机械优化设计及应用第三章.ppt
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1、第三章第三章 一维搜索方法一维搜索方法第一节第一节 概概 述述0,1,2,kkkk1kdxxkkkk1kffdxx称为一维搜索称为一维搜索 求多元函数的极值点需要进行一系列的求多元函数的极值点需要进行一系列的一维搜索。一维搜索。一维搜索是优化方法的基础。一维搜索是优化方法的基础。利用解析法:利用解析法:0*注意注意 dGdxdxdx21fffTT GddxdxT2T21ff 0f*TGddxdT GddxdTT*f缺点:缺点:有时求导困难或无法求导。有时求导困难或无法求导。数值解法的基本思路:数值解法的基本思路:先确定先确定 所在的搜索区间,然后根据区间所在的搜索区间,然后根据区间消去法原理不
2、断缩小此区间,从而获得消去法原理不断缩小此区间,从而获得 的数的数值近似解。值近似解。*x*x第二节第二节 搜索区间的确定与区间消去法原理搜索区间的确定与区间消去法原理一、确定搜索区间的外推法一、确定搜索区间的外推法开始开始给定给定00h,1101ff 2202ffh21ff 00hh33023ffh232ff 32322121ffff0h 13ba31ba结束结束YYYNNN二、区间消去法原理二、区间消去法原理三、一维搜索法的分类三、一维搜索法的分类试探法试探法插值法或函插值法或函数逼近法数逼近法按某种给定规律来确定区间内插入点按某种给定规律来确定区间内插入点的位置,此点位置的确定仅仅按照区
3、的位置,此点位置的确定仅仅按照区间缩短如何加快,而不顾及函数值的间缩短如何加快,而不顾及函数值的分布关系。分布关系。黄金分割法黄金分割法根据某些点处的某些信息,如函根据某些点处的某些信息,如函数值、一阶、二阶导数等,构造数值、一阶、二阶导数等,构造一个插值函数来逼近原来函数,一个插值函数来逼近原来函数,用插值函数的极小点作为区间的用插值函数的极小点作为区间的插入点。插入点。二次插值法、三次插值法二次插值法、三次插值法第三节第三节 一维搜索的试探法一维搜索的试探法黄金分割法,又称黄金分割法,又称0.6180.618法法适用范围:适用范围:a,ba,b 区间上的任何单谷函数求极值问题。对区间上的任
4、何单谷函数求极值问题。对函数除要求函数除要求“单谷单谷”外,不做其它要求,甚至外,不做其它要求,甚至可以不连续。可以不连续。要求:要求:插入点插入点 的位置相对于区间的位置相对于区间 a,ba,b 两端点具有对称性。两端点具有对称性。21abb1aba21:1210120.618 搜索过程:搜索过程:1 1)给出初始搜索区间)给出初始搜索区间 a,ba,b 及收敛精度及收敛精度 ,将将 赋以赋以0.6180.6182 2)按坐标点计算公式计算)按坐标点计算公式计算 2121f,f,3 3)根据区间消去法原理缩短搜索区间)根据区间消去法原理缩短搜索区间4 4)检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛
5、)检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛足够近,如不满足返回足够近,如不满足返回2 2)5 5)如果条件满足,则取最后两试验点的平均值)如果条件满足,则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似解作为极小点的数值近似解开始开始给定给定b,a,222111ffab0.618affab0.618b21ff 22221211ffab0.618affa11112122ffab0.618bffbabab0.5*结束结束NNYY例1 对函数对函数 ,当给定搜索区间,当给定搜索区间 时,试用黄金分割法求极小点时,试用黄金分割法求极小点 。2f253*解:解:5b3aabb1350.6185aba2350.61
6、830.0561.944 11fy 0.11522fy 7.6671.944b3aabb131.9440.6181.9441.111aba231.9440.61830.056 11fy 0.98722fy 0.115第四节第四节 一维搜索的插值法一维搜索的插值法插值法或函数逼近法插值法或函数逼近法插值法与试探法的区别:插值法与试探法的区别:试探法:不考虑函数值的分布试探法:不考虑函数值的分布插值法:不仅考虑函数值的分布,而且还要考插值法:不仅考虑函数值的分布,而且还要考虑函数的导数信息虑函数的导数信息 多项式是函数逼近法的一种常用工具。多项式是函数逼近法的一种常用工具。在搜索区间利用若干实验点
