服从正态分布的随机误差的概率密度函数课件.ppt

1、光电检测技术基础光电检测技术基础2.1 检测量的误差与数据处理检测量的误差与数据处理2.2 辐射度量和光度量基础辐射度量和光度量基础2.3光电检测器件的特性参数光电检测器件的特性参数2.1检测量的误差及数据处理检测量的误差及数据处理一、一、前言前言二、二、测量过程与误差的基本概念测量过程与误差的基本概念三、三、随机误差随机误差四、四、系统误差系统误差1 1、研究误差的意义、研究误差的意义 （1 1）、）、确定测量误差是整个测量过程不可缺少的重要环确定测量误差是整个测量过程不可缺少的重要环节。节。对于不知其测量误差的测量结果，往往是无法应用从而对于不知其测量误差的测量结果，往往是无法应用从而也是

2、无意义的。也是无意义的。例：例：机加工中，制造与某个孔相配合的轴。机加工中，制造与某个孔相配合的轴。（2 2）、误差理论是保证和提高测量准确性必要的理论依据。）、误差理论是保证和提高测量准确性必要的理论依据。生产中大量的测量是为了检验产品是否合格，因此要求生产中大量的测量是为了检验产品是否合格，因此要求检验手段即所用的测量仪器和测量方法有一定的准确性。检验手段即所用的测量仪器和测量方法有一定的准确性。科学研究中要求尽量减小误差。科学研究中要求尽量减小误差。（3 3）、误差理论是合理选用、设计仪器的必要理论基）、误差理论是合理选用、设计仪器的必要理论基础。础。合理选用仪器要求在满足准确度的前提下

3、，尽量使测量合理选用仪器要求在满足准确度的前提下，尽量使测量过程简单、经济、高效。过程简单、经济、高效。一、前言一、前言 设计仪器时，应用误差理论来分析并适当的控制这些误设计仪器时，应用误差理论来分析并适当的控制这些误差因素，使仪器的测量准确度达到设计要求。差因素，使仪器的测量准确度达到设计要求。（4 4）、合理进行不确定度的评定和表示是现代科技）、合理进行不确定度的评定和表示是现代科技交流和国际贸易的迫切需要。交流和国际贸易的迫切需要。经济全球化、国际贸易日益频繁，要求统一测量不经济全球化、国际贸易日益频繁，要求统一测量不确定度的评定和表示方法，从而可以相互比对，达成共确定度的评定和表示方法

4、，从而可以相互比对，达成共识。识。对于从事各种实验和研究的科技工作者，特别是从事对于从事各种实验和研究的科技工作者，特别是从事计量科学、产品质量检定、质量管理和精密测试的人员，计量科学、产品质量检定、质量管理和精密测试的人员，这都是一门必不可少、十分重要的课程。这都是一门必不可少、十分重要的课程。2、测量是误差与数据处理理论的前提、测量是误差与数据处理理论的前提（1 1）、）、测量是人类认识、改造物质世界的重要测量是人类认识、改造物质世界的重要手段之一。手段之一。（2 2）、）、现代社会中，测量对促科学技术的发展起到现代社会中，测量对促科学技术的发展起到重要作用。重要作用。库克（英）：库克（英

5、）：“测量是技术生命的神经网络测量是技术生命的神经网络”。门捷列夫（俄）：门捷列夫（俄）：“科学自测量开始，没有测量，便科学自测量开始，没有测量，便没有精密的科学。没有精密的科学。3 3、误差公理误差公理 误差公理：误差公理：测量结果都有误差，误差自始至测量结果都有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量过程中。终存在于一切科学实验和测量过程中。测量仪器、测量方法、测量人员、测量环境、测量仪器、测量方法、测量人员、测量环境、测量对象等都会产生误差。测量对象等都会产生误差。例：例：用台式血压计测量人体血压。用台式血压计测量人体血压。1 1、测量过程与标准、测量过程与标准(1)(1)测量：测量：

6、借助于专门设备，以确定被测对象的量值为目的所借助于专门设备，以确定被测对象的量值为目的所进行的操作。它是一个比较过程，即通过一定的实验方法将被进行的操作。它是一个比较过程，即通过一定的实验方法将被测量与一个作为比较单位的标准量相比较的测量与一个作为比较单位的标准量相比较的过程过程。测量包括测量包括测量过程测量过程和和测量结果测量结果。测量过程测量过程包括执行测量所需要的一切操作。包括执行测量所需要的一切操作。包括包括建立单建立单位、选择测量工具、设计测量方法、研究分析测量结果、分位、选择测量工具、设计测量方法、研究分析测量结果、分析产生误差的原因及如何消除误差。析产生误差的原因及如何消除误差。

