概率论与数理统计盛骤第四版数理统计部分课件2.ppt

1、12第八章 假设检验 关键词：假设检验 正态总体参数的假设检验 分布拟合检验 秩和检验31 假设检验 统计推断的另一类重要问题是假设检验问题。它包括（1）已知总体分布的形式，但不知其参数的情况，提出参数的假设，并根据样本进行检验.（2）在总体的分布函数完全未知的情况下，提出总体服从某个已知分布的假设，并根据样本进行检验.4例1 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别 为：6.0 5.7 5.5 6.5 7.0 5.8 5.2 6.1 5.0根据以往经验，干燥时间的总体服从正态分布N(6.0,0.36),现根据样本检验均值是否与以往有显著差异？例2 一种摄影药品被其制造商声称其贮藏寿命

2、是均值180天、标准差不多于10天的正态分布。某位使用者担心标准差可能超过10天。他随机选取12个样品并测试，得到样本标准差为14天。根据样本有充分证据证明标准差大于10天吗？例3 孟德尔遗传理论断言，当两个品种的豆杂交时，圆的和黄的、起皱的和黄的、圆的和绿的、起皱的和绿的豆的频数将以比例9：3：3：1发生。在检验这个理论时，孟德尔分别得到频数315、101、108、32、这些数据提供充分证据拒绝该理论吗？5 参数的假设检验问题处理步骤1.根据实际问题的要求，提出原假设 和备择假设 ；2.根据样本X_i，确定检验统计量T(X_i)以及拒绝域（拒 绝原假设的区域）的形式；3.给定显著性水平，按照

3、“在原假设H0成立时，拒绝原假 设的概率不大于显著性水平”这一原则，确定拒绝 域；4根据样本观测值作出决策，接受原假设还是拒绝原假 设。1H0H6例1 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为：6.0 5.7 5.5 6.5 7.0 5.8 5.2 6.1 5.0根据以往经验，干燥时间的总体服从正态分布N(6.0,0.36),现根据样本检验均值是否与以往有显著差异？1:6.0:6.0HH0原假设，备择假设,6.0.XXc检验统计量为检验拒绝域的形式为,解：设分别表示干燥时间总体的均值和标准差，由于作出决策的依据是一个样本，因此，可能出现“实际上原假设成立，但根据样本作出拒绝原假设”的

4、决策。这种错误称为“第一类错误”，实际中常常将犯第一类错误的概率控制在一定限度内，即事先给定较小的数(01)（称为显著性水平）,使得0(6.0)HPXc70.02565.87,0.671.96.0.26xxzxx根据样本得即不落在拒绝域内，与的差异不显著，因此接受原假设，认为干燥时间的均值与以往无显著差异。20.0256.01.960.2Xzz拒 绝 域 为：220.690.05,(6.0,0.6),(6.0,)XNXN给定显著性水平当原假设成立时，总体因此，6.0(6.0)()0.6 30.6 3XcP XcP上述检验法则符合实际推断原理。8注释1：假设检验中的4种可能结果通常，犯第一类错误

5、的概率、犯第二类错误的概率、样本容量可以看作为“三方拔河”。决策 原假设H0真的 假的不拒绝H0拒绝H0正确决策 第二类错误第一类错误 正确决策 第一类错误：原假设H0成立时，作出拒绝原假设的决策；第二类错误：备择假设H1成立时，作出接受原假设的决策。9这是一对矛盾，要同时减少犯第一、第二类错误，只有增大样本容量。5.425.42226.0()0.25.4(33)(3)0.2XPzXPzzz 第二类错误的概率5.4例如，设显著性水平为，计算上例中犯第一类错误的概率和时犯第二类错误的概率：626.0()0.2XPz解：第一类错误的概率2222(3)(3),zzzz 从中可以看出，当样本量固定时，

