机械优化设计及应用第二章.ppt

1、第一节 多元函数的方向导数与梯度一、方向导数 对二元函数 在 点处的偏导数，其定义是：)x,f(x21)x,(x20100 x22010220100 x212010201100 x1x)x,f(x)xx,f(xlimxfx)x,f(x)x,xf(xlimxf0102xxdddx)x,f(x)xx,xf(xlimf201022011000ddx,xxfx,xxfx,xfxx,xxflim201102011020102201100dddxxx,xxfxx,xxfxxx,xfx,xxflim22201102201101120102011002x21x1cosxfcosxf00同样，一个三元函数同样，

2、一个三元函数 在在 点处沿点处沿 方向的方向导数：方向的方向导数：)x,x,f(x3213020100 x,x,xxd0 xd f332211cosxfcosxfcosxf000 xxx以此类推，即可得到以此类推，即可得到 元函数元函数 在在 点处沿点处沿 方向的方向导数：方向的方向导数：nn21x,x,xf0 xd0 xd fnn2211cosxfcosxfcosxf000 xxxin1iicosxf0 x二、二元函数的梯度二、二元函数的梯度二元函数二元函数 在在 点处的方向导数：点处的方向导数：21x,xf0 x2211cosxfcosxf00 xx0 xd f2121coscosxfxf

3、0 x令令0 xx210 xfxffT210 xfxfx并称它为函数并称它为函数 在在 点处的梯度。点处的梯度。21xxf0 x设设21coscosd为为 方向单位向量方向单位向量d则则0 xd fdxT0f0 xd fdxT0fdfxf,cos0把向量之间的内积写成向量之间的投影形式：把向量之间的内积写成向量之间的投影形式：例例1 1：求二元函数：求二元函数 在在 处函数变化率最大的方向和数值。处函数变化率最大的方向和数值。5x2x4xxx,xf21222121T000 x解：解：0 xx210 xfxff02x24x221x240 xf2221xfxf222452p00 xxff52245

4、152三、多元函数的梯度三、多元函数的梯度对于函数对于函数 在在 处处的梯度的梯度 ，可定义为：，可定义为：n21x,x,xfno2010 x,x,x0 x0 xf0 xf12n0fxfxfxxT12n0fffxxxx对于对于 在在 处沿处沿 的方向导数可表的方向导数可表示为：示为：n21x,x,xf0 xd0 xd f0i 1cosniixfxdxTf0dxf,cosf0其中n21coscoscosd0 xf21012nixixfp00 xxff第二节第二节 多元函数的泰勒展开式多元函数的泰勒展开式 xf 2000 xxf21xxfxf21x,xf2x21x12010 xxfxxfx,xf0

5、0222222121221212xxfxxxxf2xxf21000 xxx xf21x210 xxxfxff0 x2122212221221221xxxfxxfxxfxfxx210 xxxGxxxx000TT21ff其中02221120222212xffxx xG xffxxx 21xxx例例2 2 求二元函数求二元函数5x2x4xxx,xf21222121点点处处的的二二阶阶泰泰勒勒展展开开式式在在12xx20100 x解：解：)f(x 00000021xxxGxxxxxxTTff)f(0 x02010 x,xf2,1f0 xf0 x21xfxf02x24x221x0000 xG0 x222

6、122212212xfxxfxxfxf2002202101020210121xxxxxxxx21x,xfxG1x2x20021x2x21212122211x2x将二元函数的泰勒展开式推广将二元函数的泰勒展开式推广到多元函数：到多元函数：xfxxGxxxx000TT21ff其中Tn21xfxfxff00 xx2n22n21n2n22222122n12212212xfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxf0 xG 000 xxxxxTffz GxxxTf0正定矩阵二次齐次函数，又叫二次型第三节第三节 无约束优化问题的极值条件无约束优化问题的极值条件 无约束优化问题是使目标函数取得极小值无约束

