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1、静力学核心内容 力系简化结果 平衡条件(几何、解析)一般 特殊 各类平衡问题2-1 一般力系的平衡条件 2-2 特殊力系的平衡方程 2-3 简单平衡问题 2-4 物体系统平衡问题(f=0)2-5 平面静定桁架2-6 考虑摩擦的物体平衡 R0()0iOOi,FFMMF力系平衡且2-1-1 力系几何平衡条件 2-1-2 力系解析平衡条件平衡方程 2-1-1 力系几何平衡条件 主矢和主矩矢多边形同时封闭。不平衡。实为一合力偶平 衡0M 0OM 图示力系沿正方体棱边，各力大小相等，平衡吗?若不平衡，试加一力使之平衡。图示受力圆板平衡吗?ABCDABCDOFFFFFF2-1 一般力系的平衡条件一般力系的

2、平衡条件不平衡。加力F后平衡。2-1-2 力系解析平衡条件平衡方程 1.基本形式即空间力系平衡方程基本形式 6个独立方程 可解6个未知量。2.其它形式 由 、向直角坐标轴投影，得0 ()0iOiFM F000 xyzFFF000 xyzMMM4矩式、5矩式、6矩式及其补充条件。(并不重要)2-1 一般力系的平衡条件一般力系的平衡条件由基本式去掉力系几何性质自动满足的方程1.平面一般力系 置各力线于xOy平面，则000 xyzM,M,F-三矩式(A,B,C不共线)-二矩式()ABx000 xyzF,F,M000 xABF,M,M-基本式则000ABCM,M,M2-2 特殊力系的平衡方程 2.空间

3、汇交力系，汇交于O点000zxyM,F,F,3.空间平行力系 让各力线平行于z轴，有0,0,0,0OxyzMMM M即000 xyzMMF则000 xyzFFF则2-2 特殊力系的平衡方程(1)力系平衡时，对任意轴x，有(2)各类力系独立平衡方程数 可用于判断问题是否可解。4.平衡方程要点=0 0 xxFM 一般 平行 汇交 力偶 空间 平面 633332212-2 特殊力系的平衡方程 指出下列力系独立平衡方程数目。1.各力线平行于某平面。5 2.各力线平行于某直线。3.各力线相交于某直线。4.各力线分别汇交于两点。3 5 5 5.一个平面任意力系加一个垂直于此平面力系所在平面的平行力系。6

4、6.一个平面任意力系加一个平行于此平面力系所在平面的平行力系。42-2 特殊力系的平衡方程 下列问题是否可解?三杆平行，三杆汇交，一为“0”杆四杆汇交，四杆平行，三杆不平行，三杆不汇交，可解不可解可解不平衡力偶平衡，不可解(非对称)不可解(非对称)FFMGF零杆2-2 特殊力系的平衡方程 可解四杆对称汇交，可解四杆对称平行，可解ABABF2GNBF1GABFNAFAB1.汇交力系 分别研究A、B轮，受力如图，12sin()sinsin()sinABABGFGF,12sinsinsin()sin()GG2112tantan tanGGGG故由相应力，有1G2G2-3 简单平衡问题 已知 f=0，

5、1290G,G,不计杆重，求平衡位置 角。ABFFAB若 f0 情形怎样?轮为二力构件，斜面约束力必指向轮心，摩擦力为零，故结果相同!三力以上汇交力系，宜用解析法!本例可用解析法，对A，B分别由 四个方程求解。0,0 xyFFAB1G2G2-3 简单平衡问题 2.平行力系 如图所示，移动式起重机自重(不包括平衡锤重量)，其重心O离右轨1.5 m，悬臂最大长度为10 m，最大起重量 。欲使跑车满载或空载时起重机均不致翻倒，求平衡锤的最小重量以及平衡锤到左轨的最大距离x。跑车自重可忽略不计。500 kNG 1250 kNG OG1.5m10m1G3 mx0GBA2-3 简单平衡问题 研究整体，其受

6、力如图所示，各力组成一平面平行力系。满载时，0BM由，有01(3)31 510AGxFG.G 01(3)1.5103AGxGGF起重机不向右翻倒的条件是故01(3)1.510GxGG即空载时，1250 kNG，10G，OG1.5m10m1G3 mx0GBAAFBF0AF a2-3 简单平衡问题 故04.53BGG xF起重机不向左边翻倒的条件是 ，0BF 即(b)04.5G xG(a)-(b)，并将 1500 kN,250 kNGG代入，得01000kN3G 故0min1000kN3G0AM由，有034.5BFGxG OG1.5m3 mx0GBAAFBF2-3 简单平衡问题 225036.75

