核辐射测量原理-课件(3).ppt

1、12 统计性统计性是微观世界的属性之一。放射是微观世界的属性之一。放射性性原子核的衰变原子核的衰变、辐射微观粒子的探测辐射微观粒子的探测、辐射探测器接收入射粒子并产生输出信号辐射探测器接收入射粒子并产生输出信号等都是一个等都是一个。这些这些粒子数粒子数、输出信号的电荷量输出信号的电荷量、信信号出现的时刻号出现的时刻等是一个等是一个的的，这样辐射测量所得到的这样辐射测量所得到的也都是涨落的，也都是涨落的，要从这些数据推导出结论，就必须用要从这些数据推导出结论，就必须用的方法处理。的方法处理。3 1 1、可用于、可用于检验检验一台一台核计数装置核计数装置的功能和的功能和状态是否正常；状态是否正常；

2、计数统计学的计数统计学的意义意义可归结为两个方面：可归结为两个方面：2 2、在处理只有一次或极为有限的测量中，、在处理只有一次或极为有限的测量中，可用计数统计学来可用计数统计学来预测预测其固有的其固有的统计不确定统计不确定性性，从而，从而估计估计该单次测量应有的该单次测量应有的。43.1.1 几种常用的统计模型几种常用的统计模型(1)(1)二项式分布二项式分布 二项式分布是二项式分布是支配支配偶然事件偶然事件的的最通用的最通用的概率概率分布，广泛应用于所有分布，广泛应用于所有概率概率p恒定恒定的过程。的过程。设一随机试验条件组为：作设一随机试验条件组为：作 次独立试验，每次独立试验，每次试验中

3、次试验中要么发生要么发生 事件，事件，要么不发生要么不发生，且，且 事件事件发生的概率发生的概率为为 ，不发生的概率不发生的概率为为 。定义随机变量定义随机变量 为按上述条件组试验后，为按上述条件组试验后，事件事件 总共发生的次数。总共发生的次数。可取值为可取值为0 0，1 1，2 2，.，是是离散型随机变量离散型随机变量。0NAApp 1 A 0N3.1 概率论基础知识概率论基础知识5二项式分布二项式分布的的概率函数概率函数：在一组在一组N0个个独立试验独立试验中，中，事件事件A成功成功n次的次的概率概率为：为：00N-nnnNP =n=Cp q000!()!NnnNp qnNn 可见，二项

4、式分布的可见，二项式分布的是由是由N0 和和 p 决定的。决定的。6二项式分布随机变量二项式分布随机变量的的数学期望数学期望和和方差方差:数学期望数学期望 0000NNnmEn PnN p 方差方差 002N2Nn=0=D =n-E Pn pEpqN 10 7(2)(2)泊松分布泊松分布是在是在N0很大很大、概率概率p很小很小的条件下，的条件下，二项式分布二项式分布在数学上的在数学上的直接简化直接简化，是二项式分布，是二项式分布的一种极限情况。的一种极限情况。对二项式分布，当对二项式分布，当 N0 很大，但很大，但 p11(1(例如例如20)20)时，时，泊松分布泊松分布就可就可简化为简化为高

5、斯分高斯分布布。对高斯分布，。对高斯分布，随机变量随机变量X取值范围为取值范围为()，为为连续型随机变量连续型随机变量。其。其概率密度函概率密度函数数为：为：222exp21 mxxf高斯分布随机变量高斯分布随机变量的的数学期望和方差数学期望和方差数学期望数学期望 方差方差 mdxxfxxE 22 dxxfxExxD11 高斯分布高斯分布连续对称连续对称，可以方便的计算测，可以方便的计算测量值出现在量值出现在 区间内的区间内的概率概率，即，即：Zm 令：令：ZmXZmP dxeZmXZmPZmZmmx 222)(21 mxz dxdz 1 ZzZZzdzedzeZmXZmP0222221221

