2019届河北省中考系统复习：第22讲特殊的平行四边形（8年真题）.doc

1、第22讲特殊的平行四边形命题点1矩形的性质与判定1(2013河北T123分)如图，已知线段AB，BC，ABC90.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：甲：(1)以点C为圆心，AB长为半径画弧；(2)以点A为圆心，BC长为半径画弧；(3)两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1)乙：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；(2)连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MDMB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图2)图1图2对于两人的作业，下列说法正确的是(A)A两人都对 B两人都不对C甲对，乙不对 D甲不对，乙对命题点2菱形的性质与判

2、定2(2017河北T93分)求证：菱形的两条对角线互相垂直已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：ACBD.以下是排乱的证明过程：又BODO；AOBD，即ACBD；四边形ABCD是菱形；ABAD.证明步骤正确的顺序是(B)A BC D3(2013河北T113分)如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，MEAD, NFAB.若NFNM2，ME3，则AN(B)A3 B4 C5 D64(2011河北T143分)如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为4和1，则BC5命题点3正方形的性质与判定5(2011河北T239分)如图，四边形ABCD是正方形，点E，K

3、分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CEBKAG.(1)求证：DEDG；DEDG；(2)尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)；(3)连接(2)中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；(4)当时，请直接写出的值解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，DCDA，DCEDAG90.又CEAG，DCEDAG(SAS)DEDG，EDCGDA.又ADEEDC90，ADEGDA90，即GDE90.DEDG.(2)如图(3)猜想：四边形CEFK为平行四边形证明：设CK，DE相交于M点四边形ABCD和四边形DEFG都是正方

4、形，ABCD，ABCD，EFDG，EFDG.BKAG，KGABCD.四边形CKGD是平行四边形CKDGEF，CKDGEF.四边形CEFK为平行四边形(4).命题点4矩形的分割与正方形的拼接6(2014河北T82分)如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n(A)A2 B3 C4 D57(2015河北T162分)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则(A)A甲、乙都可以 B甲、乙都不可以C甲不可以、乙可以 D甲可以、乙不可以命题点5特殊四边形之间的联系8(2016河北T63分)关于平行四边形ABCD的叙

5、述，正确的是(C)A若ABBC，则平行四边形ABCD是菱形B若ACBD，则平行四边形ABCD是正方形C若ACBD，则平行四边形ABCD是矩形D若ABAD，则平行四边形ABCD是正方形重难点1矩形的性质与判定如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点(1)若AEBFCGDH.求证：四边形EFGH是矩形；(2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DGAC，OF2，求矩形ABCD的面积【思路点拨】(1)在矩形ABCD对角线上有条件，同时还在四边形EFGH对角线上有条件，所以可通过对角线判定矩形；(2)求矩形ABCD的面积可转化成求AC与D

6、G的积或转化成AD与CD的积【自主解答】解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，OAOBOCOD.AEBFCGDH，OEOFOGOH.四边形EFGH是矩形(2)四边形ABCD是矩形，OAOBOCOD.OEOA，OFOB，OGOC，OHOD，OEOFOGOH.四边形EFGH是矩形DGAC，OG2，OD4.DG2.又AC4OF8，SADCACDG8.S矩形ABCD2SADC16.【变式训练1】如图，四边形ABCD是矩形， AH，BH，CN，DN分别平分DAB，ABC，BCD，CDA.求证：四边形MNGH是矩形证明：四边形ABCD是矩形，DABABCBCDADC90.AH，BH，CN，DN分别平分DA

7、B，ABC，BCD，CDA，HABHBADCNCDNMDAMAD 45.HMNAHBCND90.四边形MNGH是矩形1判定矩形的一般思路：首先判定该四边形是平行四边形，然后找角或对角线上的特殊关系若角度易求，则证明一内角为90即可；若对角线易找，则证明对角线相等即可2利用矩形的性质计算的一般思路：矩形四个内角均为直角，所以常借助勾股定理计算，又因为矩形对角线相等且互相平分，因此常把这一条件转化到同一个三角形中求解注：矩形可以看作两个全等的直角三角形以斜边为重合边拼接而成重难点2菱形的性质与判定在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.(1)如图1，若点E，F分别为边AB，AD的中点，连接E

8、F，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形；图1图2(2)如图2，若E，F分别在射线DB和射线BD上，且BEDF.求证：四边形AECF是菱形；若AEC60，AE6，ABBE，求AB的长【思路点拨】(1)利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合四条边相等的四边形是菱形证明；(2)对于可利用对角线互相垂直且平分的四边形是菱形进行证明，对于可利用菱形的性质，转化到RtABO中进行求解【自主解答】解：(1)证明：点E，F分别为AB，AD的中点，AEAB，AFAD.又四边形ABCD是菱形，ABAD，ACBD.E，F是AB，AD的中点，AEAFOFOE.四边形AEOF是菱形(2)证明：四边形ABCD是