7、例：例：测量一电阻的阻值。测量一电阻的阻值。二、二、测量过程与误差的基本概念测量过程与误差的基本概念测量结果测量结果包括比值、测量单位和精度评定。包括比值、测量单位和精度评定。例：例：测量一工件的长度为测量一工件的长度为90.2mm,90.2mm,不确定度为不确定度为0.1mm0.1mm。(a)(a)、测量的比较标准有以下三类：、测量的比较标准有以下三类：真值真值A0,指定值指定值As,实用值实用值A(a)真值真值A0：某一物理量在一定条件下（某一时刻、某一某一物理量在一定条件下（某一时刻、某一位置或状态下）所具有的客观的、不随测量方法改变的真位置或状态下）所具有的客观的、不随测量方法改变的真

8、实数（量）值。真值是一个理想的概念，一般无法得到。实数（量）值。真值是一个理想的概念，一般无法得到。一般来说，真值是未知的，但绝不意味着真值一定不知道。一般来说，真值是未知的，但绝不意味着真值一定不知道。理论真值，理论真值，通过理论方法获得的真值。通过理论方法获得的真值。例如：例如：三角形内角之和为三角形内角之和为180180o o；平面直角理论值为；平面直角理论值为9090o o，理想电容或电感构成的电路，电压与电流的相位差为理想电容或电感构成的电路，电压与电流的相位差为9090o o。（b b）指定值（计量学约定值）指定值（计量学约定值)：国际计量机构内部约定的国际计量机构内部约定的真值（

9、真值（例如：例如：七个国际基本单位量的确定等。七个国际基本单位量的确定等。长度 m 质量 kg 时间 s 电流 A 热力学温度 K 发光强度 cd 物质的量 mol）和国家设立的尽可和国家设立的尽可能维持不变的实物基准或标准原器所规定的值。能维持不变的实物基准或标准原器所规定的值。（c c）实用值：实际检测过程不可能与国家基准进行比较测）实用值：实际检测过程不可能与国家基准进行比较测量。因此采用剂量标准传递的方法将指定值、基准值传递给量。因此采用剂量标准传递的方法将指定值、基准值传递给各级计量站。各级计量站。(1)(1)、误差的来源、误差的来源 误差的来源应从测量的共性中去寻找。误差的来源应从

10、测量的共性中去寻找。在测量过程中，误差产生的原因主要可归纳为：在测量过程中，误差产生的原因主要可归纳为：测量装置测量装置、测量方法测量方法、测量环境测量环境、测量人员测量人员和和被测量自身被测量自身等几个方面的来等几个方面的来源。源。2 2、误差的产生及分类、误差的产生及分类 常用的误差表示方法有绝对误差法、相对误常用的误差表示方法有绝对误差法、相对误差法和引用误差法，分贝误差。差法和引用误差法，分贝误差。a a、绝对误差、绝对误差(Absolute error)(a)、定义：被测量的测量值与其真值之差；或者为定义：被测量的测量值与其真值之差；或者为用用绝对大小给出的误差为该量的绝对误差。简称

11、绝对大小给出的误差为该量的绝对误差。简称误差误差。绝对误差绝对误差=测量值测量值-真值真值0 xxA 其中其中 为绝对误差；为绝对误差；为测得值；为测得值；为被测量的真值。为被测量的真值。xx0A(2)(2)、误差的表示方法、误差的表示方法(b)(b)、关于绝对误差、关于绝对误差（I）一般所说的误差就是绝对误差；）一般所说的误差就是绝对误差；（II）绝对误差具有确定的大小、计量单位和）绝对误差具有确定的大小、计量单位和“+”、“-”号。号。反映测量值偏离真值的大小与方向，通常用于同一量级的反映测量值偏离真值的大小与方向，通常用于同一量级的同种量的测量结果的误差比较。同种量的测量结果的误差比较。

12、（III）绝对误差数值大小与所取单位有关。）绝对误差数值大小与所取单位有关。例：例：某加工车间加工一批直径为某加工车间加工一批直径为50mm的轴，抽检两根轴的的轴，抽检两根轴的直径分别为直径分别为49.9mm和和49.8mm，两根轴的绝对误差为，两根轴的绝对误差为mm2050849mm105094921.x.x (c)、修正值、修正值（Correction)修正值修正值=-=-绝对误差绝对误差=真值真值-测量值测量值 例：例：一个一个10g10g的三等标准砝码，经二等砝码计量检定的三等标准砝码，经二等砝码计量检定得到误差为得到误差为-0.002g-0.002g，砝码的实际值（真值）为，砝码的实