7、处的函数值构在搜索区间利用若干实验点处的函数值构造低次多项式,作为函数的近似表达式。造低次多项式,作为函数的近似表达式。200000f21fff 01一、牛顿法(切线法)一、牛顿法(切线法)0ff0100 0001ff 0,1,2,kffkkk1k 牛顿法的计算步骤:牛顿法的计算步骤:1 1、给定初始点、给定初始点 ,控制误差,控制误差 ,并令,并令00k 2 2、计算、计算kkf,f 3 3、求、求kkk1kff 4 4、若、若 ,则求得近似解,则求得近似解 停止,停止,否则转否则转5 5。k1k1k*5 5、令、令 ,转,转2 2。1kk开始开始给定给定,0ffffffff0100 011
8、*结束结束10 YN例例2:2:给定给定 41664f234试用牛顿法求其极小点试用牛顿法求其极小点*解:解:4334f23 1212f2 给定初始点给定初始点0.01100k 361f 241f 0.52436111.5 1k 2k13.50.5f 04f30.5f 844f 4313.50.5240434.5 0 二、二次插值法(抛物线法)二、二次插值法(抛物线法)二次插值法又称抛物线法,是利用二次插值法又称抛物线法,是利用 在在单谷区间中的三点单谷区间中的三点 的相应函数值,作如下的二次插值多项式:的相应函数值,作如下的二次插值多项式:fy 321 321fff 2210aaaP它应满足
9、条件:它应满足条件:2121101aaaP2222102aaaP2323103aaaP1y 1f2y3y2f 3f0a2aPp21p21pa2a2122212211yyaa3223222321yyaa1332213222122123123221yyya133221321213132yyya221pa2a213132321322212212312322yyyyyy21令:13131yyc32112122cyyc2131pcc21计算步骤:计算步骤:1 1、给定初始搜索区间、给定初始搜索区间 a,ba,b 和精度和精度2 2、在区间、在区间a,ba,b内取点:内取点:,ba0.5a,21b3计算其
10、函数值计算其函数值 332211ff,ff,ff构成三个插值点构成三个插值点333222111f,P,f,P,f,P3 3、计算、计算 及及p ppff 4 4、判断、判断 ,若满足,停止,否则,若满足,停止,否则,缩小区间,转缩小区间,转2 2继续迭代。继续迭代。2p开始开始给定给定b,a,332221131ffffba0.5ffba21321121f2f1313cc31pc2ff10.5cc2pp*结束结束2p 2pff2pffp2p22323ffffp1p1ff p2p22121ffffp3p3ffN NY YY YY YY YN NN NN N例:例:用二次插值法求用二次插值法求 的最
11、优解。的最优解。107f2已知初始区间已知初始区间22,88,取终止迭代点距精度,取终止迭代点距精度=0.01=0.01。解:解:(1 1)确定初始插值点)确定初始插值点 18ff38b0ff12a33110ff25ba2122(2 2)计算插值函数极小点)计算插值函数极小点1cf1f2c3f1f3c32112213125.2ffp5.3cc*5.0p2131p(3 3)缩短收缩区间)缩短收缩区间f2fp2p1-2.25fpf23.50f2f350f1f12p22311:新区间(4 4)计算新插值函数极值点)计算新插值函数极值点3.5*0.51c0c31p21(5 5)判断迭代终止条件)判断迭
12、代终止条件02p2.25f*3.5*对于二次函数用二次插值法求优,只需一对于二次函数用二次插值法求优,只需一次插值计算即可。对于非二次函数,随着区间次插值计算即可。对于非二次函数,随着区间的缩短使函数的二次性态加强,因而收敛也是的缩短使函数的二次性态加强,因而收敛也是较快的。较快的。二次插值法收敛速度快,有效性好,但程二次插值法收敛速度快,有效性好,但程序较复杂,可靠性稍差。适用于多维优化的一序较复杂,可靠性稍差。适用于多维优化的一维搜索迭代。维搜索迭代。第五节第五节 工程设计应用工程设计应用一、曲柄摇杆机构的优化设计一、曲柄摇杆机构的优化设计1 1、机构简介机构简介具有以下三个特性:具有以下
13、三个特性:1 1)急回性质)急回性质 当曲当曲柄匀速转动时,摇杆柄匀速转动时,摇杆左右摆动的平均速度左右摆动的平均速度不同,其比值为机构不同,其比值为机构的行程速比系数的行程速比系数/=/180180221211212112vC CttKvtC Cttt2)压力角与传动角 机构从动件受力的方向与运动方向所夹的锐角为机构瞬间压力角。与压力角互余的角为该点的传动角。机构瞬间传动角越大,其运动就越容易。故机构传动角是衡量机构运动难易程度的一项重要指标。机构最小传动角的可能位置是曲柄与机架重叠共线和展开共线时的位置。3)死点位置如果机构以摇杆为主动件,在曲柄与连杆的两次共线位置处,从动件的传动角 ,压