9、菱形，ODOB，OAOC，BDAC.BEDF，OBBEODDF，即OEOF.四边形AECF是菱形四边形AECF是菱形，AECE，AOEF，AEOCEO.AEC60，AEO30.AE6，AO3.ABBE，BAEAEB30.ABOAEBBAE60.在RtAOB中，AB2.【变式训练2】(2018淮安)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是(A)A20 B24 C40 D48【变式训练3】如图，在ABCD中，添加一个条件ABBC或ACBD使平行四边形ABCD是菱形1判定菱形的一般思路：首先判定该四边形是平行四边形，然后找边或对角线上的特殊关系，若边易找，则证明一组邻

10、边相等即可；若对角线易找，则证明对角线互相垂直即可2利用菱形的性质计算的一般思路：菱形对角线互相垂直平分，所以常借助勾股定理计算，又因为菱形四条边都相等，因此常把这一条件转化同一个三角形中求解注：菱形可以看作两个全等的等腰三角形以底为重合边拼接在一起重难点3正方形的性质与判定已知：在边长为8的正方形ABCD的各边上截取AEBFCGDH.(1)如图1，连接AF，BG，CH，DE，依次相交于点N，P，Q，M，求证：四边形MNPQ是正方形；(2)如图2，若连接EF，FG，GH，HE.求证：四边形EFGH是正方形；当四边形EFGH的面积为50 cm2时，求tanFEB的值图1图2【思路点拨】(1)先证

11、明四边形MNPQ是矩形，再证明一组邻边相等；(2)先证明四边形EFGH是菱形，再证明它是矩形；利用勾股定理，求BE，BF，再利用正切三角函数定义求值【自主解答】解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABBCCDDA，BADABCBCDCDA90.在ABF和BCG中，ABFBCG(SAS)BAFGBC.BAFAFB90，GBCAFB90.BNF90.MNPBNF90.同理可得NPQPQM90.四边形MNPQ是矩形在ABN和BCP中，ABNBCP(AAS)ANBP.在AME和BNF中，AMEBNF(AAS)AMBN.MNNP.四边形MNPQ是正方形(2)证明：四边形ABCD是正方形，ABCD90

12、，ABBCCDDA.又AEBFCGDH，AHBECFDG.AEHBFECGFDHG(SAS)EHFEGFGH，AEHBFE.四边形EFGH是菱形BEFBFE90，BEFAEH90.HEF90.四边形EFGH是正方形四边形EFGH的面积为50 cm2，EF250 cm2.设BECFx cm，则BF(8x)cm.在RtBEF中，由勾股定理，得BE2BF2EF2，即x2(8x)250.解得x11，x27.当BE1 cm时，BF7 cm，tanFEB7；当BE7 cm时，BF1 cm，tanFEB.tanFEB的值为或7.【变式训练4】(2018唐山丰南区模拟)如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形

13、ADE，AC，BE相交于点F，则BFC为(B)A75B60C55D45【变式训练5】已知，在四边形ABCD中，ABC90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(D)AACBD BABCDCADBC DBCCD1证明一个四边形是正方形的方法是先证明它是矩形，再证明它是菱形；或先证明它是菱形，再证明它是矩形，其证明过程往往需要借助全等三角形2在正方形中求解策略是：利用正方形四个角都是直角或对角线互相垂直且平分相等，通过勾股定理求解注：正方形可以看作两个全等的等腰直角三角形以斜边为重合边拼接在一起重难点4图形的剪拼(2017河北模拟)如图，在四边形ABCD中，BD90，AD

14、CD，现把四边形经过某种操作，可以得到与它面积相等的等腰直角三角形，如图，这个操作可以是(C)A沿BD剪开，并将BCD绕点D逆时针旋转90B沿AC剪开，并将ACD绕点C逆时针旋转90C沿BD剪开，并将BCD绕点D顺时针旋转90D沿AC剪开，并将ACD绕点C顺时针旋转90提示：如图，沿BD剪开，将BCD绕点D顺时针旋转90，由旋转性质可知，CD与AD重合，BD与DE重合，且EDB90，CEAD.又ABCADC90，BADC180.EADBAD180.E，A，B在一条直线上EDB是等腰直角三角形【变式训练6】(2017河北模拟)在分割矩形的课外实践活动中，甲、乙两人进行如下操作：甲：如图1，将矩形

