物体的运动包含质心的运动与绕质心的转动(1).ppt课件.ppt

1、物體的運動包含質心的運動與繞質心的轉動：剛體 Rigid Body非剛體的質點系統前後為剛體的質點系統剛體繞一固定軸轉動旋轉軸可以在垂直方向平移剛體的旋轉 Rotation of Rigid Body 旋轉軸可隨時間變化繞固定軸轉動卻是一個一維問題由一個廣義座標來描述：剛體繞固定軸的旋轉即使剛體由眾多粒子組成：剛體中任一點在旋轉時作圓周運動（不一定等速）)()(trtsrsrdtdrdtdsvtdtdr 是距離固定軸的垂直距離dtdt)(Angular VelocityrdtdrdtdrdtrddtdvatT2222)(dtddtdtAngular Accelerationrv rat運動學1

2、11rs剛體中不同位置的粒子，r 不同，位移不同。但轉角一樣。整個剛體只有一個角位移222rs點1點221考慮剛體中的兩個點：剛體中有眾多如上述粒子一個剛體的旋轉狀態可以用一個時間函數來表示：旋轉角)(t好像一維運動的座標一般，但 不是位置座標，對剛體中的一個粒子來說位置是 s。s 才是真正的運動座標。)()(trtsii不同處的粒子 r 不同，但 一樣iirviTira將不同粒子以下標編號。了解此一維運動就了解所有粒子的運動了！rv rat角速度一維的角運動可以如一維的運動，定義速度及加速度dtd22dtd角加速度x轉動與一維運動似乎有一對一對應F?此”力的對應”應該與力及施力的位置同時有關

3、！sin rFrFt平行於 r 的力分量因為剛體形狀不變，沒有效果。sin rFdFrFsFrFWttttFrFrFrtsin力矩 Torque 扭力F利用”功”來推理正好與一維運動的功對應：xFW2iiitiiitiirmramrF對於第 i 個粒子，所受力矩為：Irmrmiiiiiiii22內力的力矩正好抵消與運動狀態無關完全由運動狀態決定對整個剛體來說，總力矩為：考慮一個由多個粒子組成的剛體mI轉動慣量itira 對應的牛頓第二定律 I12.6x轉動與一維運動似乎有一對一對應F IamF一維的角運動由對應的牛頓第二定律控制轉動慣量 IIrmiii2FrrFrFtt力矩 Torque角動量

4、 Angular MomentumdtdLdtIdI)(IL 角動量守恆00L動能22222221212121IrmrmvmKiiiiiiiii221IK 12.3繞固定軸的旋轉與一維平移運動有一對一的對應旋轉角稱為廣義座標 212211xxxx廣義座標：121212dtd想像中的一個獨立彈簧IRTmaTmg Rat221t 每一個粒子的平移有一個牛頓第二定律。每一個剛體的旋轉也有一個牛頓第二定律。繞固定軸轉動是一個一維運動，由一個廣義座標 來描述。剛體繞一固定軸轉動旋轉軸可以在垂直方向平移旋轉軸可隨時間變化滾動是平移與轉動的組合在質心座標系，輪子作一繞固定軸的純轉動CMrel,vvviiCM

5、rel,rrrii滾動是平移與轉動的組合旋轉平移CMrel,rrriiCMrel,vvviirel,rel,iirv滾動是平移與轉動的組合tvtvCMvvtCMvvtCMrel,vvvii滾動是平移與轉動的組合質心第二運動定律在質心座標系中為繞固定軸旋轉CMextMaFI可是質心座標系不是慣性座標系！tvtvCMvvtCMvvt在質心座標系中為繞固定軸旋轉I在質心座標系，虛力的力矩正好抵消質心座標系不是慣性座標系！牛頓第二定律必須加入一個沒有來源的虛力。假設虛力是水平的，計算虛力所做的力矩：iiiiiiiiiaamramrFr00,虛虛因為質心在原點amamFiiii虛對任一物體，虛力的加速度

6、是一樣的滾動由兩個牛頓動定律來描述質心第二運動定律在質心座標系中為繞固定軸旋轉CMextMaFItvtvCMvvtCMvvt虛力的總力矩為零。球緣與地面的接觸點相對於地面是滑動的！地面對球施予動摩擦力。kCMkMgMaf質心平移kCMgakkMgRIRf旋轉IRMgk減速加速旋轉平移與旋轉基本上分離。帶著滑動的滾動正常的汽車行駛狀態平滑滾動，Smooth Rolling 無滑動的滾動 Rolling without slipping平滑滾動，球緣與地面的接觸點相對於地面是靜止的！地面對球施予靜摩擦力。質心平移與旋轉相關質心的移動距離正是輪緣上一點轉過的弧長！滾動是移動與轉動兩者協調進行！因為無

7、滑動，輪面與地面之間是靜摩擦RsxCMRvCM這個條件決定了靜摩擦力的大小。sfRaCM質心的移動距離正是輪緣上一點轉過的弧長！例一：斜面上的平滑滾動CMsMaMgfsin質心平移以向上為正IRfs旋轉，重力通過質心，故無力矩-RaCM21sinMRIgaCM平滑滾動條件摩擦力可求出：221sinMRIgRIfs小於單純的粒子，旋轉會消耗摩擦力的方向：先假設無摩擦，判斷接觸點相對斜面移動方向，此方向的反方向即為摩擦力的方向。另一種作法：能量剛體的動能：移動+旋轉2CM2CM2121MvIKKK平移旋轉P366,367MghMvI2CM2CM2121RvCM純滾動條件例二：斜面上的非平滑滾動CM

8、kMaMgfsin質心平移IRfk旋轉cosMgfkkssMgMRIgRIfcos1sin22若斜角太大，靜摩擦大於最大靜摩擦，球就開始滑動動摩擦力已知。CMappmafFsIRfsRaCMsf例三：以外力驅動的平面滾動sfCMmafsIRfsappRaCMapp例四：以內力矩驅動的平面滾動球緣與地面的接觸點相對於地面是滑動的！地面對球施予動摩擦力。CMkMaf 質心平移IRfk旋轉平移與旋轉基本上分離。帶著滑動的滾動無滑動的滾動 Rolling without slipping球緣與地面的接觸點相對於地面是靜止的！地面對球施予靜摩擦力。滾動是移動與轉動兩者協調進行！CMsMaMgfsinIR

9、fsRaCMkCMkMgMaf質心平移kCMgakkMgRIRf旋轉RgIRMgkk25減速加速旋轉tgvtgtgvvkkk2725CM0CM0與地面接觸點速度過了一段時間後，此速度為零，從此滾動成為平滑滾動！tgvvkCM0CMtgRk25接觸點是靜止的。RvCMCMrel,vvvii無滑動的滾動RvvCM接觸點rvvCMCMrel,rrrii滾動是平移與轉動的組合0,CMCMtvr對邊緣上的一點：RtRtRtvrrriisin,cosCMCMrel,RtRtRrriisin,cosrel,RtRtRtvrrriisin,cosCMCMrel,211sinRyRRyRx擺線CycloidKimbell Art Museum回家鐵環CMv vkfCMv vkf1t0tCMv vkf2tCMv v2tt FCMMaF IrFFCMar施力若未經質心，剛體即會轉動二維的剛體運動二維的剛體運動由一個平移及一個轉動所構成，分別由一個牛頓動定律來描述質心第二運動定律在質心座標系中為繞固定軸旋轉CMextMaFI剛體繞一固定軸轉動旋轉軸可以在垂直方向平移剛體的旋轉 Rotation of Rigid Body 旋轉軸可隨時間變化