7、优化问题是使目标函数取得极小值 极值条件就是指目标函数取得极小值时极值条件就是指目标函数取得极小值时极值点所应满足的条件。极值点所应满足的条件。对可微的一元函数对可微的一元函数 ，在给定区间，在给定区间内某点内某点 处取得极值，其必要条件是：处取得极值，其必要条件是：xf0 xx 0 xf0对二元函数对二元函数 ，若在，若在 处取得处取得极值，其必要条件是：极值，其必要条件是：21x,xf20100 x,xx0 xfxf1002xx即即0f0 x222222121221212201021xxfxxxxf2xxf21x,xfx,xf000 xxx设设0 x212xfA0 x212xxfB02x2

8、2xfC则则222121201021CxB2A21x,xfx,xfxxx2222212010 xBACBAA21x,xfxx0 x,xfx,xf201021即要求即要求0 xBACxBxAA21222221或或0BAC0A2即即0 xxfxfxf0 xf002212222212212xx0 xG0 x222122212212xfxxfxxfxf0 xf0212x0 xG0 xfxxfxxfxf2221222122120 x例例3 3求函数求函数 的极值的极值 52x4xxx,xxf21222121解：解：xf2xfxf12x24x22100 x2010 xx120 xG0 x222122212

9、212xfxxfxxfxf200202xf0212x0 xG200204 0 x120f0 x对于多元函数对于多元函数 ，若在，若在 点处取点处取得极值，则极值的必要条件为：得极值，则极值的必要条件为：n21x,x,xf*xTn21*xfxfxffxx极值的充分条件为：极值的充分条件为：*2n22n21n2n22222122n12212212*xfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxxG正定正定0第四节第四节 凸集、凸函数与凸规划凸集、凸函数与凸规划 根据函数极值条件所确定的极小点根据函数极值条件所确定的极小点 ，是，是指函数指函数 在在 附近的一切附近的一切 均满足不等均满足不等式

10、：式：*x xf*x *ffxx xf一、凸集一、凸集 一个点集（或区域），如果连接其中任意一个点集（或区域），如果连接其中任意两点两点 和和 的线段都包含在该集合内，就称的线段都包含在该集合内，就称该点集为凸集。否则称为非凸集。该点集为凸集。否则称为非凸集。1x2x用数学语言表示：用数学语言表示：如果对一切如果对一切 及一切满足及一切满足 的实数点的实数点 则称集合则称集合 为凸集。为凸集。RR21xx10R121yxxR凸集具有以下性质：凸集具有以下性质：1 1、若、若 为一个凸集，为一个凸集，是一个实数，是一个实数，是凸集是凸集 中的动点，即中的动点，即 ，则集合则集合 还是凸集。还是凸

11、集。AaAaA,:AaaxxA2 2、若、若 和和 是凸集，是凸集，分分别是凸集别是凸集 中的动点，即中的动点，即 则集合则集合 还是凸集还是凸集ABba,ABBAbaBA,:BAbabaxx3 3、任何一组凸集的交集还、任何一组凸集的交集还是凸集是凸集二、凸函数二、凸函数函数函数 ，如果在连接其凸集定义域内任意两，如果在连接其凸集定义域内任意两点点 的线段上，函数值总小于或等于用的线段上，函数值总小于或等于用 及及 作线性内插值所得的值，那么称作线性内插值所得的值，那么称 为为凸函数。凸函数。xf21xx1xf2xf xf用数学语言表示：用数学语言表示：2121f1f1fxxxx其中其中10

12、若两式均去掉等号，则称若两式均去掉等号，则称为严格凸函数为严格凸函数凸函数性质：凸函数性质：1 1、设、设 为定义在凸集为定义在凸集 上的一个凸函数，上的一个凸函数，对任意实数对任意实数 ，则函数，则函数 也是定义也是定义 在在 上的凸函数。上的凸函数。xfR0 xfR2 2、设、设 和和 为定义在凸集为定义在凸集 上的两个凸上的两个凸函数，则其和函数，则其和 也是也是 上的凸函上的凸函数。数。x1f x2fR xx21ffR3 3、对任意两个正数、对任意两个正数 和和 ，函数，函数 也是在也是在 上的凸函数。上的凸函数。xx21ffR三、凸性条件三、凸性条件设设 为定义在凸集为定义在凸集 上