15、按图形所示分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的菱形；乙：如图2，将矩形按图形所示分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的矩形图1图2下列说法正确的是(A)A甲、乙都可以B甲、乙都不可以C甲不可以、乙可以D甲可以、乙不可以1能否剪拼成功的标志是变化前后看面积是否保持不变2虽然位置发生变化，但只有相等的两边才能拼在一起能拼在一起必是相等边注：对一些常见的拼图要熟悉，如“勾股直方图”等1(2018上海)已知ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B)AAB BACCACBD DABBC2(2018十堰)菱形不具备

16、的性质是(B)A四条边都相等 B对角线一定相等C是轴对称图形 D是中心对称图形3(2018保定竞秀区二模)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若ABCD，则12(A)A90 B100 C110 D1204(2018广州)如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，0)点D在y轴上，则点C的坐标是(5，4)5(2018株洲)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为2.56(2018张家界)如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AEAD，DFAE，垂足为F.(1)求证：DFAB；(2)若FDC30，且AB4，求AD

17、的长解：(1)证明：四边形ABCD为矩形，BADC90，ADBC.AEBDAF.又DFAE，DFA90.DFAB.在ADF和EAB中，ADFEAB(AAS)DFAB.(2)由(1)知ADFEAB，DFAB4.ADCDFA90，FDC30，ADF60，FAD30.AD2DF8.7(2018广西)如图，在ABCD中，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，且BEDF.(1)求证：ABCD是菱形；(2)若AB5，AC6，求ABCD的面积解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，BD.AEBC，AFCD.AEBAFD90.在AEB和AFD中，AEBAFD(ASA)ABAD.四边形ABCD是菱形(2)连

18、接BD，交AC于点O.四边形ABCD是菱形，AC6，ACBD，AOOCAC63.在RtABO中，由勾股定理，得BO4.BD2BO8.SABCDACBD24.8(2018遵义)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AEBE)，且EOF90，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.(1)求证：OMON；(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，OAOB，DAOOBA45.OAMOBN135.EOFAOB90，AOMBON.OAMOBN(ASA)OMON.(2)过点O作OHAD于点H.正

19、方形ABCD的边长为4，OHHA2.E为OM的中点，A为HM的中点HM4.OM2.MNOM2.9(2018唐山滦南县一模)将一个棱长为1的无盖正方体纸盒展开(如图1)，沿虚线剪开，用得到的5张纸片(其中4张是全等的直角三角形纸片)拼成一个正方形(如图2)，则所拼得的正方形的边长为(C)A. B. C. D.10(2018镇江)如图，点E，F，G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AEAB，CFCB，AGAD.已知EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于2711(2018台州)如图，在正方形ABCD中，AB3，点E，F分别在CD，AD上，CEDF，BE，CF相交于点G.若图中阴影部分的

20、面积与正方形ABCD的面积之比为23，则BCG的周长为3提示：BCECDF，BGC为直角三角形，SBGCS四边形DEGF.12(2017潍坊)边长为6的等边ABC中，点D，E分别在AC，BC边上，DEAB，EC2.(1)如图1，将DEC沿射线方向平移，得到DEC，边DE与AC的交点为M，边CD与ACC的平分线交于点N，当CC多大时，四边形MCND为菱形？并说明理由；(2)如图2，将DEC绕点C旋转(0360)，得到DEC，连接AD，BE.边DE的中点为P.在旋转过程中，AD和BE有怎样的数量关系？并说明理由；连接AP，当AP最大时，求AD的值(结果保留根号)图1图2解：(1)当CC时，四边形M

21、CND是菱形理由：由平移的性质，得CDCD，DEDE.ABC是等边三角形，BACB60.ACC180ACB120.CN是ACC的平分线，NCCACC60.DEAB，DECB60DEC.DECNCC.DECN.四边形MCND是平行四边形MECMCE60，NCCNCC60，MCE和NCC都是等边三角形MCCE，NCCC.ECEC2，四边形MCND是菱形CNCM.CCEC.(2)ADBE，理由：当180时，由旋转的性质，得ACDBCE，由(1)知，ACBC，CDCE，ACDBCE(SAS)ADBE.当180时，ADACCD，BEBCCE，ADBE.综上，ADBE.连接CP.在ACP中，由三角形三边关系，得APACCP，当点A，C，P三点共线时，AP最大，如图CDCE，P为DE的中点，APDE，PD.CP3.AP639.在RtAPD中，由勾股定理，得AD2.13数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指(D)AS长方形ABNNS长方形MNCDBS长方形EBMFS长方形AEFNCS长方形AEFNS长方形MNCDDS长方形EBMFS长方形NFGD