13、际值（真值）为 =-=+=-10g+0.002g=10.002g误差 测量值 真值 测量值 修正值真值 测量值 误差例：例：用某电压表测量电压，电压表的示值为用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差附近的误差为为5V，则修正后的结果为，则修正后的结果为:226+（-5）=221Vb b、相对误差、相对误差(Relative errorerror)（a）、）、定义：定义：绝对误差与被测量真值的比值。绝对误差与被测量真值的比值。相对误差相对误差=绝对误差绝对误差/真值真值%100Axr 因为测量值与真值比较接近，

14、故也可近似用绝对误差因为测量值与真值比较接近，故也可近似用绝对误差与测量值的比值作为相对误差。与测量值的比值作为相对误差。相对误差相对误差绝对误差绝对误差/测量值测量值 （b b）、关于相对误差）、关于相对误差（I I）相对误差是一个比值，其数值与被测量所取单位无关，）相对误差是一个比值，其数值与被测量所取单位无关，因而是无名数（即无量纲数），通常用百分数因而是无名数（即无量纲数），通常用百分数“%”%”表示。表示。（II）对于相同的被测量，绝对误差可以评定其测量精度的高）对于相同的被测量，绝对误差可以评定其测量精度的高低，对于不同被测量以及不同的物理量，采用相对误差来低，对于不同被测量以及不

15、同的物理量，采用相对误差来评定较为确切。评定较为确切。（III）绝对误差和相对误差通常适用于）绝对误差和相对误差通常适用于单值点单值点测量误差的表示。测量误差的表示。例：例：用电压表分别对用电压表分别对A、B两电压进行测量，测量结果如下两电压进行测量，测量结果如下：试比较两电压测量结果准确度的高低。试比较两电压测量结果准确度的高低。2V.00V50V.10V.100BBAA.xx 解：解：A A、B B两电压测量结果的相对误差分别为：两电压测量结果的相对误差分别为：4%5.00.21%100.01.0BBBAAAxrxr通过比较可知通过比较可知A A的准确度高于的准确度高于B B的准确度。的准

16、确度。c c、额定相对误差额定相对误差一种简化和方便实用的主要用于表示电表的误差，广泛用在电工和热工仪表方面，少一种简化和方便实用的主要用于表示电表的误差，广泛用在电工和热工仪表方面，少数无线电测量仪器也用这种误差表示方法。数无线电测量仪器也用这种误差表示方法。（a）、定义：）、定义：绝对误差与测量范围上限（或量程）的比值。绝对误差与测量范围上限（或量程）的比值。引用误差引用误差=绝对误差绝对误差/测量范围上限测量范围上限+100%Ax例：例：测量范围上限为测量范围上限为19600N的工作测力计（拉力表），的工作测力计（拉力表），在标定示值为在标定示值为14700N处的实际作用力为处的实际作用

17、力为14778.4N，则此，则此拉力计在该刻度点的拉力计在该刻度点的额定相对额定相对误差为：误差为：%4.0196004.78196004.1477814700上式只适用于单向刻度的电表。对于双向刻度的电表，上式只适用于单向刻度的电表。对于双向刻度的电表，以其两个测量上限的和作为分母，即以其两个测量上限的和作为分母，即（b b）、关于额定相对误差）、关于额定相对误差（I）一般电工仪表常按引用误差的大小来确定准确度的等）一般电工仪表常按引用误差的大小来确定准确度的等级，换而言之，常以准确度等级表示其引用误差的大小。级，换而言之，常以准确度等级表示其引用误差的大小。m12xAAmxA 常用的电工仪

18、表的可测范围不是一个点，而是常用的电工仪表的可测范围不是一个点，而是一个量一个量程，程，各刻度点的读数和对应的真值都不一样，各刻度点的读数和对应的真值都不一样，这时这时若按相对若按相对误差定义式计算相对误差，所引用的分母也不相同，误差定义式计算相对误差，所引用的分母也不相同，不仅计不仅计算很麻烦，而且没有必要对同一仪表给出许多相对算很麻烦，而且没有必要对同一仪表给出许多相对误差值误差值来。来。采用引用误差减少了这一麻烦，且方便统一了采用引用误差减少了这一麻烦，且方便统一了仪表的准仪表的准确度。确度。电表准确度等级与引用误差对照表电表准确度等级与引用误差对照表 （II）引用误差适用于具有）引用误

19、差适用于具有连续刻度连续刻度和和多挡量程多挡量程的测量仪器的测量仪器的误差。去掉的误差。去掉%和和后为测量仪器的准确度等级。后为测量仪器的准确度等级。对于符合某一等级对于符合某一等级S的仪表的仪表:利用这一点可以验证仪器是否合格。利用这一点可以验证仪器是否合格。准确度等准确度等级级0.10.20.51.01.52.55.0误差范围，误差范围，0.1 0.2 0.5 1.0 1.5 2.5 5.0S%额定相对误差s%xAxxrmms%Axm例：例：检定检定2.5级，上限为级，上限为100V的电压表，发现的电压表，发现50V分度点的分度点的示值误差为示值误差为2V，并且比其它各点的误差大，试问该电

