2020届高考数学(理)一轮复习讲义 高考专题突破3 第2课时 数列的综合问题.docx
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1、公众号码:王校长资源站第2课时数列的综合问题题型一数列与函数例1数列an的前n项和为Sn,2Snan12n11,nN,且a1,a25,19成等差数列.(1)求a1的值;(2)证明为等比数列,并求数列an的通项公式;(3)设bnlog3(an2n),若对任意的nN,不等式bn(1n)n(bn2)60恒成立,试求实数的取值范围.解(1)在2Snan12n11,nN中,令n1,得2S1a2221,即a22a13,又2(a25)a119,则由解得a11.(2)当n2时,由得2anan1an2n,则1,又a25,则1.数列是以为首项,为公比的等比数列,1n1,即an3n2n.(3)由(2)可知,bnlo
2、g3(an2n)n.当bn(1n)n(bn2)60恒成立时,即(1)n2(12)n60(nN)恒成立.设f(n)(1)n2(12)n6(nN),当1时,f(n)n60恒成立,则1满足条件;当1时,由于对称轴n0,则f(n)在1,)上单调递减,f(n)f(1)341满足条件,综上所述,实数的取值范围是1,).思维升华 数列与函数的交汇问题(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题;(2)已知数列条件,解决函数问题,解题时要注意数列与函数的内在联系,掌握递推数列的常见解法.跟踪训练1(2018葫芦岛模拟)已知数列an满足a11,2an1an,数列bn满足bn2l
3、og2a2n1.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设数列bn的前n项和为Tn,求使得2Tn4n2m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围.解(1)由a11,an0,an是首项为1,公比为的等比数列,ann1.bn2log22n2n2.(2)由(1)得,Tnn23n,m2n26n对任意正整数n都成立.设f(n)2n26n,f(n)2n26n22,当n1或2时,f(n)的最大值为4,m4.即m的取值范围是4,).题型二数列与不等式例2已知数列an中,a1,其前n项的和为Sn,且满足an(n2).(1)求证:数列是等差数列;(2)证明:S1S2S3Sn1.证明(1)当n2时,SnSn1,整理得
4、Sn1Sn2SnSn1(n2),2,从而构成以2为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,(n1)22n,Sn.当n1时,Sn1,方法一当n2时,Sn,S1S2S3Sn 11.原不等式得证.方法二当n2时,S1S2S3Sn,1.原命题得证.思维升华 数列与不等式的交汇问题(1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式;(2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.跟踪训练2已知数列an为等比数列,数列bn为等差数列,且b1a11,b2a1a2,a32b36.(1)求数列an,bn的通项
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