6、 可由高斯函数数值积分表查得。可由高斯函数数值积分表查得。)(Z 12,ZmZm 表示表示置信区间置信区间为为 Z)(2Z 该置信区间的该置信区间的置信度置信度为：为：例如：例如：当当Z1 1时，时，置信区间置信区间为为 该置信区间的该置信区间的置信度置信度为为%3.68)1(2 当当Z2 2时，时，置信区间置信区间为为 2该置信区间的该置信区间的置信度置信度为为%5.95)2(2 133.1.2 随机变量的运算和组合随机变量的运算和组合 复杂随机变量复杂随机变量往往可以往往可以分解分解为为由若由若干简单的随机变量干简单的随机变量运算运算、组合组合而成。而成。这样就这样就可以由可以由已知的已知

7、的简单随机变简单随机变量量的的分布函数分布函数与与数字表征数字表征来来求求复杂随复杂随机变量机变量的的分布函数分布函数和和数字表征数字表征。14(A)(A)XCECXE XDCCXD2(1).(1).随机变量的函数随机变量的函数(B)(B)相互独立相互独立的随机变量的的随机变量的“和和”、“差差”与与“积积”的的数学期望数学期望，是各随机变量，是各随机变量数学期望数学期望的的“和和”、“差差”与与“积积”，即：，即：2121XEXEXXE 1212E XXE XE X 15(C)(C)相互独立相互独立的随机变量的的随机变量的“和和”与与“差差”的的方差方差，是各随机变量，是各随机变量方差方差的

8、的“和和”，即：，即：2121XDXDXXD (D)(D)相互独立相互独立的的遵守泊松分布的随机变量遵守泊松分布的随机变量之之“和和”仍服从泊松分布。仍服从泊松分布。要注意的是相互独立的遵守泊松分布的随机要注意的是相互独立的遵守泊松分布的随机变量之变量之“”，泊松分布。泊松分布。16(2).(2).串级随机变量串级随机变量 辐射测量中经常会遇到辐射测量中经常会遇到级联级联、倍增倍增过过程的程的涨落问题涨落问题，这些问题可以用，这些问题可以用串级型随串级型随机变量机变量的概念及运算规则来处理。的概念及运算规则来处理。设对应于试验条件组设对应于试验条件组A A定义定义一个随机变一个随机变量量 1

9、1，对应于另一试验条件组，对应于另一试验条件组B B定义定义另一另一随机变量随机变量 2 2，且二者，且二者相互独立相互独立。按以下规。按以下规则定义一个则定义一个新的随机变量新的随机变量：17(A)(A)先先按条件组按条件组A A作作一次一次试验，实现了试验，实现了随随机变量机变量 1的的一个一个可取值可取值 1i；(B)(B)再再按条件组按条件组B B作作 1i次次试验，实现了试验，实现了随随机变量机变量 2的的 1i个个可取值可取值 ；i12,22,21 (C)(C)将将这些可取值加起来这些可取值加起来得到得到一个一个值值 i，并将此值定义为一个并将此值定义为一个新的随机变量新的随机变量

10、 的的一一个个可取值可取值；iijji111222221.这里，这里，随机变量随机变量 为为随机变量随机变量 1与与 2的的“串级串级”随机变量。而且按顺序分别称随机变量。而且按顺序分别称 1和和 2为此串级随机变量的为此串级随机变量的第一级第一级和和第二级第二级。18串级随机变量的主要特点：串级随机变量的主要特点：(A)(A)期望值：期望值：21 EEE (B)(B)方差：方差：21122 DEDED (C)(C)相对方差：相对方差：21222211 EED 假如假如随机变量的随机变量的数学期望数学期望，那，那么就可以么就可以忽略忽略第二级第二级随机变量的随机变量的相对方差相对方差对对串串级

11、随机变量级随机变量的的相对方差相对方差的的贡献贡献。19对对N个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量 串串级而成的级而成的N级串级随机变量级串级随机变量，有：，有：N ,21 NEEEE 21 1212,2123,122,21,2 NNEEEEEE 20(D)(D)由由两个两个 1 1和和 2 2串级而成的串级而成的随机变量随机变量 仍是仍是。即。即 仍仍是只有两个可取值是只有两个可取值(0,1)(0,1)的伯努利型随机变量。的伯努利型随机变量。若伯努利型若伯努利型随机变量随机变量 1 的正结果发生概率的正结果发生概率为为 p1,2 的正结果发生概率为的正结果发生概率为 p2，则，则 正结果