7、m1000 xG故max6.75 mx00minmax,GGxx并验证(a),(b)两个不等式成立。均为临界值。设计时，应0minGmaxx和适当取值，使此处0min1000kN3G将代入(b)式，得OG1.5m10m1G3 mx0GBAAFBF2-3 简单平衡问题 1kN1kN3kN2kNCBxyzDE 试求图示折杆C截面的内力。截面法。N1 kNxF轴力 Q2 kNyF 假设用垂直于轴线 的平面在C处将杆截开，研究BC段，C截面内力如图。yMxMzMQyFNxFQzF0 xF，由得0yF，由得1m1kN1kN3kN2kNC2mB2m2mDEA2-3 简单平衡问题 1 22 2 kN m6

8、kN m zM 228(6)kN m10 kN mM 扭矩 1 22 1 kN m4 kN mxM 1 23 2 kN m8 kN myM 0 xM，由得0yM，由得0zM，由得剪力 Q1 3 kN4 kNzFQ2 5 kNF0zF，由得1kN1kN3kN2kNCBxyzDEyMxMzMQyFNxFQzF弯矩 2-3 简单平衡问题 分三段，选取三个坐标。如:将C处2m，改为x，则AE段扭矩为常数，弯矩成为线性函数。如何求各段内力函数?1kN1kN3kN2kNC2 mB2mxDE2-3 简单平衡问题 A2xCBAqlx 在x处作截面，研究左半段，受力如图。已知 q、l,试求图示简支梁，横截面内力

9、随轴线 x 的变化规律(内力函数)。0yF,由得02qlFqxxlQ2AyByqlF=F=约束力2qlQFMqxByFAyF2-3 简单平衡问题 2022qlqMxxxld0dMx，由有由0CM,有由2max18Mql2lx时，MQF21ql82ql2ql2l2-3 简单平衡问题 A2xC2qlQFMqx 图(a)所示支架由三根互相垂直杆刚结而成，两圆盘直径均为d，分别固定于两水平杆杆端上，盘面与杆垂直。竖直杆AB长为l，在图示荷载下试确定轴承A，B的约束力。3.力偶系研究整体，FdM 因主动力是两个力偶矩大小为的力偶，A，B两处约束力必构成一力偶与主动合力偶相平衡。ABxyFFFF a2-3

10、 简单平衡问题 ABxyFFFF c其方向如图(c)所示。运用力偶系平衡的几何条件解空间三力偶问题十分简便，先由力偶矩矢三角形，求出未知约束力偶矩矢的大小和方向，再用右手法则确定约束力的方向。2 故ABABMFdFFllAF 由力偶矢三角形(图 b)知，约束力偶矩 的大小为ABM2ABMFdABMM(b)M2-3 简单平衡问题 BF4545先研究杆DE，其受力如图(b)所示。图(a)所示结构中，杆DE的D端及杆端B为铰，E端光滑搁置，且 DEAC，力偶矩为M,求A，C铰支座约束力。3,4,90ABl BClB,与AB杆平行，BCF E与 组成一力偶。EFDFDFEF图(b)DEM图(a)CBA

11、DEM3l4l2-3 简单平衡问题 图(d)CBADEM0AxF再研究杆AB，其受力如图(c)所示。最后研究整体，其受力如图(d)所示，因铰A对AB杆约束力为FA，方向沿BA，它与铰C对BC杆约束力组成一力偶。0BM,有由FAxFAy图(c)BADDFBxFByFCFAF可由三力汇交判断!2-3 简单平衡问题 4CAMFFl 力偶只能由力偶平衡，由此确定D，C处约束力方向；杆端力沿杆向正交分解，常使求解简便。0M,有由2-3 简单平衡问题 图(d)CBADEMCFAF 如图(a)所示，等截面梁受横向荷载 作用，()q x试求垂直于轴线的横截面上内力的平衡微分方程。4.变形体平衡问题图(a)MF