13、，且具有连续一阶上，且具有连续一阶导数的函数，则导数的函数，则 在在 上为凸函数的充分上为凸函数的充分必要条件是对凸集必要条件是对凸集 内任意不同两点内任意不同两点 不等式不等式恒成立。恒成立。xfR xfRR21xx,1T1212fffxxxxx设设 为定义在凸集为定义在凸集 上且具有连续二阶导数上且具有连续二阶导数的函数，则的函数，则 在在 上为凸函数的充分必要条上为凸函数的充分必要条件是海赛矩阵件是海赛矩阵 在在 半正定。半正定。xfR xfRR xG四、凸规划四、凸规划对于约束优化问题对于约束优化问题 xminf m,1,2,j0g.t.sjx若若 都为凸函数，则称此问题为凸规都为凸函

14、数，则称此问题为凸规划。划。xxjg,f凸规划有如下性质：凸规划有如下性质：1 1）若给定一点）若给定一点 ，则集合，则集合 为凸集。为凸集。0 x 0ffRxxx此性质表明，当此性质表明，当 为二元函数时，其等值线为二元函数时，其等值线呈现大圈套小圈形式呈现大圈套小圈形式 xf证明：证明：则有：则有：取集合取集合 中任意两点中任意两点 ，R21xx,0201xxxxff,ff由于由于 为凸函数，又有：为凸函数，又有：xf 2121f1f1fxxxx 000 xxxff1f即点即点 满足满足 211xxx 0 xxff故在故在 集合之内，根据凸集定义，集合之内，根据凸集定义，为凸集。为凸集。R

15、R2 2）可行域）可行域 为凸集。为凸集。m,1,2,j0gRjxx证明：证明：在集合在集合 中任意两点中任意两点 ，R21xx,即点即点 满足满足 211xxx 0 xjg故在故在 集合之内，根据凸集定义，集合之内，根据凸集定义，为凸为凸集。集。RR由于由于 为凸函数，则有：为凸函数，则有：xjg 0g1g1g2j1j21jxxxx3 3）凸规划的任何局部最优解就是全局最优解）凸规划的任何局部最优解就是全局最优解证明：证明：设设 为局部极小点，则在为局部极小点，则在 某邻域某邻域 内内的的 有有1x1xrx 1ffxx 假若假若 不是全局极小点，设存在不是全局极小点，设存在 有有1x2x21

16、xxff由于由于 为凸函数，故有：为凸函数，故有：xf 2121f1f1fxxxx 11f1fxx1f x当当 时，点时，点 进入进入 邻域邻域 内，内，1 211xxx1xr2111ffxxx1f x第五节第五节 等式约束优化问题的极值条件等式约束优化问题的极值条件求等式约束优化问题：求等式约束优化问题：m,2,1k0h.t.sfminkxx需要导出极值存在的条件，这是求解等式约束需要导出极值存在的条件，这是求解等式约束优化问题的理论基础。优化问题的理论基础。在数学上，有两种方法：在数学上，有两种方法：1 1、消元法（降维法）、消元法（降维法）2 2、拉格朗日乘子法（升维法）、拉格朗日乘子法

17、（升维法）一、消元法一、消元法 先讨论二元函数只有一个等式约束的简单先讨论二元函数只有一个等式约束的简单情况，即：情况，即：0 x,xh.t.sx,xfmin2121求解这一问题可采用代数中的消元法。求解这一问题可采用代数中的消元法。通过降维，将等式约束优化问题转化成无通过降维，将等式约束优化问题转化成无约束优化问题。约束优化问题。目标函数通过消元由二元函数变成一元函目标函数通过消元由二元函数变成一元函数，即由二维变成一维，所以称为降维法。数，即由二维变成一维，所以称为降维法。对于对于n维情况：维情况：l,2,1k0 x,x,xh.t.sx,x,xfminn21kn21由由l个约束方程将个约束

18、方程将n个变量中的前个变量中的前l个变量用其余个变量用其余n-l个变量表示，即有：个变量表示，即有：n2l1llln2l1l22n2l1l11x,x,xxx,x,xxx,x,xx 将这些函数关系带入目标函数中，从而得将这些函数关系带入目标函数中，从而得到只含有到只含有 共共 个变量的函个变量的函数数 ，这样就可以利用无约束优，这样就可以利用无约束优化问题的极值条件求解。化问题的极值条件求解。n2l1lx,x,xlnn2l1lx,x,xF 消元法虽然看起来很简单，但实际求解困消元法虽然看起来很简单，但实际求解困难很大。因为将难很大。因为将l个约束方程联立起来往往求不个约束方程联立起来往往求不出解