6、；反之，。10注释2：假设检验与区间估计的比较。即拒绝域可以这样得到：将置信区间不等号反向，将原假设成立时的值代入到参数中即可。2(,0.6)XN在上例中，若总体的均值未知，即12922,.,10.20.2XXXXzXz对于样本设置信度为 ，则置信区间为：，210.2XPz 即：001:6.0,:6.0,HH对于假设检验问题26.00.2Xz显 著 性 水 平 为的 检 验 拒 绝 域 为：,0000221,0.20.2XXPzPz26.00.2Xz接受域为：11 2 正态总体均值方差的假设检验2,N 一 单个正态总体均值 的检验2212,nXXXNXS 来自和分别为样本均值和方差 显著性水平

7、为010:,:HH0 21 已知时0 0,1XHNn0在为真时，0Xcn检验拒绝域形式为：02,XPzn根据犯第一类错误概率不大于即02.XZzZn拒绝域为：检验法12010:,:HH0右边检验00 0,1,XHNn在为真时，(),kkznn 故只要即便可，0.XZz因此，拒绝域为：n0010:,:.HH思考题 左边检验请给出检验的拒绝域00:,(0):Xk kXzn 解答拒绝域形式为拒绝域为0,.XXk检验统计量为检验拒绝域的形式为0000PHHPXk 当为真拒绝00kXPnn 01()kn 00(),kn 0()kn由于是的增函数，21 已知时13 22 未知时01Xt nSn当原假设成立

8、时,02:1XPtnSn拒绝域满足0XSn拒绝域的形式为:c,02(1)XttntSn因此,拒绝域为：检验法0t1220t 0010:,:HH2(1)tn2(1)tn0,.XXk检验统计量为检验拒绝域的形式为20Xn由于未知，故不能用来确定拒绝域了。0SXtSn用 的估计量 代替，采用作检验统计量。14 010:,:HH000 (1)Xt nSn当时，(1)ktnSn即0(1).XttnSn因此，拒绝域为：0010:,:.HH思考题请给出检验的拒绝域00:,(0):(1)Xk kXtnSn 解答拒绝域形式为拒绝域为0,.XXk检验统计量为检验拒绝域的形式为0000PHHPXk 当为真拒绝00k

9、XPSnSn 0XStSn由于 未知，用估计量 代替，采用作检验统计量。0XkPSnSn 00XkPSnSn 22 未知时15例2 某种元件的寿命X（以小时记）服从正态分布 均未知。现测得16只元件的寿命如下：159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？（取显著性水平为0.05）2(,),N 2,01:225:225.HH0解：按题意需检验，0(1).XttnSn拒绝域为：0.0516,(15)1.7531.241.5,98.7259ntxs00.050.6685

10、1.7531(15).XttSn计算得：t没有落在拒绝域内，故接受原假设，认为元件的平均寿命不大于225小时。16例3 要求某种元件的平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其平均寿命为950小时，标准差为100小时。已知这批元件的寿命服从正态分布。试在显著性水平0.05下确定这批元件是否合格？01:1000:1000.HH0解：按题意需检验，0(1).XttnSn 拒绝域为：0.0525,(24)1.7109.950,100ntxs00.052.51.7109(24).XttSn 计算得：t落在拒绝域内，故拒绝原假设，认为这批元件的平均寿命小于1000小时

11、，不合格。17221122,NN 二 两个正态总体均值差的检验12212112212222221,.nnXXXNY YYNX Y SS 来自来自,分别为第一 二个总体的样本均值和方差 显著性水平为未知12112:,:.()HH0为已知常数1212211wXYtt nnSnn在原假设成立时，1211wXYkXYcSnn检验拒绝域的形式为：即等价于21212211wXYttnntSnn检验拒绝域为：检验法221122221211 ,2wwwnSnSSSSnn其中18222212,未知121212 211wXYt nnSnn当时，221122221211 ,2wwwnSnSSSSnn其中012112

12、:,:HH12 11wXYcSnn检验拒绝域形式为：1212 (2)11wXYttnnSnn从而，拒绝域为：19222212,未知121212 211wXYt nnSnn当时，221122221211 ,2wwwnSnSSSSnn其中012112:,:HH12 11wXYcSnn 检验拒绝域形式为：1212 (2)11wXYttnnSnn 从而，拒绝域为：20 例4：某厂使用两种不同的原料A,B生产同一类型产品。各在一周的产品中取样分析。取用原料A生产的样品220件，测得平均重量为2.46（公斤），样本标准差s=0.57（公斤）。取用原料B生产的样品205件，测得平均重量为2.55（公斤），样