20、表的最，并且比其它各点的误差大，试问该电表的最大引用误差为多少？该表是否合格？大引用误差为多少？该表是否合格？解：解：由引用误差定义可知，该表的最大引用误差为由引用误差定义可知，该表的最大引用误差为 当选用一个当选用一个S S级仪表测量某一量时，所产生的级仪表测量某一量时，所产生的最大绝对误差为：最大绝对误差为：最大相对误差最大相对误差为：为：%21002VV 由准确度等级的含义，显然该电表合格。由准确度等级的含义，显然该电表合格。例：例：某被测电压为某被测电压为100V100V左右，要求测量时其相对误差小左右，要求测量时其相对误差小于于2%2%，现有，现有0.50.5级、量程为级、量程为30

21、0V300V和和1.01.0级、量程为级、量程为150V150V两块电两块电压表，问应选用哪一个更合适？压表，问应选用哪一个更合适？解：解：当选用当选用0.50.5级、量程为级、量程为300V300V的电压表时，有的电压表时，有%5.1%5.01003001s%xAxxrm当选用当选用1.01.0级、量程为级、量程为150V150V的电压表时，有的电压表时，有%5.1%11001502s%xAxxrm 考虑到仪表等级越高，成本越高，故采用考虑到仪表等级越高，成本越高，故采用1.01.0级电表比级电表比较合适。较合适。选用仪器的原则：选用仪器的原则：不能单纯的追求测量仪表的准确不能单纯的追求测量

22、仪表的准确度越高越好，而应该根据被测量的大小，兼顾仪表的量程和度越高越好，而应该根据被测量的大小，兼顾仪表的量程和等级来合理的选择，其中被测量的大小应该在量程上限的三等级来合理的选择，其中被测量的大小应该在量程上限的三分之二以上。分之二以上。（III）引用误差是相对误差的一种，同为无名数，但二者又）引用误差是相对误差的一种，同为无名数，但二者又有区别，有区别，引用误差仅与测量上限有关，而与被测量的标称值引用误差仅与测量上限有关，而与被测量的标称值和实际值无关。和实际值无关。a a、按误差的特点与性质分类、按误差的特点与性质分类 （a a）、系统误差）、系统误差（systematic error

23、）定义：定义：在同一测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对在同一测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定；或在条件改变时，按一定规律变化的误值和符号保持恒定；或在条件改变时，按一定规律变化的误差。差。例如，例如，零点不准，表盘偏心、刻度不均匀、标准量零点不准，表盘偏心、刻度不均匀、标准量值的不准确、量具随温度变化等等。值的不准确、量具随温度变化等等。说明：说明：1 1）一定规律的含义）一定规律的含义：这种误差可以是某一因素或某：这种误差可以是某一因素或某几个因素的函数。几个因素的函数。2 2）实验或测量条件一经确定，系统误差就获得一个）实验或测量条件一经确定，系统误差就获得一

24、个客观上的恒定值，多次测量的平均值也不能减弱它的影响。客观上的恒定值，多次测量的平均值也不能减弱它的影响。（3 3）、误差的分类）、误差的分类 不变系统误差：误差绝对值和符号固定。不变系统误差：误差绝对值和符号固定。变化系统误差：误差绝对值和符号变化。变化系统误差：误差绝对值和符号变化。（b b）、随机误差）、随机误差(Random error)定义：定义：在同一测量条件下，多次测量同一量时，误在同一测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值时大时小，符号时正时负，以不可预知的差的绝对值时大时小，符号时正时负，以不可预知的方式变化。随机误差是测量结果减去对同一被测量方式变化。随机误差是测量结果

25、减去对同一被测量进行无限多次处理结果的平均值。进行无限多次处理结果的平均值。例如：例如：温度的波动、噪声的干扰、磁场的变化、温度的波动、噪声的干扰、磁场的变化、电源电压的起伏、仪器仪表中传动部件的间隙和摩擦、电源电压的起伏、仪器仪表中传动部件的间隙和摩擦、连接件的弹性变形等引起的示值不稳定、千分尺测长度连接件的弹性变形等引起的示值不稳定、千分尺测长度时的压力控制等。时的压力控制等。几点几点说明：说明：1）随机误差也称偶然误差；）随机误差也称偶然误差；2 2）随机误差是由于某些难以控制的偶然因素产生的）随机误差是由于某些难以控制的偶然因素产生的综合影响而形成的。综合影响而形成的。研究随机误差就是