19、来，即便能求出解，当把它们带入目标函出解来，即便能求出解，当把它们带入目标函数之后，也会因函数十分复杂而难于处理。数之后，也会因函数十分复杂而难于处理。所以这种方法作为一种分析方法实用意义所以这种方法作为一种分析方法实用意义不大，而对于某些数值迭代方法来说，却有很不大，而对于某些数值迭代方法来说，却有很大的启发意义。大的启发意义。二、拉格朗日乘子法二、拉格朗日乘子法 是求解等式约束优化问题的另一种经典方是求解等式约束优化问题的另一种经典方法。法。是通过增加变量将等式约束优化问题变成是通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题，所以又称为升维法。无约束优化问题，所以又称为升维法。对于具有对

20、于具有l个等式约束的个等式约束的n维优化问题：维优化问题：l,2,1k0 x,x,xh.t.sx,x,xfminn21kn21在极值点在极值点 处有：处有：*x l,1,2,k0dhdxxhdh0dfdxxfdfT*kin1iik*kT*in1ii*xxxxxx把把l个等式约束给出的个等式约束给出的l个个 分别乘以分别乘以待定系数待定系数 再和再和 相加，相加，得：得：0dxxhin1iikl,2,1kk0dxxfin1ii1020dxxhxhxhxfin1iilli22i11i可以通过其中的可以通过其中的l个方程个方程1120 xhxhxhxfilli22i11i 来求解来求解l个个 ，使得

21、，使得l个变量的微个变量的微分分 的系数全为零。的系数全为零。l21,l21dx,dx,dx1020dxxhxhxhxfin1iilli22i11i变成：变成：1220dxxhxhxhxfjn1ljjllj22j11j但但 应是任意量，则应有：应是任意量，则应有：n2l1ldx,dx,dxn,2l,1lj0 xhxhxhxfjllj22j11j1120 xhxhxhxfilli22i11il,2,1k0 x,x,xhn21k以上就是以上就是 x 达到约束极值的必要条件达到约束极值的必要条件n,2,1i0 xhxhxhxfilli22i11i 根据目标函数根据目标函数 f(x)的无约束极值条的无

22、约束极值条件件 ，则上述问题的约束极，则上述问题的约束极值条件可以转换成无约束的函数极值条件。值条件可以转换成无约束的函数极值条件。n,2,1i0 xfi办法：把原来的目标函数办法：把原来的目标函数f(x)改造成为如下改造成为如下形式的新目标函数：形式的新目标函数：152hf,Fl1kkkxxx拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数乘子拉格朗日函数乘子上式显然多了上式显然多了l个待定系数个待定系数 ，而，而 有有n个变量，结果共有个变量，结果共有n+l个变量。个变量。kn21xxxx但是但是 可提供可提供n个方程，再加个方程，再加上上l个等式约束条件个等式约束条件 ，共有，共有n+l个方个方程，

23、足以解出这程，足以解出这n+l个变量。个变量。n,2,1i0 xFi 0hkx由于由于 给出给出 ，所以这，所以这n+l个方程个方程可以看成是通过下述条件给出的：可以看成是通过下述条件给出的：0Fk 0hkxn,2,1i0 xFil,1,2,k0Fk这样，拉格朗日乘子法可以叙述如下：这样，拉格朗日乘子法可以叙述如下：设设 ，目标函数是，目标函数是 ，约束条，约束条件是件是 的的l 个等式约束方程，个等式约束方程，为了求出为了求出 的可能的极值点的可能的极值点 ，引入，引入拉格朗日乘子拉格朗日乘子 ，并构成一个新，并构成一个新的目标函数：的目标函数：T*n21xxxxf(x)l,2,1k0hkx

