漫谈几何直观的内涵课件.ppt

1、武进区星韵学校 许 强简洁明了的简洁明了的表情达意。表情达意。形象直观的形象直观的解决问题。解决问题。一、几何直观的提出一、几何直观的提出 1952年年，大纲提出小学小学“算术教学应该培养和发展儿童的逻辑思维能力”，中学中学数学应该“发展学生生动的空间想象力空间想象力，发展学生逻辑的思维力和判断力”。1963年年，中小学中小学数学教学的能力培养任务修改为培养“计算能力、逻辑推理能力和空间想象力空间想象力”（即传统的三大能力）。1988年年，中小学中小学大纲将能力培养任务改为“培养运算能力、发展逻辑思维能力和空间观念空间观念”。2001年年课标提出“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念

2、，发展形象思维发展形象思维”。2003年年普通高中普通高中数学课程标准指出：“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力几何直观能力，是高中阶段数学课程的基本要求。”2011年年版课标把几何直观作为十个核心概念之一几何直观作为十个核心概念之一，并明确指出几何直观的含义，阐明其教育价值。由我国课程基本要求可以看出，从由我国课程基本要求可以看出，从空间想象能力空间想象能

3、力到到空间观念空间观念，再，再到到几何直观能力几何直观能力，几何直观的建立和发展是一个历史演变过程。，几何直观的建立和发展是一个历史演变过程。20012001年年课标在“空间观念”中提出“能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考”。20112011年年课标指出“几何直观”主要指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直接的理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。关于几何直观的阐述逐渐明晰：关于几何直观的阐述逐渐明晰：从上述演变过程还可以看出：从上述演变过程还可以看出：目前，有关几何直观方面的研究

4、主要停留在两个方面。1.初中、高中的研究比较热烈。提出较早，且新课程标准已经把几何直观看作是贯穿高中数学课程的线索之一。依赖几何直观的“直观形”课程成为数学课程设计的主流之一。研究几何直观是研究的一种趋势。2.在小学，数形结合思想研究较多，而几何直观是新生事物，其核心价值研究比较散点，不成系统，不够全面。最常见的内容往往是借助数形结合的思想，培养学生的几何直观能力，忽略了几何直观的空间想象、直观洞察、直观推理、直观探究等其它重要能力的培养。二、课标怎么说二、课标怎么说课程内容：在数学课程中，应当注重发展学生的 数感、符号意识、空间观念、几何直几何直 观观、数据分析观念、运算能力、推理 能力和模

5、型思想。为了适应时代发展 对人才培养的需要，数学课程还要特 别注重发展学生的应用意识和创新意 识。“几何直观几何直观”是重要的核心能力之一。是重要的核心能力之一。课程内容：主要指利用图形描述和分析问题。借 助几何直观可以把复杂的数学问题变 得简明、形象，有助于探索解决问题 的思路，预测结果。几何直观可以帮 助学生直接的理解数学，在整个数学 学习过程中都发挥着重要作用。描述性的定义，侧重于作用。描述性的定义，侧重于作用。课程目标课程目标总目标：建立数感、符号意识和空间观念，初步 形成几何直观和运算能力，发展形象思 维与抽象思维。学段目标（第二学段）：初步形成数感和空间观念，感受符号和几何 直观的

6、作用。学段目标（第三学段）：经历借助图形思考问题的过程，初步建立几 何直观。建立几何直观的能力是有一个过程的，建立几何直观的能力是有一个过程的，而且几何直观的能力是有高低的。而且几何直观的能力是有高低的。实施建议（教材编写应体现整体性）：本标准在设计思路中提出了几个核心词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想，以及应用意识和创新意识，它们是义务教育阶段数学课程内容的核心，也是教材的主线。实施建议（教材编要体现可读性）：对于第一学段的学生，可以采用图片、游戏、卡通、表格、文字等多种方式，直观形象、图文并茂、生动有趣地呈现素 材，提高他们的学习兴趣。附录（

