离散型随机变量的期望与方差习题课课件.ppt

1、例例1：某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内：某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件事件E发生，该公司要赔偿发生，该公司要赔偿a元元.设在一年内设在一年内E发生的概率发生的概率为为p,为使公司收益的期望值等于为使公司收益的期望值等于a的的10%,公司应要求顾公司应要求顾客交多少保险金？客交多少保险金？例例2：将一枚硬币抛掷：将一枚硬币抛掷20次，求正面次数与反面次数次，求正面次数与反面次数之差之差 的概率分布，并求出的概率分布，并求出 的期望的期望E 与方差与方差D .例例3(07全国高考）某商场经销某商品，根据以往资料统计，全国高考）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用

2、的付款期数顾客采用的付款期数的分布列为的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用商场经销一件该商品，采用1 1期付款，其利润为期付款，其利润为200200元；元；分分2 2期或期或3 3期付款，其利润为期付款，其利润为250250元；分元；分4 4期或期或5 5期付款，其期付款，其利润为利润为300300元元 表示经销一件该商品的利润表示经销一件该商品的利润（）求事件）求事件A“A“购买该商品的购买该商品的3 3位顾客中，至少有位顾客中，至少有1 1位采位采用用1 1期付款期付款”的概率的概率P(A)P(A)；（）求）求的分布列及期望的分布列及期望E E 例例

3、4.(07北京高考北京高考)某中学号召学某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动社会公益活动(以下简称活动以下简称活动).该该校合唱团共有校合唱团共有100名学生名学生,他们参他们参加活动的次数统计如图所示加活动的次数统计如图所示（I）求合唱团学生参加活动的）求合唱团学生参加活动的人均次数；人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相生，求他们参加活动次数恰好相等的概率等的概率（III）从合唱团中任选两名学生）从合唱团中任选两名学生,用用表示这两人参加活动次数之表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量

4、差的绝对值，求随机变量的分的分布列及数学期望布列及数学期望E 123 10 20 30 4050参加人数参加人数活动次数活动次数例例5(07安徽安徽)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：只蝇子：6只果蝇和只果蝇和2只苍蝇），只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以以表示笼内还剩下表示笼内还剩下

5、的果蝇的只数的果蝇的只数.（）写出）写出的分布列（不要求写出计算过程）；的分布列（不要求写出计算过程）；（）求数学期望）求数学期望E；（）求概率）求概率P（E）.解解:（）的分布列为：）的分布列为：0123456P7/286/285/284/283/282/281/2828152812345)2()()(.2)435261(282)(PEPIIIEII所所求求的的概概率率为为数数学学期期望望为为练习练习:某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此元的保险金，对在一年内发生此种事故的车

6、辆，单位获种事故的车辆，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独，且各车是否发生事故相互独立。求一年内该单位在此保险中：立。求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；）获赔的概率；（2）获赔金额）获赔金额的分别列与期望。的分别列与期望。解解:设设Ak表示第表示第k辆车在一年内发生此种事故辆车在一年内发生此种事故k=1,2,3由由题意知题意知A1，A2，A3独立，且独立，且P(A1)=1/9，P(A2)=1/1

7、0，P(A3)=1/11（1）该单位一年内获赔的概率为）该单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111P A A AP A P A P A (2)的所有可能值为的所有可能值为0，9000，18000，2700012312389108(0)()()()()9101111PP A A AP A P A P A123123123(9000)()()()PP A A AP A A AP A A A123123123()()()()()()()()()P A P A P AP A P A P AP A P A P A11101918119101191011910112

8、73990110123123(27000)()()()()PP A A AP A P A P A111191011990综上知，的分布列为综上知，的分布列为090001800027000P8/1111/453/1101/990811310900018000270001145110990E299002718.1811例例6(056(05江西高考江西高考)A)A、B B两位同学各有五张卡片，现以投两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A A赢得赢得B B一张卡片，否则一张卡片，否则B B赢得赢得A A一张卡片一张卡片.规定掷

