第二节-一阶微分方程高等数学三年专科版精品课件.ppt
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1、一、可分离变量方程一、可分离变量方程第七章微第七章微 分分 方方 程程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)=0.一、可分离变量方程一、可分离变量方程例如:形如例如:形如y =f(x)g(y)的微分方程,称为的微分方程,称为可分离变量方程可分离变量方程.(1)分离变量分离变量将方程整理为将方程整理为xxfyygd)(d)(1 使方程各边都只含有一个变量使方程各边都只含有一个变量.的形式,的形式,(2)两边积分两边积分两边同时积分,得两边同时积分,得,d)(1yyg 左边左边.d)(xxf 右边
2、右边故方程通解为故方程通解为.d)(d)(1Cxxfyyg 我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数,被积函数的一个原函数,而把积分所带来的任意常而把积分所带来的任意常数明确地写上数明确地写上.例例 1 求方程求方程.1)cos(sin2的通解的通解yxxy 解解分离变量,得分离变量,得,d)cos(sin1d2xxxyy 两边积分,得两边积分,得,)sin(cosarcsinCxxy 这就是所求方程的通解这就是所求方程的通解例例 2 求方程求方程.的通解的通解xyy 解解分离变量,得分离变量,得,d1dxxyy 两边积分,得两边积分
3、,得,1e|1xyC ,1ln|ln1Cxy 化简得化简得.0,1,e2221 CxCyCC则则令令,1e1xyC 另外,另外,y=0 也是方程的解,也是方程的解,因此因此 C2 为任意常数为任意常数xCy2 所所以以.xCy 求解过程可简化为:求解过程可简化为:,ddxxyy 两边积分得两边积分得,ln1lnlnCxy 即通解为即通解为,lnlnxCy ,xCy 其中其中 C 为任意常数为任意常数.中的中的 C2 可以为可以为 0,这样,方程的通解是这样,方程的通解是分离变量得分离变量得例例 3 求方程求方程 dx+xydy=y2dx+ydy 满足初始满足初始条件条件 y(0)=2 的特解的
4、特解.解解将方程整理为将方程整理为.d)1(d)1(2xyyxy 分离变量,得分离变量,得,1dd12 xxyyy两边积分,两边积分,有有.ln21)1ln()1ln(212Cxy 化简,得化简,得,)1(122 xCy即即1)1(22 xCy将初始条件将初始条件 y(0)=2 代入,代入,.1)1(322 xy为所求之通解为所求之通解.得得 C=3.故所求特解为故所求特解为例例 4.)(dd )均均是是正正的的常常数数与与其其中中(的的通通解解求求方方程程akaykyxy 解解分离变量分离变量得得,d)(dxkayyy 即即.dd)11(xkayyay 两边积分,得两边积分,得.lnlnCk
5、axyay 经整理,得方程的通解为经整理,得方程的通解为,e1kaxCay 也可写为也可写为.e1kaxCay .2sin2sin 的的通通解解求求方方程程yxyxy 例例 5解解.2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos2sinyxyxyxyxy 积分后,得通解积分后,得通解,ln2sin2)2cot2ln(cscCxyy 分离变量分离变量,得得,d2cos2sin2dxxyy 即即.e2cot2csc2sin2xCyy 二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程一阶微分方程的下列形式一阶微分方程的下列形式)()(xQyxPy 称为一阶线性微分方程,简称称为一阶线性微分方程,简
6、称一阶线性方程一阶线性方程.其中其中P(x)、Q(x)都是自变量的已知连续函数都是自变量的已知连续函数.左边的每项中仅含左边的每项中仅含 y 或或 y,且均为且均为 y 或或 y 的一次项的一次项.它的特点它的特点是:右边是已知函数,是:右边是已知函数,称为一阶线性齐次微分方程,简称称为一阶线性齐次微分方程,简称线性齐次方程线性齐次方程,0,则称方程,则称方程 为一阶线性非齐次微分为一阶线性非齐次微分方程,简称方程,简称线性非齐次方程线性非齐次方程.通常方程通常方程 称为方程称为方程 所对应的线性齐次方程所对应的线性齐次方程.,0)(yxPy若若 Q(x)若若 Q(x)0,则方程成为,则方程成
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