第五章+约束优化计算方法讲解课件.ppt
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1、机械优化设计机械优化设计第五章 约束优化计算方法5.1 引言5.2 随机方向搜索法5.3 复合形法5.4 惩罚函数法机械优化设计机械优化设计5.1 引言引言 机械优化设计中的问题,大多数属于约束优化设机械优化设计中的问题,大多数属于约束优化设计问题,其数学模型为计问题,其数学模型为12min(),.()0(1,2,)()0(1,2,)Tnijfx xxst gimhjpxxxx机械优化设计机械优化设计 上一章讨论的都是无约束条件下非线性函数的寻上一章讨论的都是无约束条件下非线性函数的寻优方法,但在实际工程中大部分问题的变量取值都有优方法,但在实际工程中大部分问题的变量取值都有一定的限制,也就是
2、属于有约束条件的寻优问题。一定的限制,也就是属于有约束条件的寻优问题。与无约束问题不同,约束问题目标函数的最小值与无约束问题不同,约束问题目标函数的最小值是满足约束条件下的最小值,即是由约束条件所限定是满足约束条件下的最小值,即是由约束条件所限定的可行域内的最小值。只要由约束条件所决定的可行的可行域内的最小值。只要由约束条件所决定的可行域必是一个凸集,目标函数是凸函数,其约束最优解域必是一个凸集,目标函数是凸函数,其约束最优解就是全域最优解。否则,将由于所选择的初始点的不就是全域最优解。否则,将由于所选择的初始点的不同,而探索到不同的局部最优解上。在这种情况下,同,而探索到不同的局部最优解上。
3、在这种情况下,探索结果经常与初始点的选择有关。为了能得到全局探索结果经常与初始点的选择有关。为了能得到全局最优解,在探索过程中最好能改变初始点,有时甚至最优解,在探索过程中最好能改变初始点,有时甚至要改换几次。要改换几次。机械优化设计机械优化设计(1)直接法)直接法 直接法包括:网格法、复合形法、随机试验法、直接法包括:网格法、复合形法、随机试验法、随机方向法、可变容差法和可行方向法。随机方向法、可变容差法和可行方向法。(2)间接法)间接法 间接法包括:罚函数法、内点罚函数法、外点罚间接法包括:罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度函数法、混合罚函数法、广
4、义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法等。法和约束变尺度法等。根据求解方式的不同,约束优化设计问题可分为根据求解方式的不同,约束优化设计问题可分为:直直接解法、间接解法。接解法、间接解法。机械优化设计机械优化设计 间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约束优化方法,并且容易处理同时具有不等式约束和等式约束的问题。因而在机械优化设计得到广泛的应用。间接解法中具有代表性的是惩罚函数法。直接解法的基本思想:在由m个不等式约束条件gu(x)0所确定的可行域内,选择一个初始点x(0),然后确定一个可行搜索方向S,且以适当的步长沿S方向进行
5、搜索,取得一个目标函数有所改善的可行的新点x(1),即完成了一次迭代。以新点为起始点重复上述搜索过程,每次均按如下的基本迭代格式进行计算:机械优化设计机械优化设计 x(k+1)x(k)+(k)S(k)(k=0,1,2,)逐步趋向最优解,直到满足终止准则才停止迭代。机械优化设计机械优化设计 直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题,思路是在直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题,思路是在m个不个不等式约束条件所确定的可行域内,选择一个初始点,然后决定可行等式约束条件所确定的可行域内,选择一个初始点,然后决定可行搜索方向搜索方向 S且以适当的步长且以适当的步长 ,进行搜索,得到一个使目标函数,进行搜
6、索,得到一个使目标函数值下降的可行的新点,即完成一次迭代。再以新点为起点,重复上值下降的可行的新点,即完成一次迭代。再以新点为起点,重复上述搜索过程,直至满足收敛条件。述搜索过程,直至满足收敛条件。(1)()()()(0,1,2,)kkkkSkxxk()ks-步长步长-可行搜索方向可行搜索方向 可行搜索方向可行搜索方向:当设计点沿该方向作微量移动时,目标函数当设计点沿该方向作微量移动时,目标函数值将下降,且不会越出可行域。值将下降,且不会越出可行域。机械优化设计机械优化设计直接解法的原理简单,方法实用,其特点是:1)由于整个过程在可行域内进行,因此,迭代计算不论何时终止,都可以获得比初始点好的
7、设计点。2)若目标函数为凸函数,可行域为凸集,则可获得全域最优解,否则,可能存在多个局部最优解,当选择的初始点不同,而搜索到不同的局部最优解。3)要求可行域有界的非空集。机械优化设计机械优化设计a)可行域是凸集;b)可行域是非凸集机械优化设计机械优化设计间接解法的求解思路:将约束函数进行特殊的加权处理后,和目标函数结合起来,构成一个新的目标函数,即将原约束优化问题转化为一个或一系列的无约束优化问题。121211,mljkjkxf xG gxH hx 新目标函数加权因子然后对新目标函数进行无约束极小化计算。机械优化设计机械优化设计机械优化设计机械优化设计5.2 随机方向法随机方向法 机械优化设计