13、本标准差为0.48（公斤）。设两样本独立，来自两个方差相同的独立正态总体。问在水平0.05下能否认为用原料B的产品平均重量较用原料A的为大。1122220,2.46,0.57205,2.55,0.48nxsnys；01HH1212解：检验假设:,:1212(2)11wXYtnnSnn 拒绝域为：0.050.0512114231.645,0.535,0.097wtzsnn121.7331.64511wXYSnn 计算得：,从而拒绝原假设。21 基于成对数据的检验例5：为了试验两种不同谷物种子的优劣，选取了十块土质不同的土地，并将每块土地分为面积相同的两部分，分别种植这两种种子。设在每块土地的两部

14、分人工管理等条件完全一样。下面给出各块土地上的产量。土地 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10种子A(xi)23 35 29 42 39 29 37 34 35 28种子B(yi)26 39 35 40 38 24 36 27 41 27di=xi-yi -3 -4 -6 2 1 5 1 7 -6 1问：以这两种种子种植的谷物产量是否有显著的差异（取显著性水平为0.05)?2212111222212,),),.,),.,.,(,).nnnnnDDYYYDXY DXYDXYD DDN12n分析：本题中每对数据的差异仅是由这两种种子的差异造成的，将每对数据作差就能排除其它因素的影响，从而能比较

15、种子产量的差异。一般，设有n对独立的观测结果：(X(X(X令则相互独立，服从同一分布，设为 1:0,:0DDHH0解：检验假设 21,DdtnSn拒绝域为：0.0251092.2622,0.2,4.442,DntdS,查表得：0.1422.2622DdSn计算得：H0接受原假设，认为两种种子的产量没有显著差异。122,.,nDD DDd S分别将的样本均值和样本方差的观测值记为,2322222010:,:HH0（三）单个正态总体方差的假设检验:设 未知222011nSn在原假设成立时,221222001(1),22nSnSPkPk为计算方便，习惯上取2212221220;(1)(1),.ScS

16、cnSnSkk20检验拒绝域形式为:,或等价于或222221222200(1)(1)(1),(1)nSnSnn拒绝域为：或检验法22212122212(1)n22(1)n2022001220(1)(1),nSnSPHHPkk20当为真拒绝或221122211knkn于是有，。24 221:7,:7HH0解：22120(1)(1)nSn拒绝域：20.952413.848,查表得：25 14.25 14.5713.8487计算得：接受原假设，认为新品种的方差并不比对照组的小。2,25,4.25.0.05?S2例6：一个园艺科学家正在培养一个新品种的苹果 这种苹果除了口感好和颜色鲜艳以外 另一个重要

17、特征是单个重量差异不大（对照品种的方差=7)。为了评估新苹果 她随机挑选了个测试重量 单位：克 其样本方差为在 下检验新品种是否比对照品种方差小252222012112H:,:H12,设未知2112221,1SF nnS在原假设成立时，2211122222,SSkkSS检验拒绝域的形式为：或221112122122222(1,1),(1,1)SSFnnFnnSS因此，检验拒绝域为：或（四）两个正态总体方差的检验2212221100122222,SSPHHPkkSS当为真拒绝或222212122211122222,22SSPkPkSS取26 例7：两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床生产的滚珠

18、中 抽取8个，从乙机床生产的滚珠中抽取9个，测得这些滚珠 的直径(毫米)如下:甲机床 15.0 14.8 15.2 15.4 14.9 15.1 15.2 14.8 乙机床 15.2 15.0 14.8 15.1 14.6 14.8 15.1 14.5 15.0 22112222021201210121,1 2 3 X YXNYNHHHHHH 22111212设两机床生产的滚珠直径分别为且检验假设:,:(=0.1)；检验假设:,:(=0.1)；检验假设:,:(=0.1)。27 12221112122122222011 ,(1,1),(1,1)SSFnnFnnSHHS 22221212解：当时，