7、例61）：在第一和第二学段都讨论过分类的问题，通过分类有助于学 生把握问题本质，了解研究对象的共性与差异，分类是探索 数学研究对象性质的有效途径。特别是对于几何图形分类，有利于培养几何直观性和思维的层次性。附录（例79）：利用直角坐标系，不仅能够推导出几何图形的代数表达式，还能够利用几何图形来研究代数问题，这是帮助学生建立几 何直观的有效途径。三、专家怎么说三、专家怎么说三个人扛着一段圆木，如何渡过没有桥的小溪？直观直观什么是“直观”？辞海：直观即感性认识。其特点是生动性、具体 性和直接性。克莱因：数学的直观就是对概念、证明的直接把 握。徐利治：直观就是借助于经验、观察、测试或类 比联想，所产

8、生的对事物关系直接的感 知与认识。陈洪杰：陈洪杰：第一，直观和我们认识世界的方法与特点密切相关。第一，直观和我们认识世界的方法与特点密切相关。相同的事物相同的事物可以用不同的方法加以记录、表示与刻画。这些方法在逻辑关系上有简可以用不同的方法加以记录、表示与刻画。这些方法在逻辑关系上有简单和复杂之分，在感知类型上有直接付诸感官直觉和需要经过理性分析单和复杂之分，在感知类型上有直接付诸感官直觉和需要经过理性分析之分，在表现形式上有之分，在表现形式上有直观和抽象直观和抽象之分。之分。把事情直观化，是我们认识世把事情直观化，是我们认识世界的一个方法与特点。界的一个方法与特点。第二，直观是相对的，有不同

9、的层面和表现。第二，直观是相对的，有不同的层面和表现。眼前的美景难以描眼前的美景难以描摹，我们拍下摹，我们拍下照片照片，这是一种直观；抽象的道理难以领悟，我们讲了一，这是一种直观；抽象的道理难以领悟，我们讲了一个个故事故事，这是直观；复杂的逻辑关系难以梳理，我们画了一个，这是直观；复杂的逻辑关系难以梳理，我们画了一个流程图流程图，这也是直观。这也是直观。第三，直观含有可视化的意思（英文第三，直观含有可视化的意思（英文VisualVisual），作为一个隐喻，），作为一个隐喻，直观意味着是感官可以直接感知的，但并不局限于视觉。直观意味着是感官可以直接感知的，但并不局限于视觉。比如，相较于比如，相

10、较于文字的描绘，声音、颜色、气味、图形、味道，可以文字的描绘，声音、颜色、气味、图形、味道，可以直接作用于不同感直接作用于不同感官的东西官的东西都可以构成一种直观。都可以构成一种直观。第四，直观在认知过程中具有双重的意义，第四，直观在认知过程中具有双重的意义，一方面，它是一方面，它是认识的认识的浅层次阶段，是进一步抽象的基础浅层次阶段，是进一步抽象的基础；另一方面，直观又构成了；另一方面，直观又构成了抽象意义抽象意义的一个侧面的一个侧面，从另一个角度丰富、深化了人们的认识。直观的价值既有，从另一个角度丰富、深化了人们的认识。直观的价值既有工具性层面的（我为了工具性层面的（我为了），又有本体论层

11、面的（我就是），又有本体论层面的（我就是）。）。第五，从形式与内容的的哲学（逻辑）范畴考虑，直观也是对内第五，从形式与内容的的哲学（逻辑）范畴考虑，直观也是对内容的形式特点的概括，容的形式特点的概括，直观与由直观获得的意义构成直观与由直观获得的意义构成形式与内容的逻辑形式与内容的逻辑关系关系。自然，内容是多变的，而形式则可以相对稳定。自然，内容是多变的，而形式则可以相对稳定。什么是“直观”？具有一定经验基础的感性的直接的未证明的整体感知的什么是“几何直观”？课标：主要指利用图形描述和分析问题。借助几 何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测 结果。几何直观可以帮

12、助学生直接的理解 数学，在整个数学学习过程中都发挥着重 要作用。蒋文蔚：几何直观是一种思维活动，是人脑对客 观事物及其关系的一种直接的识别或猜 想的心理状态。徐利治：几何直观是借助于见到的或想到的几何 图形的形象关系产生对数量关系的直接 感知。孔凡哲、史宁中：几何直观是指，借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。几何图形作用于形和数。几何图形作用于形和数。王林：几何直观是学生通过几何学习，在掌握几何图形的结构特征、空间关系以及度量的基础上，学会建立和操作平面或空间内物体的心智表症，形成准确感知和洞察客观世界的能力；能