8、机械优化设计随机方向法的基本思路:随机方向法的基本思路:在可行域内选择一个初始点,利用随机数的概率特性,产生若干个随机方向,并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为搜索方向s。从初始点x0出发,沿s 方向以一定步长进行搜索,得到新点X,新点x应满足约束条件且f(x)f(x0),至此完成一次迭代。基本思路如图所示。随机方向法程序设计简单,搜索速度快,是解决小型机械优化问题的十分有效的算法。机械优化设计机械优化设计机械优化设计机械优化设计 机械优化设计机械优化设计5.3 复合形法复合形法机械优化设计机械优化设计 它的基本思路是在可行域内构造一个具有k个顶点的初始复合形。对该复合形各顶点的
9、目标函数值进行比较,找到目标函数最大的顶点(最坏点),然后按一定的法则求出目标函数值有所下降的可行的新点,并用此点代替最坏点,构成新的复合形,复合形的形状没改变一次,就向最优点移动一步,直至逼近最优点。由于复合形的形状不必保持规则的图形,对目标函数和约束函数无特殊要求,因此这种方法适应性强,在机械优化设计中应用广泛。机械优化设计机械优化设计机械优化设计机械优化设计二二.初始复合形的构成初始复合形的构成1.复合形顶点数复合形顶点数K K的选择的选择建议建议:nKn21 小取大值小取大值,大取小值大取小值nn2)为避免降维为避免降维,K K应取大些应取大些;但过大但过大,计算量也大计算量也大.*1
10、)为保证迭代点能逼近极小点为保证迭代点能逼近极小点,应使应使1 nK机械优化设计机械优化设计2.初始复合形顶点的确定初始复合形顶点的确定 1)用试凑方法产生用试凑方法产生-适于低维情况适于低维情况;2)用随机方法产生用随机方法产生用随机方法产生用随机方法产生K K个顶点个顶点 先用随机函数产生先用随机函数产生 个随机数个随机数 ,然后变换到预定的区间然后变换到预定的区间 中去中去.n)10(iiiiibxaniiiiiiaabx,.,2,1,)(这便得到了一个顶点这便得到了一个顶点,要连续产生要连续产生K K个顶点个顶点.机械优化设计机械优化设计初始复合形生成的方法:1)由设计者决定k个可形点
11、,构成初始复合形。设计变量少时适用。2)由设计者选定一个可形点,其余的k-1个可形点用随机法产生。()iixar ba11LcjjxxL110.5LcLcxxxx机械优化设计机械优化设计3)由计算机自动生成初始复合形的所有顶点。二、复合形法的搜索方法1.反射1)计算复合形各顶点的目标函数值,并比较其大小,求出最好点XL、最坏点XH 及 次坏点XG,即:min1,2,.,:max1,2,.,:max1,2,.,jLLjHHjGGxf xf xjkxf xf xjkxf xf xjk jH机械优化设计机械优化设计2)计算除去最坏点XH 外的(k-1)个顶点的中心XC 111Lcjjxxk3)从统计
12、的观点来看,一般情况下,最坏点XH和中心点XC的连线方向为目标函数的下降方向。机械优化设计机械优化设计RCCHxxa xx4)判别反射点XR的位置 若XR 为可行点,则比较XR 和XH 两点的目标函数值,如果f(XR)=f(XH),则将缩小0.7倍,重新计算新的反射点,若仍不行,继续缩小,直至f(XR)f(XH)为止。若为非可行点,则将缩小0.7倍,直至可行为止。然后再重复可行点的步骤。2.扩张机械优化设计机械优化设计机械优化设计机械优化设计3.收缩机械优化设计机械优化设计机械优化设计机械优化设计三三.终止判别条件终止判别条件各顶点与好点函数值之差的均方根应不大于误差限各顶点与好点函数值之差的
13、均方根应不大于误差限2112)()()(1kjLjXFXFk机械优化设计机械优化设计比较复合形各顶点的函数值比较复合形各顶点的函数值,找出好点找出好点XL,坏点坏点XHXH=XR=0.5找出次坏点找出次坏点XSH,XH=XSH满足终止条件满足终止条件?X*=XL,F*=F(XL)结结 束束四四.复合形法的复合形法的 迭代步骤迭代步骤是是否否 KjjCHjXKX1,11)(),(RRHCCRXFFXXXX 给定给定K,ai,bi i=1,2,n产生初始复合形顶点产生初始复合形顶点Xj,j=1,2,K计算复合形各顶点的函数值计算复合形各顶点的函数值F(Xj),j=1,2,K是是是是是是否否否否否否
14、XRDDFRF(XH)机械优化设计机械优化设计方法特点方法特点机械优化设计机械优化设计 惩罚函数法是一种很广泛、很有效的间接解法。它的基本原理是将约束优化问题中的不等式和不等式约束函数经加权后,和原目标函数结合为新的目标函数惩罚函数。将约束优化问题转换为无约束优化问题。求解无约束优化问题的极小值,从而得到原约束优化问题的最优解。121211,mljkjkx r rf xrG gxrH hx加权转化项机械优化设计机械优化设计 将有约束的优化问题转化为无约束优化问题来求解。将有约束的优化问题转化为无约束优化问题来求解。前提:一是不能破坏约束问题的约束条件,二是使它归结前提:一是不能破坏约束问题的约
15、束条件,二是使它归结到原约束问题的同一最优解上去。到原约束问题的同一最优解上去。min(),.()01,2,()01,2,njkfRst gjmhklxxxx 构成一个新的目标函数,称为惩罚函数构成一个新的目标函数,称为惩罚函数()()()()121211(,)()()()mlkkkkjkijrrfrG grH hxxxx机械优化设计机械优化设计 从而有从而有()11lim()0mkikirG gx()21lim()0lkjkjrH hx()()()12lim(,)()0kkkkrrfxx惩罚项必须具有以下极限性质:惩罚项必须具有以下极限性质:求解该新目标函数的无约束极小值,以期得到原问题求解
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