19、检验:=,:的拒绝为未知域：或0.050.950.05117,83.50,7,80.2683.738,7FFF查表得：故接受原假设，认为方差没有显著差异。221122 8,15.05,0.04579,14.9,0.0575nxSnyS本题中；21220.2680.7953.50SS计算得：282211228,15.05,0.04579,14.9,0.0575nxSnyS；121.3541.340611wXYSnn计算得：,从而拒绝原假设。0.11211151.3406,0.228,0.486wtSnn 0112122 (2)11wHHXYtnnSnn1212:,:的拒绝域为：01122123

20、(2)11wHHXYtnnSnn1212:,:的拒绝域为：0.05121.354(15)1.753111wXYtSnn计算得：,从而接受原假设。待估参数 原假设枢轴量 检验统计量 分 布置信区间拒绝域 一个正态总体两个正态总体正态总体均值、方差的置信区间与假设检验1置信度2（已知）2（未知）02（已知）02（未知）Xn0Xn0XSnXSn2Xzn02Xzn2(1)XtnS n02(1)XtnS n(0,1)N(1)t n2(未知)220(未知)22(1)nS220(1)nS2122222(1)(1)(1)nnSn22122022220(1)(1)(1)(1)nSnnSn或2(1)n122221

21、2()1222212()121211()()wnnX YS 1211wnnX YS12(2)t n n 121211212()()(2)wnnX YStnn1211212(2)wnnX YStnn2122221222112222SS2122SS12(1,1)Fnn121222112222212(1,1)(1,1)FnnSSFnn211212222121222(1,1)(1,1)SFnnSSFnnS或30 定义 若C是参数的某检验问题的一个检验法，称为检验法C的施行特征函数或OC函数，其图形称为OC曲线。3 样本容量的选取0()()PH 接受01()()PHC 称拒绝为检验法 的。功功效效函函数

22、数0001()(P HHHPIIH 真时接受）犯第 类错误）0001(1()(PIHP HHH 犯第 类错误）不真时拒绝）31 1。Z检验法的OC函数0010:,:HHOC的函数00()()()XPHPzn 接受00()()XPzznnn 1O0()的性质：0(1)n它是的单调递减连续函数；0(2)lim()1,lim()0.0(1),()n 给定无论 多大，无法满足，对一切0()(0n 但可以确定，使得，对一切取定）。320()()是 的减函数，要使得对一切，。0()()zn 只要(),zzznzn 0010:,:HHOC的函数0000()()()1()()XPHPzzznnn 接受0()(

23、)是 的增函数，要使得对一切，。0()()zn 只要(),zzznzn 330010:,:HHOC的函数0022()()()XPHPzzn 接受0022()()zznn 0022()()1zznn()0100()()是的减函数，要使得对一切，。22()()1znznn 需解，确定224()1nznzn 因为 很大，可认为，即22()()zzznn 34 例8（工业产品质量抽验方案）设有一大批产品，产品质量指标X服从 。以小者为佳，厂方要求所确定的验收方案对高质量的产品 能以高概率1为买方所接受。买方则要求低质产品 能以高概率1被拒绝。，有厂方与买方协商给出。并采取一次抽样以确定该批产品是否为买

24、方所接受。问应怎样安排抽样方案。已知 且由工厂长期经验知 。经商定=0.05。2(,)N 0()0()0120,20,2900.0010:,:HH解：检验问题为0010.95H且要求当时，以概率拒绝。0XZzn由 检验，拒绝域为，00()()()XOCPzznn 函数()24.35zznn025.1.645129.87129.87xnxznxx取当满足时，即时买方拒绝这批产品，当时买方接受这批产品。35 2。t检验法的OC函数0010:,:HHOC的函数00()()(1)XPHPtnSn 接受0,(0)6nII 给定及，查附表，可得，使得当时，犯第 类错误的概率不超过。000(1)(1)XXS

25、nSnSnSntt n这里，服从自由度为的非中心 分布。在时即为通常的变量。360010:,:HHt检验法0,(0)6nII 给定及，查附表，可得，使得当时，犯第 类错误的概率不超过。0,(0)6nII 给定及，查附表，可得，使得当时，犯第 类错误的概率不超过。0010:,:HHt检验法37 0111110.05:68,:68.(1)680.05.(2)30,680.75tHHHIInnHII例9 考虑在显著性水平下进行 检验：要求在中时犯第 类错误的概率不超过求样本容量若问在中时犯第 类错误的概率是多少？01010.05,68,6868113.n解：（）此处，查附表6得0100.05,30.