26、为了了解实验数研究随机误差就是为了了解实验数据的离散性或重复性问题。据的离散性或重复性问题。3 3）随机误差在大量的重复测量中将遵守一定的统计）随机误差在大量的重复测量中将遵守一定的统计规律。规律。4 4）随机误差的变化不能预先确定，因此，不能修正，）随机误差的变化不能预先确定，因此，不能修正，只能估计而已。只能估计而已。随机误差的主要特征：随机误差的主要特征：随机性随机性。单次测量的随机误差没有规律，也不可预见，不单次测量的随机误差没有规律，也不可预见，不能用实验的方法来消除。但是大量重复测量的结果遵循能用实验的方法来消除。但是大量重复测量的结果遵循某种统计规律，因此可以某种统计规律，因此可

27、以采用概率统计的方法来处理含采用概率统计的方法来处理含有随机误差的数据。有随机误差的数据。注意事项：注意事项：系统误差系统误差是测量过程中是测量过程中某一突出某一突出因素变化所引起的，因素变化所引起的，随机随机误差误差是测量过程中是测量过程中多种因素多种因素微小变化综合引起，两者不存微小变化综合引起，两者不存在绝对的界限。在绝对的界限。c、粗大误差（、粗大误差（Gross error）定义：又称定义：又称“疏失误差疏失误差”或或“寄生误差寄生误差”，明显超出在明显超出在规定条件下预期的误差。规定条件下预期的误差。特征：特征：明显的歪曲测量结果明显的歪曲测量结果。成因可归纳为。成因可归纳为测量条

28、测量条件突变件突变或或人为因素人为因素。1.置信限：估计的误差范围或误差限称为置置信限：估计的误差范围或误差限称为置信限，即不确定度。信限，即不确定度。2.置信概率：置信限的估计涉及概率问题，置信概率：置信限的估计涉及概率问题，常将置信限估计把握的大小用置信概率来常将置信限估计把握的大小用置信概率来表示。表示。3.置信限取的大，置信概率就高，反之亦然。置信限取的大，置信概率就高，反之亦然。当置信限取为无穷时，置信概率为当置信限取为无穷时，置信概率为1。当置信限取零时，置信概率为当置信限取零时，置信概率为0。3 3、置信限和置信概率、置信限和置信概率三、三、随机误差随机误差1 1、随机误差的性质

29、与标准偏差、随机误差的性质与标准偏差 随机误差是由随机误差是由很多暂时无法掌握或不便掌握的很多暂时无法掌握或不便掌握的微小微小因素因素综合造成的。这些因素对测量结果的影响关系人们还综合造成的。这些因素对测量结果的影响关系人们还没有认识，或没有完全认识，因此对其影响有时还无能为没有认识，或没有完全认识，因此对其影响有时还无能为力加以控制。力加以控制。（1）主要表现在以下几方面：）主要表现在以下几方面：a、实验或测量环境的微小波动，、实验或测量环境的微小波动，如温度、湿度、气压、如温度、湿度、气压、气流、电场、磁场、光照、灰尘等的微小变化。气流、电场、磁场、光照、灰尘等的微小变化。b、测量装置（仪

30、器）方面的因素，、测量装置（仪器）方面的因素，主要是由于实验或主要是由于实验或测量手段、仪器工作状态微小的波动引起。如零部件配测量手段、仪器工作状态微小的波动引起。如零部件配合的不稳定、零部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩合的不稳定、零部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等。擦等。c、人员方面的因素：、人员方面的因素：测量者生理状态变化引起的感觉判别能测量者生理状态变化引起的感觉判别能力的波动，如瞄准、读数的不稳定等。力的波动，如瞄准、读数的不稳定等。a、随机误差的、随机误差的随机性。随机性。b、随机误差产生在、随机误差产生在测量过程测量过程中。中。c、随机误差服从、随机误差服从统计规律统计规

31、律，增加测量次数可减小随机误差对，增加测量次数可减小随机误差对测量结果的影响。测量结果的影响。随机误差处理方法的理论依据是概率论与数理统计知识。随机误差处理方法的理论依据是概率论与数理统计知识。具体参量可用具体参量可用数学期望数学期望、方差方差和和置信概率置信概率等特征量来表示。等特征量来表示。（2）随机误差的）随机误差的特性特性点点（3）处理随机误差的基本原则）处理随机误差的基本原则（4 4）正态分布函数）正态分布函数随机误差的分布规律多种多样，但多数服从或近似服从随机误差的分布规律多种多样，但多数服从或近似服从正态分布。根据概率论的中心极限定理，几种非正态误差共正态分布。根据概率论的中心极