24、f(x)Tn21xxxxl,2,1kk l1kkkhf,Fxxx 把它作为一个新的无约束条件的目标把它作为一个新的无约束条件的目标函数来求解它的极值点，所得结果即是在函数来求解它的极值点，所得结果即是在满足约束条件满足约束条件 的原的原目标函数的极值点。目标函数的极值点。l,2,1k0hkx从极值的必要条件从极值的必要条件n,2,1i0 xFil,1,2,k0Fk可得可得l+n个方程，从而可解出个方程，从而可解出l+n个未知数。个未知数。拉格朗日乘子法也可用另一种方法叙述：拉格朗日乘子法也可用另一种方法叙述：设设 是目标函数是目标函数 在等式约束在等式约束 条件下的一个局部极值点，而且在该点处

25、各约条件下的一个局部极值点，而且在该点处各约束函数的梯度束函数的梯度 是线性无关是线性无关的（符合此条件的点称为正则点），则存在一的（符合此条件的点称为正则点），则存在一个向量个向量 （在（在 个约束函数规定的集内）使得个约束函数规定的集内）使得下式成立：下式成立：*x xf 0hkxl,2,1kxh*kl 0 xhxF*fT其中其中l21T *hhhxxxxhl21T 为了说明拉格朗日乘子的物理意义，看一为了说明拉格朗日乘子的物理意义，看一个二维问题，且只有一个约束条件时的简单情个二维问题，且只有一个约束条件时的简单情况：况：xxxhf,F得：得：1111xhxf-0 xhxf或2222xh

26、xf-0 xhxf或所以所以21ixhxf-ii，单位变量的约束变化率单位变量的约束变化率单位变量的目标值变化率单位变量的目标值变化率优化效率或优化效率或敏度系数敏度系数各变量的各变量的改变导致改变导致的优化效的优化效率是相等率是相等的，且等的，且等于一个常于一个常数数21ixhxf-ii，对于机械设计优化问题。若目标函数是结构重对于机械设计优化问题。若目标函数是结构重量，约束条件是刚度或某点的变形，则：量，约束条件是刚度或某点的变形，则：结构重量的收益结构重量的收益结构刚度的支出结构刚度的支出单位的单位的结构刚结构刚度的支度的支出所能出所能获得的获得的结构重结构重量的收量的收益益例例2-4

27、2-4 用拉格朗日乘子法求极值用拉格朗日乘子法求极值063x2xx,xh.t.s5x4xx,xf2121222121解：改造后的目标函数：解：改造后的目标函数：63x2x5x4x,F212221x063x2xF0310 xxF028xxF212211103x41x21730286.1x071.1x21第六节 不等式约束优化问题的极值条件 在工程上大多数优化问题都可以表示为具有不等式约束条件的优化问题，因此研究不等式约束极值条件是很有意义的。受到不等式约束的多元函数极值的必要条件是著名的库恩塔克条件，是非线性优化问题的重要理论。为了便于理解库恩塔克条件，首先分析一元函数在给定区间上的极值条件。一

28、、一元函数在给定区间上的极值条件 对于一元函数对于一元函数 在给定区间在给定区间 上的上的极值问题，可以写成下列具有不等式约束的优极值问题，可以写成下列具有不等式约束的优化问题：化问题：xfb,a 0bxxg0 xaxg.t.sxfmin21 拉格朗日乘子法不仅适合于求解等式约束优化问题，而且可以推广应用于具有不等式约束优化问题中。为了能应用拉格朗日乘子法来讨论此问题的极值条件，需要引进松弛变量使不等式约束变为等式约束。设设 和和 为两个松弛变量，则上述两个为两个松弛变量，则上述两个不等式约束可写成如下的两个相应的等式约束：不等式约束可写成如下的两个相应的等式约束：1a1b 0bbxbxgb,

29、xh0axaaxga,xh21212122121111这样则得该问题的拉格朗日函数：2122111221112111bbxaxaxfb,xha,xhxf,b,a,xF其中0021根据拉格朗日乘子法，此问题的极值条件是：根据拉格朗日乘子法，此问题的极值条件是：0bxgx,bhF0axgx,ahF0b2bF0a2aF0 xfdxdgdxdgxfxF221222111112111121221111不是不是 就是就是0a0110a0110a011当当 时，时，起约束作用，起约束作用，即即 0 xaxg1ax 0 xaxg1当当 时，时，0a011ax 分析结果可表示为：分析结果可表示为：ax0 xg,