9、硬币的次数规定掷硬币的次数达达9 9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设设 表示游戏终止时掷硬币的次数表示游戏终止时掷硬币的次数.（1 1）求）求 的取值范围；的取值范围；（2 2）求）求 的数学期望的数学期望EE.解解:(1)设正面出现的次数为设正面出现的次数为m，反面出现的次数为，反面出现的次数为n，则，则 915|nmnm可得：可得：.9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的的所所有有可可能能取取值值为为所所以以时时或或当当时时或或当当时时或或当当 nmnmnmnmnmnm;645)21(2)7(;16132

10、2)21(2)5()2(7155 CPP .322756455964571615;64556451611)9(EP59的分布列如下的分布列如下）随机变量）随机变量浙江浙江练习练习 1507(:-101Pabc_,31.DEcba则则若若成等差数列成等差数列、其中其中2221111614(1)(0)(1)33399911331115 2,63291 DabcabcEa ca b cba cabcDa b c 解解析析：由由、成成等等差差数数列列由由分分布布列列性性质质(07江西江西)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，

11、当第一次烧制品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，立根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为依次为0.6，0.5，0.75（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为）经过前后两次烧制

12、后，合格工艺品的个数为，求，求随机变量随机变量的期望的期望解解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1,A2,A3（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则38.04.04.05.06.06.05.06.04.05.0)()()()(321321321 AAAPAAAPAAAPEP解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3，所以，所以B(3,0.3)，故，故E=np=30.3=0.9 例例.某生在解答数学考试时有两种方案某生在解答数学考试时有两

13、种方案:方案一方案一,按题号顺序按题号顺序解答；方案二，先做解答题，后做选择题、填空题，且解答；方案二，先做解答题，后做选择题、填空题，且分别按题号顺序依次解答分别按题号顺序依次解答.根据以往经验，若能顺利地解根据以往经验，若能顺利地解答某题，就增强了解答题目地信心，提高后面答题正确答某题，就增强了解答题目地信心，提高后面答题正确率的率的10；若解答受挫，就增加了心理负担，降低了后；若解答受挫，就增加了心理负担，降低了后面答题正确率的面答题正确率的30.为了科学地决策，他采用了一个特为了科学地决策，他采用了一个特例模型例模型:在某次考试中有在某次考试中有6道题，他答对每道题的概率分布道题，他答

14、对每道题的概率分布和题目的分值如下表和题目的分值如下表:题号题号123456概率概率0.950.90.850.80.50.2分值分值55551214(1)在方案一中，求他答对第在方案一中，求他答对第2题的概率；题的概率；(2)在方案一中，求他答对第在方案一中，求他答对第3题的概率；题的概率；(3)请你帮助他做出科学的决策请你帮助他做出科学的决策.(决策问题决策问题)练习练习:在灯谜晚会上，猜谜者需猜两条谜语在灯谜晚会上，猜谜者需猜两条谜语(谜谜1和谜和谜2),猜猜谜者对这两条谜语可以按自己选择的先后顺序去猜，如谜者对这两条谜语可以按自己选择的先后顺序去猜，如果他决定先猜果他决定先猜i(i=1,

15、2)，则只有当他猜对此谜后才被允许，则只有当他猜对此谜后才被允许猜另一条谜语，否则就不允许猜另一条谜语了猜另一条谜语，否则就不允许猜另一条谜语了.若猜谜者若猜谜者猜对谜猜对谜i(=1,2)，则奖，则奖xi(i=1,2)元，一中一得，设猜对谜元，一中一得，设猜对谜i(i=1,2)这两件事是互不影响的这两件事是互不影响的.试问：试问：（1）他应先猜哪条谜语？）他应先猜哪条谜语？（2）若）若x1=200，x2=100，P1=60%，P2=80%(P1、P2分别分别为猜中谜为猜中谜1、2的概率）的概率）,则应先猜哪条谜语？则应先猜哪条谜语？（3）若）若x1=200，x2=100，P1=60%，P2=7