14、力角 ,机构处于自锁状态。该位置称为机构的死点位置。0 90工程应用中曲柄摇杆机构的设计问题一般是给定机构的行程速比 、摇杆的摆角 及长度 ,确定机架长度 、曲柄长度 、连杆长度 ,要求设计机构能够满足传动角条件 。K4l1l2l3l min2一般设计问题3传统设计方法简介(图解法)传统设计方法直观、易懂,但设计周期长、精度差、可行设计结果众多,一旦设计要求过于苛刻或选择的许用值 过大,设计会出现死循环。4.曲柄摇杆机构的优化设计(1)目标函数的确定曲柄摇杆机构的最小传动角 是对机构进行动力分析和运动分析的重要指标,因此以最小传动角最大为目标函数。minminmax,13f x其中arccos
15、2222341213 4lllll larccos2222341223 4lllll l若 ,则 ,否则 。故机构最小传动角为9023218032minmin,13 针对不同情况,机构最小传动角及最大传动角的变化规律如图所示。其中曲柄与机架重合共线为初始位置。(2)设计变量的确定待定的设计参数为机架长度、曲柄长度、连杆长度,但实际的设计变量只有一个。如传统图解法,一旦曲柄支点A位置选定,其它设计参数随之确定。基于几何关系,在三个设计参数中,取曲柄长度为设计变量,即 。2xl(3)设计参数间的几何关系 2 sin2124C Cl()()2()()cos212223333C Clxlxlx lx2
16、(1 cos)2(1 cos)22123C Cxl则()()cos()22134432llxl2l lxAC D其中 902221AC DAC C 180arcsinsin9032112lxAC CC Carcsinsin90312lxC C(4)设计变量的取值范围以 为例,当曲柄支点A由P点向 点顺时针移动时,(或)在渐增,渐小,其机构最小传动角呈单峰函数变化。对应设计变量 和 近似有 ,机构最小传动角呈最小,对应 则有 。22C2lx3lminxmaxxmin0*x*min寻优区间起始点minxminminsintan123123C ClxC Clx寻优区间终点 在 处,有 。maxx2C
17、max212xC C5 5设计实例设计实例设已知颚式破碎机的行程速比系数K=1.2,颚板长度 300mm,颚板摆角 ,(曲柄长度80mm),求连杆的长度,并验算最小传动角 是否在允许的范围内。min(1 cos)2sin12C CxCDl35ABlmin(1)解析法设计 80mm,303.677mm,309.289mm,最小传动角 。2l 3l 1l min44.640(2)优化设计 设计时不必限制曲柄长度,以作为设计变量 ,采用0.618法,结果如下:304.951mm,85mm,228.716mm,2lx*1l*2l*3l*min46.795二、曲柄滑块机构的优化设计二、曲柄滑块机构的优化
18、设计1.1.机构简介机构简介机构具有以下三个特性:1)急回性质 18018022112112HvttKHvtttt 2)压力角与传动角 minarccos23ell 3)死点位置 当机构的压力角 、传动角 时,机构不能运动,该位置称为机构的死点位置。900 若滑块为主动件时,曲柄与连杆共线的位置为死点位置,当曲柄为主动件时,曲柄滑块机构的曲柄与连杆共2 2一般设计问题一般设计问题给定机构的行程速比系数 、机构滑块行程 确定曲柄长度 、连杆长度 、偏心距 ,要求设计的曲柄滑块机构能够满足传动角条件 线且与导路垂直时是机构的死点位置。KH2l3le min3 3传统设计方法(图解法)传统设计方法(
19、图解法)传统设计方法直观易懂,但设计周期长,计算精度差,可行设计结果众多,难以实现最优,尤其是一旦设计要求过于苛刻或选择的许用值过大,则设计会出现死循环,导致设计无解。4 4曲柄滑块机构的优化设计曲柄滑块机构的优化设计(1)目标函数的确定 曲柄滑块机构的最小传动角是对机构进行动力分析和运动分析设计的重要指标。以机构运动最小传动角最大为目标函数,即 minmax()arccos()23fle lxmin()()23fle lx或(2)设计变量的确定 待定的设计参数为曲柄长度 、连杆长度 、偏心距 ,但实际设计变量只有一个。2l3le一旦曲柄支点 位置选定,即偏心距 确定,其它设计参数随之确定。基
20、于几何关系,在三个设计参数中取曲柄为设计变量,即 。Ae2xl(3)设计参数之间的几何关系()()2()()cos2223333Hlxlxlx lx2(1 cos)2(1 cos)223Hxlsinsin()()33213lxlxHAC Ce lxsin()223elxH则 另 则(4)设计变量 的取值范围 xminminsintan33HlxHlxmin(1cos)2sinHxmax2Hx(5)优化设计数学模型12(1 cos)sin(4)min()2(1 cos)2(1 cos)(1 cos)()02sin()02222212HxHxf xHHxHg xxHgxx机构最小传动角的变化曲线
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