32、限定理，几种非正态误差共同作用的结果也将使总误差趋向正态分布。正态分布又称高同作用的结果也将使总误差趋向正态分布。正态分布又称高斯分布，因为德国数学家高斯（斯分布，因为德国数学家高斯（GaussGauss）在研究误差理论）在研究误差理论时，较早地引入了这种分布。时，较早地引入了这种分布。假定在某一相同条件下的测量列为假定在某一相同条件下的测量列为x x1 1、x x2 2、x xn n，为为 真值，各测量值的概率分布，真值，各测量值的概率分布，则服从则服从正态分布正态分布的随机误差的的随机误差的概率密度函数概率密度函数为为iix令22()21p()2eN21nNNn 1lim(x)为标准偏差，

33、22x21p(x)2e（-）正态概率密度函数的是一条钟形曲线，称为正态概率密度函数的是一条钟形曲线，称为正态（高斯）正态（高斯）曲线。正态曲线（曲线。正态曲线（服从正态分布的随机误差）服从正态分布的随机误差）具有如下性质：具有如下性质：（1）单峰性）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；率大；（2）对称性）对称性：绝对值相等且符号相：绝对值相等且符号相反的误差出现的概率相同。反的误差出现的概率相同。（3）抵偿性抵偿性：绝对值相等且符号相：绝对值相等且符号相反的误差相互抵消。反的误差相互抵消。（4）有界性）有界性：在一定测量条件下，：在一定测

34、量条件下，不可能出现无限大的随机误差。不可能出现无限大的随机误差。标准差（均方根误差）标准差（均方根误差）和方差和方差2描述正态分布曲线的描述正态分布曲线的形状，是恒正值。形状，是恒正值。、2越大，分布越大，分布曲线的峰值就越低，图形的形状就越曲线的峰值就越低，图形的形状就越“胖胖”，分布曲线分布曲线越平缓越平缓，离散程度，离散程度越大越大；反之；反之、2越越小，分布曲线的峰值越高，图形的形状越小，分布曲线的峰值越高，图形的形状越“瘦瘦”，分布曲分布曲线线越陡峭越陡峭，离散程度，离散程度越小。越小。标准差（均方根误差）标准差（均方根误差）和方差和方差2描述分布曲线的宽窄。描述分布曲线的宽窄。如

35、下图所示如下图所示被测量的真值通常是不知道的，一般用有限测量值的平被测量的真值通常是不知道的，一般用有限测量值的平均值来近似表示真值。测量值的平均值是真值的最佳估计值，均值来近似表示真值。测量值的平均值是真值的最佳估计值，因此平均值也叫因此平均值也叫最佳值。最佳值。处理数据时常用的平均值有以下几种：处理数据时常用的平均值有以下几种：（1 1）、算术平均值）、算术平均值a、算术平均值：算术平均值：设设x1,x2,xn是某被测量的一组实验测量是某被测量的一组实验测量数据，数据，n代表测代表测量的次数，则算术平均值定义为量的次数，则算术平均值定义为当测量值的分布符合正态分布时，用最小二乘法原理可以当

36、测量值的分布符合正态分布时，用最小二乘法原理可以证明在一组等精度测量中，算术平均值为真值的最佳估计值。证明在一组等精度测量中，算术平均值为真值的最佳估计值。nxxxxnxniin121).(12 2、平均值、平均值 算术平均值的标准差算术平均值的标准差是表征被测量是表征被测量各个算术平均值离散各个算术平均值离散程度程度的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。它与单次测量标准差具有以下关系：它与单次测量标准差具有以下关系：nxb、算术平均值的标准偏差、算术平均值的标准偏差由此可知：由此可知：在在n次等精度测量列中，算术平均值的次等精度测量列中，算术

37、平均值的标准差为单次测量标准差的标准差为单次测量标准差的，当测量次数，当测量次数愈大时，算术平均值愈接近被测量的真值，测量愈大时，算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。精度也愈高。n1（2 2）、加权平均值）、加权平均值设对同一量用不同方法进行测量，或者在不同条件下进设对同一量用不同方法进行测量，或者在不同条件下进行测量，或者由熟练程度不同的人员进行测量，则测量值的行测量，或者由熟练程度不同的人员进行测量，则测量值的可靠程度就有所不同，对于好的量值给予较大的信任，差的可靠程度就有所不同，对于好的量值给予较大的信任，差的量值给予较小的信任。量值给予较小的信任。权：权：在计算平均值时，常希