12、正结果发生概率为：发生概率为：21ppp 21(E)(E)由由的随机变量的随机变量 1 1与与 2串级而成的随机变量串级而成的随机变量 仍仍。设设 1的的平均值平均值为为m1,而而 2的正结果发生概率的正结果发生概率为为p2，则，则 的的平均值平均值为：为：21pmm 223.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布核衰变数与探测器计数的涨落分布3.2.1核衰变数的涨落核衰变数的涨落 放射性衰变是一种随机过程，放射性放射性衰变是一种随机过程，放射性衰变规衰变规律律为为:teNtN 0 在在0t 时间内，原来时间内，原来N0个放射性核中，发生个放射性核中，发生了了衰变衰变的核的的核的平均数平均数为为

13、teNtNNNn 100 当当N0很大很大时，对一个核而言，一个核在时，对一个核而言，一个核在0t 时间内时间内发生衰变的发生衰变的概率概率为：为：teNNp 10每一个每一个放射性核放射性核在在t 时间内发生时间内发生衰变衰变是什么是什么事件事件？是是伯努利事件伯努利事件 随机变量取随机变量取1的正事件发生的概率的正事件发生的概率tep 1取取0的概率为的概率为tepq 123 则则总总的的衰变数衰变数N就是上述就是上述伯努利事件伯努利事件重复重复N0次，发生次，发生正结果正结果的的事件之和事件之和。对于一个具有对于一个具有N0个放射性核的放射源，在个放射性核的放射源，在t 时时间内发生核衰

14、变数为间内发生核衰变数为N，是一个遵守二项式分布，是一个遵守二项式分布的随机变量。的随机变量。概率函数概率函数 NNtNtNeeNNNNNPNP 001!00数学期望值数学期望值 teNpNNEm 100方差方差 tteeNmqND 10224长寿命长寿命核素，其核素，其衰变概率衰变概率tep 1 tNeNt 001为为有限量有限量在在t 时间内时间内N遵守遵守 mNeNmNP !期望值期望值 tNeNmt 001方差方差 tNeeNtt 0021 在核衰变过程中核衰变数的在核衰变过程中核衰变数的方差方差与其与其平均平均值值相等相等。m 2 253.2.2、探测器计数的涨落分布探测器计数的涨落

15、分布(1).(1).探测器探测器输出计数输出计数的的统计分布统计分布 脉冲探测器的脉冲探测器的特点特点：它的：它的输出输出脉冲数脉冲数就反映了就反映了t时间时间内内射入探测器射入探测器的的粒子数粒子数，也就代表了也就代表了放射源放射源在在t时间时间内内发射发射出的出的总总粒子数粒子数。由于由于放射性核衰变放射性核衰变具有具有统计分布统计分布，测量，测量过程中过程中射线与物质相互作用过程射线与物质相互作用过程也具有也具有随随机性机性，因此在某个测量时间内对，因此在某个测量时间内对样品样品进行进行测量得到的测量得到的同样是一个同样是一个随机变量随机变量。26、n1为为t 时间内时间内放射源放射源发

16、出的发出的粒子数粒子数，服从，服从泊松分布泊松分布 tNn 01源源发射粒子数发射粒子数n1射入射入探测器探测器粒子数粒子数n2探测器探测器输输出脉冲数出脉冲数n3 脉冲计数器脉冲计数器的的测量过程测量过程可以概括为可以概括为三个三个基本基本过程过程，其，其计数值计数值为一个为一个三级三级串级型随机变量串级型随机变量。27、n3为探测器为探测器输出脉冲数输出脉冲数。遵守。遵守。平均值平均值tNnn 0234方差方差tNnn 03243n3实际上是一个实际上是一个三级三级的的串级型串级型随机变量随机变量。、n2为进入为进入探测器探测器表面，即进入表面，即进入立体角立体角的粒的粒子数。子数。n2仍