13、从空间形式和关系的角度对现实问题进行抽象和推理认证（小学阶段不涉及几何证明）的能力。“几何直观”的表现形式：孔凡哲、史宁中：实物直观 简约符号直观 图形直观 替代物直观 曹培英：直观感知 直观洞察 “几何直观”的两种层次：王林指出：小棒图只表示数量的多少，计数器图只表示十位上去掉三个十的过程，不具备图形形状和度量的特征，不不应视为几何直观应视为几何直观。四、我怎么认为四、我怎么认为“几何直观”与“空间观念”：空间观念（课标实验稿）：能运用图形形象地描述问题，能利用直观来进行思考。几何直观是空间思维的重要组成部分，几何直观是空间思维的重要组成部分，空间观念涵盖几何直观。空间观念涵盖几何直观。几何

14、直观是建立在空间观念基础之上几何直观是建立在空间观念基础之上的；借助几何直观描述和分析数学问题的的；借助几何直观描述和分析数学问题的过程是发展空间观念的重要途径。过程是发展空间观念的重要途径。“几何直观”与“空间观念”：空间观念（课标）：主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。主要指物体和形状之间的关系、变化等。主要指物体和形状之间的关系、变化等。几何直观（课标）：主要指利用图形描述和分析问题。用图形解决几何问题，还有数与代数的问题。用图形解决几何问题，还有数与代数的问题。“几

15、何直观”与“数形结合”：百度：数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。“几何直观”与“数形结合”：联系：“以形助数”是几何直观和数形结合共同的功

16、能与表现。区别：1.从对象上讲，数形结合还具有“以数解形”的作用，而几何直观还可以运用于几何本身。2.从“形”含义上讲，几何直观的“形”，可以是眼睛见到的，可以是画出的，也可以是大脑想到的。3.从作用上讲，几何直观是依托“形”直接地产生对数量关系及事物其他本质属性的感知。“几何直观”与“直观几何”：希尔伯特：通过图形进行观察，根据直观认识来研究图形的性质和相关问题，以这种方法为主要手段的几何学是直观几何。“几何直观”与“直观几何”：区别：直观几何是数学课程的一种形态，而几何直观是数学认知的方式与数学教学的手段。联系：直观几何课程需要几何直观。“几何直观”与“几何直觉”：几何直观是在直观感知的感

17、性基础之上所形成的理性思考的结果所致，是学习者对于数学对象的几何属性的整体把握和直接判断的能力；几何直觉属于学习者对于数学对象的感性认识，有很大程度上的猜测成分和朦胧的整体把握。几何直观是学习者、研究者对于数学对象的全貌和本质进行的直接把握，这种直接判断建立在针对几何图形长期有效的观察和思考的基础之上，有相对丰富的经验积淀，更有经验基础之上的理性的概括和升华；几何直觉无需推理就能直接地对事物及其关系做出迅速的识别和理解。联系：都是从“整体把握”。“几何直观”与“几何直觉”：区别：1.几何直观的“整体把握”往往带有明显的逻辑成分，而几何直觉则不然。2.几何直观可能是思考的结果，甚至是迟缓的、深思

18、熟虑的产物；而几何直觉是意识的本能反应，迅捷、敏锐，但有时就是一种猜测。“几何直观”是“几何”，是“直观”？是，也不是。1.是建立在一定的几何知识基础之上的。没有一定的几何知识何谈直观。学生需要几何知识作为直观思考的载体。2.是建立在直观感知的基础之上的。是一种直接的、感性的类似于直觉的认识。3.“几何直观”的呈现应该是一种动态的，是具有一定的思维含量的。cab4.“几何直观”的能力是有高低的。直观感知是能够看懂图，并以之分析解决问题，那么直观洞察就是直接抓住问题的本质。一只小熊乘着热气球以每秒5米的速度上升。小熊飞2秒、4秒、6秒、8秒，能飞多高？2秒 4秒 6秒 8秒0米10米20米30米

19、40米如果每秒上升5米5.“几何直观”能力是可以培养的。不仅要培养直观感知的能力，更要培养直观洞察的能力。看懂图是一种能力，关键是我们怎么看懂图是一种能力，关键是我们怎么想到这个图的。想到这个图的。6.“几何直观”的一般过程。直观感知直观洞察看图画图想图灵感解决问题创造能力空间观念提出提出问题问题7.个体经历的过程。意识意识能力能力思维方式思维方式被动主动五、培养策略五、培养策略1.几何知识的充分掌握是基础。1.11.1认识图形（一）认识图形（一）1.111.11认位置认位置1.121.12认识图形（一）认识图形（一）1.21.2认识图形（二）认识图形（二）1.211.21认识长方形、正方形和