16、5%，则应先猜，则应先猜哪条谜语？哪条谜语？解解.(1)设猜中谜设猜中谜i(i=1,2)的概率为的概率为Pi(i=1,2)若先猜谜若先猜谜1，则所得奖金，则所得奖金Y1的分布列为的分布列为:Y10 x1x1+x2P1-P1P1(1-P2)P1P22121121212111)()1(ppxpxppxxppxEY 所所得得奖奖金金的的均均值值为为若先猜谜若先猜谜2，则所得奖金，则所得奖金Y2的分布列为的分布列为:Y20 x2x1+x2P1-P2P2(1-P1)P1P22112221211222)()1(ppxpxppxxppxEY 所所得得奖奖金金的的均均值值为为都一样；都一样；与先猜谜与先猜谜先

17、猜谜先猜谜时时即即当当；先猜谜先猜谜时时即即当当；先猜谜先猜谜时时即即当当21,2,1,211222121121211222121121211222121121ppxpxppxpxEYEYppxpxppxpxEYEYppxpxppxpxEYEY ；故先猜谜故先猜谜则则时时若若2,176,168,%80%,60,100,200)2(21212121EYEYEYEYppxx .21,165%,75%,60,100,200)3(21212121都都一一样样与与先先猜猜谜谜故故先先猜猜谜谜则则若若EYEYEYEYppxx 2.(山东山东07理理18)设设b,c分别是先后掷两次骰子得到的点数分别是先后掷

18、两次骰子得到的点数,用用随机变量随机变量表示方程表示方程x2+bx+c=0的方程的实根个数的方程的实根个数.(1)求方程有实根的概率求方程有实根的概率;(2)求求的分布列和期望的分布列和期望;(3)求在先后两次出现的点数有求在先后两次出现的点数有5的条件下的条件下,方程有实根的概方程有实根的概率率.1(07宁夏海南理宁夏海南理20)如图，面积为如图，面积为S的正的正方形方形ABCD中有一个不规则的图形中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计，可按下面方法估计M的面积：在正方形中随机投掷的面积：在正方形中随机投掷n个点，若个点，若n个点中有个点中有m个个点落入点落入M中，则中，则M的面积的估计值

19、为的面积的估计值为mS/n.假设正方形的假设正方形的边长为边长为2，M的面积为的面积为1，并向正方形中随机投掷，并向正方形中随机投掷10000个个点，以点，以X表示落入表示落入M中的点的数目中的点的数目（I）求）求X的均值的均值EX；（II）求用以上方法估计面积时，）求用以上方法估计面积时，M的面积的估计值与的面积的估计值与实际值之差在区间实际值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率内的概率k2424242525742575P(xk)0.04030.04230.95700.9590M8.已知某车站每天已知某车站每天8：009：00、9：0010：00都恰好都恰好有一辆客车到站；有一辆客车到

20、站；8：009：00到站的客车可能在到站的客车可能在8：10、8：30、8：50到，其概率依次为到，其概率依次为1/6,1/2,1/3,9：0010：00到站的客车可能在到站的客车可能在9：10、9：30、9：50到，其概率依次为到，其概率依次为1/6,1/2,1/3,今有甲、乙两位旅客，他们到站的时间分别为今有甲、乙两位旅客，他们到站的时间分别为8：00和和8：20，试问他们候车时间的平均值哪个更多？，试问他们候车时间的平均值哪个更多？:,:则他们的分布列为则他们的分布列为分钟分钟、车事件分别为车事件分别为设甲、乙两位旅客的候设甲、乙两位旅客的候解解 103050P1/61/21/31030