26、68,680.75680.750.01.n（2）此处，查附表6得384.分布拟合检验 前面介绍的各种检验法都是在总体服从正态分布前提下，对参数进行假设检验的。实际中可能遇到这样的情形，总体服从何种理论分布并不知道，要求我们直接对总体分布提出一个假设。例如，要检验在计算机上产生随机数的一个程序。指令该程序产生0到9之间的100个单个数字。观察整数的频数如下表。那么以0.05的显著性水平，有充分的理由相信该批整数不是均匀产生的吗？整数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9频数 11 8 7 7 10 10 8 11 14 1439 例如，从1500到1931年的432年间，每年爆发战争的次数可以

27、看作一个随机变量，据统计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据如下:战争次数X 0 1 2 3 4发生 X次战争的年数 223 142 48 15 4 通常假设每年爆发战争的次数服从泊松分布。那么上面的数据是否有充分的理由推翻每年爆发战争的次数服从泊松分布假设？40它是在总体X 的分布未知时，根据来自总体的样本，检验关于总体分布的假设的一种检验方法。01:():()HXF xHXF x先提出假设总体 的分布函数为，总体 的分布函数不是。0000,1,2,.()iiXHHXP Xtp iXHHXf x：若总体 为离散型，则相当于:总体 的分布律为。若总体 为连续型，则相当于:总体 的概率密

28、度为注1。0()HXF x：当中的总体 的分布函数含有未知参数时，需要先用样本求出参数的最大似然估计,以估计值为注2参数值。（一）拟合检验法2412拟合检验法的原理及步骤如下：0()HXF x先设中所假设的 的分布函数不含未知参数。）011.,.kHXkAA将在下，总体 取值的全体分成 个两两不相交的子集12.(1,.,),.iniiif ikxxAnAf n以记样本观察值中落在 的个数（频数）则在 次试验中 发生的频率为.1.kffn003.(),1,.,.iiHiiHApPAiknp当为真时，计算事件 发生的概率此时称为理论频数214.().kiiiifhpcn检验的拒绝域形式为：4202

29、222111222.(50)()()(1)(1).kkkiiiiiiiiiiinnHffnpfnpnpnnpnpkk定理 若 充分大，则当为真时，统计量近似服从分布。因此检验拒绝域为0()HXF xr：当中所假设的 的分布函数含有 个未注1知参数时，0()iiHippPA先用样本求出未知参数的最大似然估计，以估计值为参数值，求出 的估计值，2221(1),kiiifnkrnp 近似于是检验统计量为22(1)kr 因此检验拒绝域为4322212221(1),(1),kiiikiiifnknpfnkrrnp 即在显著性水平 下拒绝域为（没有参数需要估计）（有 个参数需要估计）2()iiinnpnp

30、A：拟合检验使用时必须注意 要足够大，或不能太小。根据实践，要求，否则应适当合并，以满足要求。注2iinpnp（）n50n505 5或44战争次数X 0 1 2 3 4发生 X次战争的年数 223 142 48 15 4 例1，从1500到1931年的432年间，每年爆发战争的次数可以看作一个随机变量，据统计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据如下:通常假设每年爆发战争的次数服从泊松分布。那么上面的数据是否有充分的理由推翻每年爆发战争的次数服从泊松分布假设？0:()299 4320.69.HXX 解：，未知，44,0,1,2,3,.!ijijeepipij战争次数x 0 1 2 3 4