30、0ax0 xg,0111为不起作用约束，即为起作用约束，即可写成可写成 0 xg11同理同理 0 xg22 0axgx,ahF211111 不起约束作用，即不起约束作用，即这样，对于一元函数这样，对于一元函数 f(x)在给定区间上的极值在给定区间上的极值条件就可以完整地表示为：条件就可以完整地表示为：000 xg0 xg0dxdgdxdgdxdf2122112211 这样的分析方法可以推广到二元甚至多元函数不等式约束优化问题上去，从而给出著名的库恩塔克条件：对于一元函数在给定区间对于一元函数在给定区间aa，bb上的极值上的极值条件，上面第一式可简化为：条件，上面第一式可简化为：0dxdfdxd

31、gdxdgdxdf212211 分析极值点分析极值点 在区间在区间aa，bb中所处的位置，中所处的位置，将会出现三种可能情况：将会出现三种可能情况：*x1 1）当）当 时，时，则极值条件为则极值条件为ba*x021 0dxdf*x2 2）当）当 时，时，则极值条件为则极值条件为a*x0,021 0dxdf0dxdf*1x即3 3）当）当 时，时，则极值条件为则极值条件为b*x0,021 0dxdf0dxdf*2x即 从上述分析可以看出，对应于不起作用约从上述分析可以看出，对应于不起作用约束的拉格朗日乘子取零值，因此可以引入起作束的拉格朗日乘子取零值，因此可以引入起作用约束的下标集合：用约束的下

32、标集合：2,1j,0 xgjjxJ当当 时，两个约束均不起作用，故有时，两个约束均不起作用，故有ba*x*xJ021当当 时，第一个约束均起作用，故有时，第一个约束均起作用，故有a*x 1xJ*0,021当当 时，第二个约束均起作用，故有时，第二个约束均起作用，故有b*x 2xJ*0,021则极值条件可改写为：Jj0Jj0 xg0dxdgdxdfjjJjjj 即在极值条件中只考虑起作用约束及其相应的拉格朗日乘子。二、库恩塔克条件 对于多元函数不等式约束优化问题 m,1,2,j0g.t.sfminjxx 其中设计变量向量为其中设计变量向量为n维维向量，它受向量，它受m个不个不等式约束限制，同样可

33、以应用拉格朗日乘子法等式约束限制，同样可以应用拉格朗日乘子法推导出相应的极值条件。推导出相应的极值条件。为此，需引入为此，需引入m个松弛变量个松弛变量 使不等式约束使不等式约束 变成等式约变成等式约束束 ，从而组成相应的，从而组成相应的拉格朗日函数：拉格朗日函数：Tmn2n1nxxxx m,1,2,j0gjx m,1,2,j0 xg2jnjx m1j2jnjjxgf,Fxxxx对应于不等式约束的拉格朗对应于不等式约束的拉格朗日乘子向量，并有非负要求日乘子向量，并有非负要求根据无约束极值条件，在极值点处有：根据无约束极值条件，在极值点处有：m,2,1j0 xgFm,2,1j0 x2xFn,2,1

34、i0 xgxfxF2jnjjjnjjnm1jijjiix 仿造对一元函数在给定区间上极值条件仿造对一元函数在给定区间上极值条件的推导过程，同样可以得到具有不等式约束多的推导过程，同样可以得到具有不等式约束多元函数极值条件：元函数极值条件：m,2,1j0m,2,1j0gn,2,1i0 xgxfj*jjm1ji*jji*xxx这就是著名的库恩塔克条件。若引入起作用约束的下标集合：m,2,1j,0g*jjxJx库恩塔克条件又可写成如下形式：Jj0Jj0gn,2,1i0 xgxfj*jJji*jji*xxx将上式偏微分形式表示为梯度形式：将上式偏微分形式表示为梯度形式：Jj*jj*Jj*jj*gfgf