21、507090P1/21/36161 3161 2161.,92453100.值比旅客乙多值比旅客乙多旅客甲候车时间的平均旅客甲候车时间的平均 EEEE （2005湖南卷）某城市有甲、乙、丙湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客，且客人是否游览哪个景点互不影响，设人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（）求）求的分布及数学期望；的分布及数学期望；（）记）记“函数函数f(x

22、)x23x1在区间在区间2，上单调上单调递增递增”为事件为事件A，求事件，求事件A的概率的概率.解：（解：（I）分别记）分别记“客人游览甲景点客人游览甲景点”，“客人游览乙景客人游览乙景点点”，“客人游览丙景点客人游览丙景点”为事件为事件A1，A2，A3.由已知由已知A1，A2，A3相互独立，相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.客人游览的景点数的可能取值为客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，相应地，客人没有游览的景点数的可能取客人没有游览的景点数的可能取值为值为3，2，1，0，所以的可能取值为，所以的可能取值为1，3.例例.某市出租车的起步价为

23、某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过元，行驶路程不超过3km时，时，租车费为租车费为6元，若行驶路程超过元，若行驶路程超过3km，则按每超出，则按每超出1km（不足（不足1km也按也按1km计程）收费计程）收费3元计费元计费.设设出租车一天行驶的路程数出租车一天行驶的路程数X(按整按整km数计算，不足数计算，不足1km的的自动计为自动计为1km)是一个随机变量，则其收费数是一个随机变量，则其收费数 也是一个随也是一个随机变量机变量.已知一个司机在某个月中每次出车都超过了已知一个司机在某个月中每次出车都超过了3km，且一天的总路程数可能的取值是且一天的总路程数可能的取值是200,220,24

24、0,260,280,300(km)，它们出现的概率依次是，它们出现的概率依次是0.12,0.18,0.20,0.20,100a2+3a,4a （1）求这一个月中一天行驶路程）求这一个月中一天行驶路程X 的分布列，并求的分布列，并求X 的的数学期望和方差；数学期望和方差；（2）求这一个月中一天所收租车费）求这一个月中一天所收租车费 Y的数学期望和方差的数学期望和方差（1）由概率分布的性质）由概率分布的性质2有，有，0.12+0.18+0.20+0.20+100a 2+3a+4a=1，3.071002aa03100,03.0),(101,1003,0370100022aaaaaaa即舍去或18，4

25、a=0.12，的分布列为，的分布列为200220240260280300P0.120.180.200.200.180.12)(25012.030018.028020.026020.024018.022012.0200kmE ;96412.05018.03020.01020.01018.03012.050222222 D（2）由已知）由已知 7473250333)33(),3(33 EEEZ.86763)33(2DDD思考：思考：巴拿赫巴拿赫(Banach)火柴盒问题火柴盒问题波兰数学家随身带着两盒火柴，分别放在左、右两个衣波兰数学家随身带着两盒火柴，分别放在左、右两个衣袋里，每盒有袋里，每盒有

26、n根火柴，每次使用时，便随机地从其中根火柴，每次使用时，便随机地从其中一盒中取出一根。试求他发现一盒已空时，另一盒中剩一盒中取出一根。试求他发现一盒已空时，另一盒中剩下的火柴根数下的火柴根数k的分布列。的分布列。221,0,1,2,2n knn kPCkn 例例.某电器商经过多年的经验发现本店每月出售的电冰某电器商经过多年的经验发现本店每月出售的电冰箱的台数箱的台数X是一个随机变量，它的分布列为是一个随机变量，它的分布列为P(X=k)=1/12(k=1,2,12).设每售出一台电冰箱设每售出一台电冰箱,该经销该经销商获利商获利300元，如果销售不出而囤积于仓库，则每台每元，如果销售不出而囤积于仓库，则每台每月需支付保养费月需支付保养费100元元.问该电器商月初购进多少台电冰问该电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均受益最大？箱才能使自己月平均受益最大？