31、实测频数 223 142 48 15 4概率估计 0.502 0.346 0.119 0.027 0.006理论频数 217 149 51 12 3ifipinp45222222122314248194321.742171495115kiiifnnp检验统计量的观察值为战争次数x 0 1 2 3 4实测频数 223 142 48 15 4概率估计 0.502 0.346 0.119 0.027 0.006理论频数 217 149 51ifipinp15123 220.050.05(1)(4-1-1)5.9911.745.991,kr 即在显著性水平下临界值于是，不能拒绝原假设。46 例2 孟德

32、尔遗传理论断言，当两个品种的豆杂交时，圆的和黄的、起皱的和黄的、圆的和绿的、起皱的和绿的豆的频数将以比例9：3：3：1发生。在检验这个理论时，孟德尔分别得到频数315、101、108、32、这些数据提供充分证据拒绝该理论吗？012341,2349331:(1),(2),(3),(4).16161616XHpP XpP XpP XpP X若豆子是圆的和黄的，若豆子是起皱的和黄的解：定义，若豆子是圆的和绿的，若豆子是起皱的和绿的豆子状态x 1 2 3 4实测频数 315 101 108 32 概率 9/16 3/16 3/16 1/16理论频数 312.75 104.25 104.25 34.75

33、ifipinp2220.05010.47(3)7.815,.kiiifnHnp接受47141 148132138154142150146155158150140147 148144150149145149158143141144144126 140144142141140145135147146141136140 146142137148154137139143140131143141 149148135148152143144141143147146150 132142142143153149146149138142149142 1371341441461471401421401371521

34、45 例3 下面列出了84个伊特拉斯坎(Etruscan)人男子的头颅的最大宽度(mm)，试检验这些数据是否来自正态总体（取=0.1）48解 为粗略了解数据的分布情况，先画出直方图。步骤如下：1.找出数据的最小值、最大值为126、158，取区间124.5,159.5,它能覆盖126,158；2.将区间124.5,159.5等分为7个小区间,小区间的长度=(159.5-124.5)/7=5,称为组距，小区间的端点称为组限，建立下表：组组 限限频数频数 fi频频率 fi/n累计频计频率124.5-129.5129.5-134.5134.5-139.5139.5-144.5144.5-149.514

35、9.5-154.5154.5-159.514103324930.01190.04760.11910.39290.28570.10710.03570.01190.05950.17860.57150.85720.95241493.自左向右在各小区间上作以fi/n为高的小矩形 如下图，即为直方图。注：直方图的小区间可以不等长，但小区间的长度不能太大，否则平均化作用突出，淹没了密度的细节部分；也不能太小，否则受随机化影响太大，产生极不规则的形状。50从本例的直方图看，有一个峰，中间高，两头低，较对称，样本象来自正态总体。于是检验22(-)-201:(),-2xHXf xex 的概率密度为22022(1

36、43.8)2 6143.8,6.0,1(),26xHXf xex 2中,未知，先求出其最大似然估计分别为此时 的概率密度的估计为51 x129.5129.5x134.5134.5x139.5139.5x144.5144.5x149.5149.5x154.5154.5x2)个水平，n个对象参与了试验。假定对应于因素第j个水平的组中有 个试验对象，响应变量数据为jn12,1,2,jjjn jXXXjs，。2(0,),1,2,1,2,ijjijijijjXNinjs各独立，122221122111212122212:,:,:,sssssnnn sA NANANXXXXXXXXX 通常假定740121

37、12:.:,.,ssHH 不全相等。检验假设111 ssjjjjjnnnn记总平均，其中,1,2,.,jjjAjs水平 的效应1 122.0ssnnn此时有21 122(0,),1,2,1,2,.0ijjijijijjssXinjsnnn 模型为：各独立，假设等价于012112:0:,ssHH 不全为零。75211jnsTijjiSXX定义：总偏差平方和22211ssAjjjjjjSnXXn XnX效应平方和211jnsEijjjiSXX误差平方和11111jnssijjjjijXXn Xnn11,1,2,jnjijijXXjsn（二）平方和分解761TAESSS性质：221111jjnnss