20、圆认识长方形、正方形和圆1.221.22认识三角形和平行四边形认识三角形和平行四边形2.12.1平行四边形的初步认识平行四边形的初步认识2.112.11四边形、五边形和六边形的四边形、五边形和六边形的 初步认识初步认识2.122.12认识平行四边形认识平行四边形2.22.2认识角认识角3.13.1长方形和正方形长方形和正方形3.113.11长方形和正方形的基本特征长方形和正方形的基本特征3.123.12认识周长认识周长3.133.13长方形和正方形周长的计算长方形和正方形周长的计算3.23.2平移和旋转平移和旋转3.213.21平移和旋转平移和旋转3.23.2轴对称图形轴对称图形3.213.2

21、1轴对称图形轴对称图形3.23.2长方形和正方形的面积长方形和正方形的面积3.213.21面积的含义面积的含义3.223.22面积单位面积单位3.233.23长方形和正方形面积的计算长方形和正方形面积的计算3.243.24面积单位间的进率面积单位间的进率4.14.1角角4.114.11认识角认识角4.124.12用量角器量角用量角器量角4.134.13角的分类角的分类4.144.14用量角器画角用量角器画角4.14.1平行与相交平行与相交4.114.11认识平行与相交认识平行与相交4.124.12画平行线画平行线4.134.13认识垂直认识垂直4.144.14画垂线画垂线4.154.15垂直线

22、段最短垂直线段最短4.24.2三角形三角形4.214.21三角形的认识三角形的认识4.224.22三角形的分类三角形的分类4.234.23三角形的内角和三角形的内角和4.244.24等腰三角形和等边三角形等腰三角形和等边三角形4.24.2平行四边形和梯形平行四边形和梯形4.214.21认识平行四边形认识平行四边形4.224.22认识梯形认识梯形4.24.2对称、平移和旋转对称、平移和旋转4.214.21图形的对称图形的对称4.224.22图形的平移图形的平移4.234.23图形的旋转图形的旋转5.15.1多边形的面积计算多边形的面积计算5.115.11面积是多少面积是多少5.125.12平行四

23、边形的面积计算平行四边形的面积计算5.135.13三角形的面积计算三角形的面积计算5.145.14梯形的面积计算梯形的面积计算5.25.2圆圆5.215.21圆的认识圆的认识5.225.22圆的周长圆的周长5.235.23圆的周长的应用圆的周长的应用5.245.24圆的面积圆的面积5.255.25圆环的面积圆环的面积6.16.1长方体和正方体长方体和正方体6.116.11长方体和正方体的特征长方体和正方体的特征6.126.12长方体和正方体的展开图长方体和正方体的展开图6.136.13长方体和正方体的表面积长方体和正方体的表面积6.146.14长方体和正方体表面积的长方体和正方体表面积的 实际

24、应用实际应用6.156.15体积和容积的含义体积和容积的含义6.166.16体积单位和容积单位体积单位和容积单位6.176.17体积计算方法（一）体积计算方法（一）6.186.18体积计算方法（二）体积计算方法（二）6.196.19体积单位间的进率体积单位间的进率6.26.2圆柱和圆锥圆柱和圆锥6.216.21圆柱和圆锥的意义圆柱和圆锥的意义6.226.22圆柱的侧面积圆柱的侧面积6.236.23圆柱的表面积圆柱的表面积6.246.24圆柱的体积圆柱的体积6.256.25圆锥的体积圆锥的体积2.不可忽视材料袋的使用。高水平的几何直观的养成，却是主要依赖于后天，依赖于个体参与其中的几何活动，包括

25、观察、操作、判断、推理等等。配套的材料袋给每一个学生提供了这样的机会。3.多种方式相结合。日常教学中要多采用学生喜爱的“看一看、摆一摆、折一折、剪一剪、拼一拼、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视觉、听觉、触觉、动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，从而使学生掌握图形特征，更好地感知几何直观。在几何知识的学习过程中，需要注意几个问题：在几何知识的学习过程中，需要注意几个问题：1.重视学习的过程。不仅仅是知识的掌握，更要让学生经历知识的形成或发现过程。在过程中潜移默化的培养几何直观能力。2.画图策略的应用是载体。（1）养成画图的习惯：画

