以理解为个a相乘()(3)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(4)若am0,且a1),则mn.()(5)函数y2x在R上为单调减函数()题组二教材改编2化简(x0,y0,且a1)的图象经过点P,则f(1)_.答案解析由题意知a2,所以a,所以f(x)x,所以f(1)1.4已知a,b,c,则a,b,c的大小关系是_答案cb,即ab1,又c1,cba.题组三易错自纠5计算:0_.答案2解析原式12.6若函数f(x)(a23)ax为指数函数,则a_.答案2解析由指数函数的定义可得解得a2.7若函数y(a21)x在(,)上为减函数,则实数a的取值范围是_答案(,1)(1,)解析
4、由题意知0a211,即1a22,得a1或1a0,a1)在1,2上的最大值比最小值大,则a的值为_答案或解析当0a1时,a2a,a或a0(舍去)综上所述,a或.题型一指数幂的运算1若实数a0,则下列等式成立的是()A(2)24 B2a3C(2)01 D答案D解析对于A,(2)2,故A错误;对于B,2a3,故B错误;对于C,(2)01,故C错误;对于D,故D正确2计算:10(2)10_.答案解析原式211010201.3化简:(a0,b0)_.答案解析原式2213101.4化简:_(a0)答案a2解析原式思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意
5、:必须同底数幂相乘,指数才能相加;运算的先后顺序(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数题型二指数函数的图象及应用例1 (1)函数f(x)axb的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()Aa1,b1,b0C0a0D0a1,b0答案D解析由f(x)axb的图象可以观察出,函数f(x)axb在定义域上单调递减,所以0a1,函数f(x)axb的图象是在yax的基础上向左平移得到的,所以b0.(2)已知函数f(x)|2x1|,abf(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是()Aa0,b0,c0 Ba0C2a2
6、c D2a2c2答案D解析作出函数f(x)|2x1|的图象,如图,abf(c)f(b),结合图象知,0f(a)1,a0,02a1.f(a)|2a1|12a1,f(c)1,0c1.12cf(c),12a2c1,2a2c2,故选D.思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论跟踪训练1 (1)已知实数a,b满足等式2 019a2 020b,下列五个关系式:0ba;ab0;0ab;ba0;ab.其中不可能成立的关系式
7、有()A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析如图,观察易知,a,b的关系为ab0或0ba或ab0.(2)方程2x2x的解的个数是_答案1解析方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数的图象(如图)由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例2 (1)已知a,b,c,则()Abac BabcCbca Dca220,可知b15a15c15,所以bac.(2)若1a”连接)答案3aa3解析易知3a0,0,a30,又由1a0,得0a1,所以(a)3,即a3,因此3aa3.命题点2解简单的指数方程或不等式例3 (1)(201
8、8包头模拟)已知实数a1,函数f(x)若f(1a)f(a1),则a的值为_答案解析当a1时,代入不成立故a的值为.(2)若偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0),则不等式f(x2)0的解集为_答案x|x4或x0解析f(x)为偶函数,当x0,则f(x)f(x)2x4,f(x)当f(x2)0时,有或解得x4或x4或x0),则yt22t的单调增区间为1,),令2x1,得x0,又y2x在R上单调递增,所以函数f(x)4x2x1的单调增区间是0,)(3)若函数f(x)有最大值3,则a_.答案1解析令h(x)ax24x3,yh(x),由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值1,因此必有解得a1,即
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