17、为遵守仍为遵守泊松分布泊松分布的的随机变量：随机变量：tNpnn 012428 放射源放射源在在t 时间内时间内发射的粒子数发射的粒子数n1 遵遵守守，探测器探测器相应的相应的输出脉冲数输出脉冲数n3也也遵守遵守，探测器，探测器输出脉冲数输出脉冲数的的平平均值均值为源发射的为源发射的平均粒子数平均粒子数与与几何因子几何因子及及探测器效率探测器效率之积。之积。如果如果放射源放射源发射粒子发射粒子不是不是各向各向均匀均匀的，上的，上述结论是否成立？述结论是否成立？仍然成立，只要粒子落在仍然成立，只要粒子落在内的内的概率概率是是不变不变的的某一常数某一常数 f几何因子几何因子不再是不再是 ，而是，而

18、是 4 f29(2).(2).探测计数的统计误差探测计数的统计误差 粒子计数粒子计数探测器探测器输出脉冲数输出脉冲数服从服从统计分布统计分布规律，当规律，当计数计数的的数学期望值数学期望值 m较较小小时，服从时，服从泊松分布泊松分布。m较较大大时，服从时，服从高斯分布高斯分布。而且，而且，m 2 m较大时，较大时，m与与有限次测量有限次测量的的平均值平均值 和和任一次任一次测测量值量值 N 相差不大。相差不大。NN=m=N=N 表明：对表明：对放射性计数放射性计数的的只需用只需用一次计一次计数数N 或或有限次计数的平均值有限次计数的平均值 开方即可得到。开方即可得到。N30 标准误差标准误差

19、随随计数计数N增大而增大，因此用增大而增大，因此用来表示来表示测量值测量值的的精确程度精确程度：NNNNNN1 计数测量结果的表示计数测量结果的表示：NN NN 表示一个表示一个置信区间置信区间，该区间包含，该区间包含真平均值真平均值的概率为的概率为68.368.3（置信度）。（置信度）。【注意】这种表示的标准误差仅适用于误差【注意】这种表示的标准误差仅适用于误差仅仅仅仅由由引起的情况。引起的情况。31 样本方差样本方差是是总体方差总体方差的的无偏估计无偏估计，可以由样本，可以由样本方差来估计有限次测量的方差方差来估计有限次测量的方差称为称为标准偏差标准偏差 ：s kiisNNk12)(11

20、不仅包括不仅包括统计误差统计误差，还还反映了反映了其他偶然误差其他偶然误差的贡献。的贡献。可用于数据的检验可用于数据的检验.s sN323.3 计数统计误差的传递计数统计误差的传递 在一般的核测量中，常涉及在一般的核测量中，常涉及函数的统计误差函数的统计误差的计算，也就是的计算，也就是误差传递误差传递(Error Propagation)。若若 是是相互独立相互独立的随机变量，其标的随机变量，其标准误差相应为准误差相应为 ，由这些随机变，由这些随机变量量导出的任何量导出的任何量 的的标准误标准误差差可以用下面公式求出：可以用下面公式求出：nxxx,21 nxxx,21 ),(21nxxxfy

21、22222221221nxnxxyxyxyxy 33分析一些常见情况：分析一些常见情况：21xxy (1)(2221xxy )/()(212/12221xxvxxy 34例如：存在本底时净计数误差的计算：例如：存在本底时净计数误差的计算：辐射测量中，辐射测量中，本底总是存在的本底总是存在的。本底包括。本底包括宇宙射宇宙射线、环境中的天然放射性、仪器噪声线、环境中的天然放射性、仪器噪声及及放射性实放射性实验室中的其它放射源验室中的其它放射源等。这时，为求得净计数需等。这时，为求得净计数需要进行两次测量：要进行两次测量：第一次第一次，没有样品，在时间，没有样品，在时间t内测得本底内测得本底的计数为