38、TijijjjjijiSXXXXXX证明：221111112jjjnnnsssijjjijjjjijijiXXXXXXXXAESS11110jjnnssijjjjijjjijiXXXXXXXX.AEScS从而，检验拒绝域的形式为：7722121sTjjjE Snn性质：2211sAjjjE Sns2EE Sns2221111jjnnssTijijjijiE SEXXEXnX证明：221()()1sATEjjjE SE SSns2211()()jnsijjiE XnE X1111()()1()jnsijjisjjjE XE Xnnn22222112ssjjjjjjnnnnn211()jnsEij

39、jjiE SEXX221(1)()sjjnns222211()jnsjjinn2211sjjjnn78223(1)(2)()AEESSSns性质与相互独立；211jnsEijjjiSXX证明：只证（2）.因为2221(1),1,.,.jnijjjiXXnjs22221(1)sEjjSnns由分布可加性，即。211,.,jnijijjiXXXjs由于各相互独立，所以,相互独立，202(3)(1)ASHs当为真时，。0(1)(1,).()AESsHFF snsSns从而，当为真时，79 2221220112,11.11sAEjjjAASSEnEssnsSSHEHEss由性质，当成立时，；当成立时，

40、012112:0,:,ssHH 由此，对不全为零。(1)(1,)()AESsFF snsSns在给定水平 时，检验拒绝域为AS1AASSsAESSESEESSnsTS方差来源平方和自由度均方F比因素As-1误差n-s总和n-1单因素试验方差分析表80,TAESSS计算的简便公式：111,1,2,jjnnsjijijijiTXjsTX记22221111jjnnssTijijjijiTSXnXXn222211ssjAjjjjjTTSn XnXnnETASSS81 例1 设有5种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假设将30个病人分成5组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈

41、所需时间，得到下面的记录：(=0.05)药物x治愈所需天数y15，8，7，7，10，824，6，6，3，5，636，4，4，5，4，347，4，6，6，3，559，3，5，7，7，682这里药物是因子，共有5个水平，这是一个单因素方差分析问题，要检验的假设是“所有药物的效果都没有差别”。0123451125:,.,HH 解：检验假设不全相等。21234513145125,6,30,1047,.30,.31,.37,.16965.42jnsijjisnnnnnnTXTTTTT方差分析表方差来源平方和自由度均方F比因素A36.466749.1167 3.90误差58.5000252.3334总和9

42、4.9667290.050(4,25)2.76FH。拒绝，认为疗效有显著差异。83未知参数的估计221;(2)(3)(4)EjjjjjjSXnsXXX（）的估计的估计；的估计；的估计。容易证明，以上估计均为相应参数的无偏估计。220(,)(,)()jkjkjkHNNjk当拒绝时，进一步比较和的差异，可以作的区间估计。211(),()jkjkjkjkE XXD XXnn因为2()jkEXXSns且与相互独立。2()()()()()()(11)(11)jkjkjkjkEjkEjkXXXXSnst nsnnSnn故()1jk得的水平为的置信区间2()(11)jkEjkXXtnsSnn84213125

43、321,(1,2,3,4,5)0.95jjj 例求例中未知参数的点估计，并求，的置信度为的置信区间。222.33345.63337.5,5,4.3333,5.1667,6.16671.8667,0.6333,1.3,0.4666,0.5334EjjSXns解：的估计；的估计；的估计分布为：；的估计分布为：0.025(25)2.0595,(11)0.8819EjktSnn查表得1312350.95(1.3504,4.983)(0.6837,4.3163)(3.6497,0.0171)，的置信度为的置信区间分别为：，131235说明 与，与，与 的差异都显著。852 双因素试验的方差分析 例 假设

44、某药物研究者为检验a,b两种化学物质的抗癌效果，要做动物试验。通常的作法是：将一些患有某种癌的白鼠随机地分成三组。其中两组分别注射a,b两种化学物质，而第三组不作处理，作为对照。记第一组：注射a物质，第二组：注射b物质，第三组：不做处理。经过一段时间观察后，得到寿命数据。在这个药物试验中，如果白鼠的性别有可能对其寿命有显著的影响。这时应该考虑将“性别”作为一个因素“双因素试验双因素试验”。因素A：药物，三个水平；因素B：性别，二个水平；两个因素共有236种组合。86（一）双因素等重复试验的方差分析12,rArA AA因素 有 个水平，12,.sBsB BB因素 有 个水平(,)1,;1,(2)