35、xx0 xx或 表明，在约束极小值点处，函数的负梯度表明，在约束极小值点处，函数的负梯度一定能表示成所有起作用约束在该点梯度的非一定能表示成所有起作用约束在该点梯度的非负线性组合。负线性组合。当约束条件有三个且同时起作用时，则要当约束条件有三个且同时起作用时，则要求求 处于处于 和和 形成的角锥之内。形成的角锥之内。*f x*1g x*2gx*3g x 对于同时具有等式约束和不等式约束的优化问题：l,1,2,k0hm,1,2,j0g.t.sfminkjxxx库克塔恩条件可表述为：Jj0Jj0 xg,n1,2,i0 xhxgxfj*jl1kikkJjijji注意：对应于等式约束的拉格朗日乘子没有

36、非负要求。三、库恩塔克条件应用举例 若给定优化问题的数学模型为：0 xg0 xg01xxg.t.sminx2xf132222112221xxxx利用KT条件确定极值点。Jj0Jj0g2,1i0 xgxfj*jJji*jji*xxx分八种情况分析1 1）若）若 三个约束都在三个约束都在 处起作用，则处起作用，则KTKT条件中的第一个方条件中的第一个方程可写成：程可写成：321g,g,g*x 0 xgxgxgxf0 xgxgxgxf2*332*222*112*1*331*221*111*xxxxxxxx将具体表达式代入得：02x0 x22x221*23*11*1三个起作用约束在三个起作用约束在 处

37、取等式形式，有：处取等式形式，有：*x 0 xg0 xg01xxg*1*3*2*2*22*1*1xxx2 2）若）若 在在 处起作用，则处起作用，则KTKT为：为：31g,g*x 0 xg01xxg02x0 x22x2*1*3*22*1*11*23*11*1xx解得：解得：1x0,x*2*1带回第一方程组得：带回第一方程组得：04,0231不满足非负要求，不是极值点。不满足非负要求，不是极值点。3 3）若）若 在在 处起作用，则处起作用，则KTKT为：为：32g,g*x 0 xg0 xg02x02x2*1*3*2*22*23*1xx解得：解得：0 x0,x*2*1带回第一方程组得：带回第一方程

38、组得：04,032不满足非负要求，不是极值点。不满足非负要求，不是极值点。4 4）若）若 在在 处起作用，则处起作用，则KTKT为：为：21g,g*x 0 xg01xxg02x0 x22x2*2*2*22*1*121*2*11*1xx解得：解得：0 x1,x*2*1带回第一方程组得：带回第一方程组得：01,0131满足非负要求，是极值点。满足非负要求，是极值点。5 5）若只有）若只有 在在 处起作用，则处起作用，则KTKT为：为：1g*x 01xxg02x0 x22x2*22*1*11*2*11*1x解得：解得：2-x12x1*21*1假设只有一个约束起作用，那么第假设只有一个约束起作用，那么

39、第二个约束不起作用，有二个约束不起作用，有01不满足非负要求，不是极值点。不满足非负要求，不是极值点。0 xg*2*2x则则6 6）若只有）若只有 在在 处起作用，则处起作用，则KTKT为：为：2g*x 0 xg0 x202x2*2*22*2*1x解得：解得：0 x2,x*2*102不满足不满足 ，不是极值点。，不是极值点。0g*1x7 7）若只有）若只有 在在 处起作用，则处起作用，则KTKT为：为：3g*x 0 xg02x02x2*1*3*23*1x解得：解得：0 x0,x*2*1043不满足非负要求不满足非负要求 ，不是极值点。，不是极值点。8 8）若只有）若只有 在在 处都不起作处都不

40、起作用，则用，则KTKT为：为：321g,g,g*x02x02x2*2*1解得：解得：0 x2,x*2*1不满足不满足 ，不是极值点。，不是极值点。0g*1x 从上述八种情况的分析可以看出，利用KT条件求极值点很繁琐，需要确定哪些约束在极值点起作用。KT条件也可以叙述为在极值点处，目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合，即：Jjjj*gfxx大于0 在极值点在极值点C处，其作用约束为处，其作用约束为g1,g2，则，则应有：应有：xxx2211*ggf而 1-0g0212xg022x2x2f*20 x1x*1*10 x1x*2*1*2*1*2*1xxx代入得：1-0120221 所以C点处目标函数的负梯度为起作用约束梯度的非负线性组合。111