22、的计数为Nb；第二次第二次，放上样品，在，放上样品，在相同相同时间内测得样时间内测得样品和本底的总计数为品和本底的总计数为Ns。样品的净计数为：样品的净计数为：bsNNN 0其标准偏差为：其标准偏差为：sbNNNNNsb )(220 35(2)Axy Bxy/yx=A xy=Byxyv=yx或或例如：计数率的误差：例如：计数率的误差：设在设在 t 时间内记录了时间内记录了N个计数，则计数率为个计数，则计数率为n=N/t，计数率的标准误差计数率的标准误差为：为：tNn tntNtN 2其其相对标准误差相对标准误差为：为：NvNn/N/1 36例如：存在本底时计数率的误差：例如：存在本底时计数率的

23、误差：第一次第一次，没有样品，在时间，没有样品，在时间tb内测得本底内测得本底的计数为的计数为Nb；第二次第二次，放上样品，在，放上样品，在ts时间内测得样品时间内测得样品和本底的总计数为和本底的总计数为Ns。37样品的净计数率样品的净计数率为：为：sb0sbsbNNn=n-n=-tt其其标准误差标准误差为：为：0bs22bsbsNNN22bsbsNNnn=(+)=+=+tttt测量结果测量结果可写成：可写成：0sb0nsbsbnnn=(n-n)+tt相对标准误差相对标准误差为：为：bbssbsntntnnnv 1038例：例：测样品测样品8min得到计数得到计数200个，测本底个，测本底4m

24、in得到计数得到计数72个，求样品净计数率个，求样品净计数率及误差。及误差。39解：解：1200727min84sb0sbsbNNn=n-n=-tt0-1bsbsN2222bsbsNNnn20072=+=+=+2.8mintttt840-10nn=(72.8)min4021xxy (3)21/xxy 2221221 xxyxxy 22221xxyvvv 2/122212121 xxxxxxy 2/122212121 xxxxxxy 或或41(4)平均计数的统计误差平均计数的统计误差对某样品重复测量对某样品重复测量k次，每次测量时间次，每次测量时间t相相同同(等精度测量等精度测量)，得到，得到k

25、个计数个计数 则在时间则在时间t内的内的平均计数值平均计数值为：为：kNNN,21 kiiNkN11由误差传递公式，平均计数值的由误差传递公式，平均计数值的方差方差为：为：kNNkkkiikiNNi 12122211 42多次重复测量多次重复测量结果表达结果表达：NN kNN/平均计数的相对标准误差平均计数的相对标准误差：iiNNNNkNv11 43(5)不等精度独立测量值的平均不等精度独立测量值的平均 如果对同一量进行了如果对同一量进行了k次独立测量，各次独立测量，各次测量的时间为次测量的时间为ti，计数为，计数为Ni。这是。这是不等精不等精度测量度测量。这时，简单的求平均不再是求单。这时，

26、简单的求平均不再是求单次次“最佳值最佳值”的适宜方法。需要进行的适宜方法。需要进行加权加权平均平均，使测量，使测量精度高精度高的数据在求平均值时的数据在求平均值时的的贡献大贡献大，精度低精度低的的贡献小贡献小。先求各次测量的先求各次测量的计数率计数率及及方差方差：iiitNn iintni 2 44计数率的加权平均值为计数率的加权平均值为：iiiiiiiiitNtntn标准偏差为：标准偏差为：iiiiiiiNiintnNtti22211 相对标准偏差为：相对标准偏差为：iinnNnv1 45结果表示为：结果表示为：iintnnn 如果如果k次测量的次测量的时间均相等时间均相等，则测量为等，则测

27、量为等精度测量：精度测量：ktnnnn 从统计误差而言，无论是一次测量还是从统计误差而言，无论是一次测量还是多次测量，只要多次测量，只要总的计数总的计数相同，多次测量相同，多次测量的平均计数率的平均计数率相对误差相对误差和一次测量的计数和一次测量的计数率的率的相对误差相对误差是是一致一致的。的。46(6)测量时间的选择测量时间的选择(B)有本底存在时，需要合理分配样品测有本底存在时，需要合理分配样品测量时间量时间ts和本底测量时间和本底测量时间tb。(A)不考虑本底的影响；不考虑本底的影响；根据：根据：ntvn/1 nvtn21 bsbbssnntNtNn 0bbssntntn 0 47 为在