26、图本是学习几何的常规直观手段，也是解决一些算术问题的有效方法。但在我们小学教学里缺乏足够的重视。如课标中没有明确提出培养画图习惯的要求；在我们实际教学中对学生书写习惯的要求远高于画图的习惯；对于学生出现的草图不能进行有效的利用与交流；不能够面向全体学生。（2）掌握一定的画图能力：草图简单示意图线段图韦恩图面积图，要习惯于让学生用简洁的图形来表示题意，进行直观感知。会场原来每排20座，有15排，扩建后每排增加5座，增加3排。扩建后共增加多少个座位？原计划买20个皮球，每个15元。实际每个涨价3元，且多买5个。实际比计划多花多少元？学校长方形植物园原来长20米，宽15米，扩建后长增加5米，宽增加3

27、米。扩建后面积增加多少平方米？201553 （3）能够根据画出的图分析、解决问题：如行程问题、分数应用题等一些较复杂的实际问题，借助图形直观感知解决的方法。从甲地到乙地，已经行驶了全程的75%，还剩50千米，请问已经行驶了多少千米？已经行驶75%还剩50千米 （4）培养画图意识更重要：与画图相比，显然更重要的是遇到困难会想到画图。这种画图的意识是培养几何直观能力的关键。有了意识，才会发展成能力；有了能力，才会达到一种境界。如果一池塘里的浮萍每天生长是前一天的两倍,正好10天长满全池塘,请问长满池塘的1/4需要多少天?3.具体课例中如何实施。（1）借助几何图形直观思考实际问题，在观察比较的过程中

28、发现新的规律。加法交换律：因为因为9+6=15，6+9=15，所以所以9+6=6+93.具体课例中如何实施。（1）借助几何图形直观思考实际问题，在观察比较的过程中发现新的规律。乘法分配律：借助图形可以更直观的解释运算律。借助图形可以更直观的解释运算律。347因为因为34+37=33，（4+7）3=33，所以所以34+37=（4+7）3。因为因为4个个3和和7个个3是（是（4+7）个）个3，所以所以34+37=（4+7）3。（2）借助几何图形直观呈现实际问题，在解决问题的过程中建立新的概念。原来的过程：整除算式规定因数和倍数：现在的过程：摆图形找规律揭概念用用8 8个同样大的正方形拼成一个长方形

29、。个同样大的正方形拼成一个长方形。（2）借助几何图形直观呈现实际问题，在解决问题的过程中建立新的概念。原来的过程：整除算式规定因数和倍数：现在的过程：摆图形找规律揭概念摆这样一个长方形用摆这样一个长方形用8 8个小正方形。个小正方形。（2）借助几何图形直观呈现实际问题，在解决问题的过程中建立新的概念。公因数和公倍数：与计算相比，几何直观让概念的内涵更丰富。与计算相比，几何直观让概念的内涵更丰富。（3）借助几何图形直观展示思考过程，在合情推理的过程中探寻新的方法。分数乘分数：（4）借助几何图形直观演示概念本质，在操作过程中深入理解其中的意义。平均数：4.直观洞察是更高追求。比较A和B的大小：A9

30、87654321123456789，B987654322123456788。因为987654321123456789987654322123456788，又987654321123456789987654322123456788所以，AB。直观感知是在有图的基础上能看懂利用它解决问题的能力；直观洞察就是能联想几何图形解决复杂问题的能力。六、对后续研究的启示六、对后续研究的启示现状：侧重于结构层面的研究。现状：侧重于结构层面的研究。启示：从核心知识走向核心能力。启示：从核心知识走向核心能力。结构视野下核心知识引领作用的研究：哪些核心知识承载几何直观能力的培养？哪些核心知识承载几何直观能力的培养？结构化的思维方式与培养几何直观的关系？结构化的思维方式与培养几何直观的关系？结构视野下培养几何直观能力的有效策略？结构视野下培养几何直观能力的有效策略？核心知识引领作用中如何进行长程的规划？核心知识引领作用中如何进行长程的规划？其它核心能力在本课题中如何体现与实施？其它核心能力在本课题中如何体现与实施？