45、ijABA Bir jst t现对因素，的水平的每对组合都作次试验（称为等重复试验），得到如下结果：因素B因素A1A2ArA1B2BsB12,.,rsrsrstXXX21222,.,rrr tXXX11121,.,rrr tXXX2 12 22,.,ssstXXX22122222,.,tXXX21121221,.,tXXX1 11 21,.,ssstXXX12112212,.,tXXX11111211,.,tXXX.87111,rsijijrs记总平均11,1,.,siijjirs11,1,.,rjijijsr,1,.,1,.,.iiijjjAirBjs水平 的效应，水平 的效应，22,(0,

46、),1,.,1,.,1,.,.,ijkijijkijkijkijXNir js kt 设各独立，均为未知参数.110,0.rsijij则880112111:0,:,.,rrHH不全为零(),1,.,1,.,.ijijijijir js11,1,.,1,.,.0,0.ijijijijrsijijijABir js记水平 和水平的交互效应,易证211112,(0,),1,.,1,.,1,.,.0,00,0.,.ijkijijijkijkijkrsrsijijijijijijijXNir js kt 模型可写成各独立，均未知分别检验假设0212121:0,:,.,ssHH不全为零0311121311

47、:0,:,.,rsrsHH不全为零.891111,rstijkijkXXrst记号：11,1,.,1,.,tijijkkXXir jst111,1,.,stiijkjkXXirst111,1,.,.rtjijkikXXjsrt 902111rstTijkijkSXX总偏差平方和（总变差）21rAiiASstXX因素 的效应平方和21sBjjBSrtXX 因素 的效应平方和211,rsA BijijijA BStXXXX 交互效应平方和2111rstEijkijijkSXX误差平方和9101(1)1,1(1)1,1AAEASrHFF rrs tSrs tFFrrs t当成立时，显著性水平 的拒绝

48、域为：222122111221(2),(1)11,11(1)(1)(1)(1)TABA BEriiEAsrsjijjijBA BSSSSSstSSEErs trrrttSSEEssrsrs性质：（）02(1)1,1(1)1,1BBEBSsHFF srs tSrs tFFsrs t当成立时，显著性水平 的拒绝域为：9203(1)(1)(1)(1),1(1)(1)(1),1A BA BEA BSrsHFFrsrs tSrs tFFrsrs t当成立时，显著性水平 的拒绝域为：11111111,1,.,1,.,1,.,1,.,.rsttijkijijkijkkstrtiijkjijkjkikTXTX

49、ir jsTXirTXjs 计算：2222111122221111,11,().rstrTijkAiijkisrsBjA BijABjijETABA BTTSXSTrststrstTTSTSTSSrtrsttrstSSSSS 93 1AASSr1BBSSs11A BA BSSrsAAESFSBBESFSABABESFS1EESSrs t双因素试验的方差分析表方差来源平方和自由度均方F比因素A因素B交互作用误差总和TSESA BSBSAS1rst(1)rs t(1)(1)rs1s1r 94例3 为了比较3种松树在4个不同的地区的生长情况有无差别，在每个地区对每种松树随机地选取5株，测量它们的胸径

50、，得到的数据列表如下。松树数据表松树种类地区1234123,15,26,13,2125,20,21,16,1821,17,16,24,2714,17,19,20,24228,22,25,19,2630,26,26,20,2819,24,19,25,2917,21,18,26,23318,10,12,22,1315,21,22,14,1223,25,19,13,22 18,12,23,22,1995这是一批等重复的两种方式分组数据，记树种因素为A，地区因素为B，则A因素有3个水平，B因素有4个水平，总共有12个水平组合，每个组合（单元）有5个重复观测。将树的胸径作为度量树的生长情况是否良好的数值