28、为在规定的规定的总测量时间总测量时间Tts+tb内使测内使测量结果的量结果的误差最小误差最小。由极值条件：。由极值条件：0 sbssstTntndtd得到：得到：bsbsnntt Tnnnntbsbss/1/Tnntbsb/11 该条件下的该条件下的相对方差相对方差为：为：222)1/(110 bsbbbssbsnnnTntntnnnv 据此，在据此，在相对标准偏差相对标准偏差给定给定的情况下，所需的情况下，所需最最小测量时间小测量时间为：为：22min)(10bsnnnvT 48例例：粗测得到粗测得到样品的计数率为样品的计数率为1000min-1,本本底计数率为底计数率为250min-1，要

29、求，要求净计数率的净计数率的相对误差不大于相对误差不大于0.01，问所要的测量时，问所要的测量时间是多少？间是多少？49解：解：由题意知：由题意知：ns=1000，nb=250,vb0.01代入：代入：22min)(10bsnnnvT Tnnnntbsbss/1/Tnntbsb/11 得得:Tmin=40min,ts=27min,tb=13min503.4 电离过程的涨落与法诺电离过程的涨落与法诺(Fano)分布分布 产生产生电子电子正离子对正离子对或或电子电子空穴对空穴对的碰撞都是的碰撞都是随机随机的，因而的，因而一定能量一定能量的的带电带电粒子粒子形成的形成的离子对数离子对数是是涨落涨落的

30、，同样是一的，同样是一个个随机变量随机变量，服从一定的，服从一定的概率分布概率分布。以以气体介质气体介质为例，实验发现：为例，实验发现：入射带电粒子入射带电粒子每产生每产生一对一对离子对离子对需需消耗能量消耗能量为基本上是一为基本上是一个常数个常数30eV能量能量为为E0 的的入带电粒子入带电粒子把把全部能量全部能量损耗在损耗在气体气体中后，共产生的中后，共产生的离子对数离子对数的的平均值平均值：0n=E51 假设假设能量能量为为E0 的的入射带电粒子入射带电粒子在在气体气体中中总共经历了总共经历了N（是一个（是一个非常大非常大的的常数常数）次与）次与气体原子的气体原子的碰撞碰撞。是一个是一个

31、伯努利型伯努利型随机试验随机试验 每一次碰撞只可能有两种结果每一次碰撞只可能有两种结果产生产生或或不产不产生生离子对离子对。已知已知N次次碰撞碰撞后产生后产生 个个离子对离子对，因而每，因而每次碰撞中次碰撞中平均产生平均产生的的离子对数离子对数是是nNn伯努利伯努利正事件正事件概率概率为为 NnP 52N次次碰撞碰撞产生产生n个个离子对离子对的的概率概率服从服从二项式分布二项式分布 nNnNnNnnNnNnP 1!NnNnN 且且为一个为一个有限有限的的常数常数趋于趋于泊松分布泊松分布 nnennnP !0En=离子对数离子对数涨落涨落的的标准误差标准误差及及相对标准误差相对标准误差0E=n=01=nEn53由于各次碰撞由于各次碰撞电离过程电离过程是非独立是非独立的，产生的，产生的的离子对数离子对数不能简单不能简单用用泊松分布泊松分布来描述，来描述，而要对泊松分布进行修正，引入而要对泊松分布进行修正，引入法诺因子法诺因子FnnF2 泊松统计预测的方差泊松统计预测的方差的方差的方差观测的观测的nF 2 nF nF F一般取一般取 (气体气体)或或 0.10.15(半导体半导体)2131不同材料不同材料法诺因子不同法诺因子不同，F由实验测定。由实验测定。把这种分布称为把这种分布称为。5455作业：作业：P25：第：第3、6题。题。