38、望对比较可靠的数据予以突出，在计算平均值时，常希望对比较可靠的数据予以突出，也就是让好的可信的测量值在计算平均值时占有较大的比也就是让好的可信的测量值在计算平均值时占有较大的比例，让可靠性低的数据占有比较小的比例，这个比例系数称例，让可靠性低的数据占有比较小的比例，这个比例系数称为权，考虑权的因素后所求得的平均值称为为权，考虑权的因素后所求得的平均值称为加权平均值。加权平均值。设设x1,x2,xn代表代表n次测量值，次测量值，1，2，n代代表各对应值的权，则加权平均值为表各对应值的权，则加权平均值为niiniiinnnnxxxxx11212211.各测量值的权应该酌情给定，通常以测量值的可信程

39、度各测量值的权应该酌情给定，通常以测量值的可信程度来决定。在非等精度测量中，对可信程度大的测量值可以给来决定。在非等精度测量中，对可信程度大的测量值可以给予较大的权值，要想将权值处理得当，要依靠研究人员、实予较大的权值，要想将权值处理得当，要依靠研究人员、实验工作者的丰富经验才能办到。验工作者的丰富经验才能办到。如果知道测量值如果知道测量值xi在很大的测量总数在很大的测量总数n中出现的频率中出现的频率ni/n即概率即概率pi，则可将频率或概率作为权来计算加权平均值，即，则可将频率或概率作为权来计算加权平均值，即nnxpxpxpx.2211（3 3）、均方根平均值）、均方根平均值 n n个正的或

40、负的测定值个正的或负的测定值x1,x2,xn，其均方根平均值的定，其均方根平均值的定义为义为niinrxnnxxxx12222211.rx均方根平均值常用于计算气体分子的平均平动动能以及均方根平均值常用于计算气体分子的平均平动动能以及交流电压和交流电流。交流电压和交流电流。3、标准差的计算（估算）法、标准差的计算（估算）法贝塞尔公式贝塞尔公式(BesselFormula)由误差的定义可知由误差的定义可知0 xxii)1(.0022011xxxxxxxxxxxxnn由此可得由此可得xxx)(0式（式（1）中）中称为算术平均值的误差称为算术平均值的误差，将，将它和它和代入（代入（1）式则有下列（）

41、式则有下列（2）式）式xxii将（将（2 2）式对应项相加得）式对应项相加得)2(.2211xnnxxxniiniin11将（将（2 2）式各项平方后再相加则得）式各项平方后再相加则得)4(2212121212xniiniixxniiniinn)3(111nnnniiniiniix将（将（3 3）式平方有）式平方有)5(221212212nnnnjijiniiniix2121212nnniiniinii2122niin当当n n适当大时，根据误差的抵偿性可认为适当大时，根据误差的抵偿性可认为 趋近于零并趋近于零并将（将（5 5）式代入（）式代入（4 4）式得）式得2i1(xx)(6)1ninn

42、iji1于是有（于是有（6 6）式）式N21nNNn 1lim(x)为标准偏差，（6）式为计算）式为计算估计值的公式，通常用估计值的公式，通常用S表示，并称之为标表示，并称之为标准偏差，由此得到一个重要的计算公式准偏差，由此得到一个重要的计算公式21()(7)1niiixxSn 例：例：测量温度得到测量温度得到1111个测量值（单位：个测量值（单位：），数据如下：），数据如下：528528，531531，529529，527527，531531，533533，529529，530530，532532，530530，531 531 求求：算术平均值及其标准差。算术平均值及其标准差。解：解：算术平

43、均值算术平均值标准差标准差 平均值标准差平均值标准差 由数据可得：由数据可得：,5831n1iix3090991n1i2ixCnxxnii15301.CS53.028.0CnSSxo16.01153.0 间接测量的误差实际上是直接测量量及其误差的函数，间接测量的误差实际上是直接测量量及其误差的函数，所以这种间接测量量的误差又称所以这种间接测量量的误差又称函数误差。函数误差。其其实质实质是研究误是研究误差的传递问题。差的传递问题。误差计算公式误差计算公式 待测量待测量y与各直接测量值与各直接测量值x1,x2，x n 之间有函数关之间有函数关系系 nxxxfy,21 误差误差 12112.nnii

44、niffffyxxxxxxxx 2222（）（）（）（）标准差标准差4、间接测量的误差传递、间接测量的误差传递221)inyxiifx（几种简单函数关系的误差传递计算法如下。(1)ykx 时，其中k为常数，有 (2)时，xky22xyk21xxy2221xxy2221xxy(3)时，有 (4)时，21/xxy 21xxy 221212)()(xxxxy2122212yxxxx22121222)()()1(xxxxxy2212222221)1(yxyxxxnxxnii13、算术平均值、算术平均值4、测量列（单次测量）的标准差为、测量列（单次测量）的标准差为nxxnii102)(当测量次数当测量次

45、数n趋于无穷时，算术平均值趋于真值。趋于无穷时，算术平均值趋于真值。描述随机误差描述随机误差分散性的指标。分散性的指标。1、服从正态分布的随机误差的概率密度函数：、服从正态分布的随机误差的概率密度函数：221(x)p(x)exp()222、正态分布的特征：单峰性、对称性、抵偿性及有界性。、正态分布的特征：单峰性、对称性、抵偿性及有界性。随机误差随机误差 小结小结 5、标准差的估算方法：、标准差的估算方法：贝塞尔公式贝塞尔公式112nvSnii 6、算术平均值标准差的估计值、算术平均值标准差的估计值xxSSn3lim7、单次测量的极限误差、单次测量的极限误差 1、系统误差及一般处理原则系统误差及

46、一般处理原则 (1)在进行某项参量的检测之前，应尽可能地预见到一切有可能产生系统误差的来源，并针对这些不同来源，设法消除或减弱系统误差，使之达到可以接受的程度。(2)采用一些有效的检测原理和检测方法，来消除或尽力减弱系统误差对检测结果的影响。(3)在对检测数据进行处理时，设法检查是否有未被注意到的变值系统误差。如周期性的、渐增性的或渐减性的系统误差等。(4)在精心采用检测设备和精心进行检测之后，应设法估计出未能消除而残留下系统误差的大小，以及它们最终对检测结果的影响。也就是说估计出残余系统误差的数值范围以便进行必要的修正。四、四、系统误差系统误差2、消除或减弱系统误差的典型检测技术消除或减弱系

47、统误差的典型检测技术 (1)(1)示零法示零法 示零法的原理是将被检测量的作用和已知量的作用相互抵消，使它们的总效应为零。这时被测量等于己知量。图 2-3 示零法测电压原理RREUUx2231RRRRx图2-4 示零法测电阻原理(2)(2)微差法微差法 微差法检测的原理：检测待测量x与一个数值相近的已知量N之间的差值(Nx)，这时待测量xN(Nx)。这种方法不是彻底的示零法，常叫做虚零法，在电桥中则称失衡电桥法。图2-5 微差法测电压原理U0=U Ux)()()(223311RRRRxx（2-46）(3)代替法代替法 代替法的工作原理：采用可以调节的标准器，在检测回路中代替被检测量，并且不引起

48、测量仪器示值得改变。这时可调标准器的量值等于待测量的大小，以达到减少系统误差的目 (4)(4)补偿法补偿法 补偿法的工作原理：进行两次测量。第一次测量平衡时的关系为RN+RxR1R3R2；第二次测量去掉Rx，调整RN至RN，测量平衡时的关系为RN R1R3R2，待测量RxRNRN。引入误差，两次测量电桥平衡时的关系为 NNxNxNRRRRRRRRRRRR223311223311（2-52）NNx（2-54）(5)对照法对照法 对照法检测的工作原理：在同一检测系统中，通过改变测量的不同安排，测量出两个结果。把它们相互对照，从中检测出系统误差。有时也可求出系统误差的大小。例如某比较电桥R1R21和

49、一个可变标准电阻RN，用来检测未知标准电阻Rx。第一次检测时把RN放在四臂电桥的R3处，则有NxRRRR21（2-55）第二次检测将RN和Rx对换，设将RN调至RN时，电桥平衡，则有12NxRRRR（2-56）若RNRN，那么有R1R2R2R11，说明两比较臂无系统误差，于是RxRNRN。若RNRN，则有R1R21+1，这时可将两次检测结果相对照，即把式(2-55)和式(2-56)等号两边各自相乘：)(2112212NNNNxNNxRRRRRRRRRRRR上式中不出现R1和R2，也就是说对照法消除了这两个电阻带来的误差。（2-57）所以有NNNNNNNNNRRRRRRRRR2121221221

50、21如果把两次检测结果联系起来则有1212122211221NNNNNNxRRRRRRRRRRRRRRR（2-58）通过以上的推导，找到了计算该电桥误差的方法。对非比较电桥来说，以下两式依然成立：21NNxRRR2121NNRRRR（2-59）（2-60）3、系统处理中的几个问题、系统处理中的几个问题（1）系统误差消除的准则系统误差消除的准则 这一准则主要是讨论系统误差减弱到什么程度时就可以忽略不计。如果某一项残余系统误差或几项残余系统误差的代数相的绝对值为 ，而当测量总误差的绝对值为 ，那么当 是两位有效数字时，满足下式要求，则可舍去。xxxx21021xx（2-61）当 是一位有效数字时，