12、()q xBA2-3 简单平衡问题 图(b)()q xdxC 由于B端为可动铰支座，横截面上不产生轴向内力。取梁的微段dx，其受力如图(b)所示，先将整体受力简化为梁的纵向对称面内的平面力系，再简化横截面内力。内力 (称为剪力)，内力偶M(称为弯矩)是横截面上分布内力的简化结果，且均设为正(内力的正负号不能按坐标定出，应重新规定，以使同一截面左右两边的同一内力正负相同)，视 为常量QF()q xdx(因 很小)。MQFdMM+QQdFF2-3 简单平衡问题 略去上式中的二阶微量 d()d2xq xx，由(a)和(b)式得 QQd()()dd()()dFxq xxM xFxx 这组方程由刚体平衡

13、条件导出，是材料力学中分析梁内力的基础。由 0yF，得 QQQdd0 FxFxFxq xx a0,CM由得 Qdddd02xM xM xM xFxx q xx b(b)MQFdMM+QQdFF()q xdxC2-3 简单平衡问题 .试导出理想流体(无粘性)的静力平衡微分方程。设单位体积质量体积力为 。f 考察左右两侧面中点的压强大小如图所示，并视为整个侧面的平均压强。在静止流体中取一个无限小六面体微团，边长分别为 VFf及6个侧面上的表面压力作用。dx,dy,dz ，受体积力 yfdzdydxcdppyyp2-3 简单平衡问题 同理可得1100 xzppffxz故有1()xyzpppfffxy

14、zijkijk即1pf 这就是静止理想流体的平衡微分方程，也由刚体平衡条件导出，是欧拉于1755年首先提出的。故10ypfy由 0yF，得d d(d)d dd d d0ypp x zpyx zfx y zyyfdzdydxcdppyyp2-3 简单平衡问题 悬链线。如图a所示总长为l的柔软绳索两 端对称悬挂于重力场中，已知绳索单位长度的重量为q，试求平衡时绳索的形状。OCB图(a)2-3 简单平衡问题 取绳索最低点O为坐标原点，研究任意OA段索，其受力如图(b)所示。由 得:0 xF 0TTd()dxF xFs(a)由 得:0yF Td()dyFxqss(b)T()xFsq0TF图(b)AO其

15、中，s为OA弧长。dsdxdy2-3 简单平衡问题 002TTdd1()ddyqsqyxFxF分离变量后，从O到A点积分得即两边对x求导数，得0TshqyxF 01TshqyxF 由式(a)，(b)消去 T()Fx，得0TddyqsyxF 2-3 简单平衡问题 T()xFsq0TF图(b)AOdsdxdy再积分，并由0 x 时 0y，得此即为悬链线方程。00TTchFqxy1qF0TF可由OC段平衡求得。其中2lq0TFAOC2-3 简单平衡问题 简单超静定问题 F 如图a所示刚性杆用三根刚度系数均为k的弹簧水平悬吊。今在D处作用铅直方向力杆重，试求3根弹簧的内力。，不计2.4 物体系统平衡问

16、题物体系统平衡问题CBAkkkFll12图(a)2-3 简单平衡问题 本题所涉及的力系属平面平行力系，有三个未知力，只有两个独立平衡方程，是一次超静定问题尚需建立一个补充方程。设系统受力后，位移如图b所示。0yF 有由2131()2lll 又0BM 可得由123FFFF(a)132FFF(b)2.4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题CBAF1F2F3F1l2l3l图(b)2-3 简单平衡问题 123711,12312FFFFFF(1,2,3)iiFk l i 将代入上式，可得联立(a)，(b)，(c)式得求解超静定问题的关键是，由变形情况，通过物理关系，建立包含未知力的补充方程，再与静力平衡方

17、程联立求解。所设未知力的方向与物体变形假设方向要一致。2132FFF(c)例题图a中，若有n根弹簧悬吊，如何求解?2.4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题2-3 简单平衡问题 确定各构件的受力(外力、内力)目标:2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题(f=0)2-4-1 静定与超静定概念 2-4-2 物系平衡问题解法 2-4-1 静定与超静定概念 未知量个数Nr独立方程数Ne 未知量个数Nr独立方程数Ne 只用静力平衡条件能求解的问题。静定:超静定:只用静力平衡条件不能求解的问题先建立初步概念，组成分析后再严格定义.(各构件全部外力)2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题Nr=6 Ne=6

18、静定结构Nr=7 Ne=6超静定结构MFMFNr=5 Ne=6运动机构(k=1):一个自由度MF2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题2-4-1 静定与超静定概念 Nr=8 Ne=6二次超静定Nr=8 Ne=6二次超静定试判断下列系统是否静定?(a)BA0f GCD2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题2-4-1 静定与超静定概念(b)ACBF(c)Nr=3+2+2=7 Ne=2 3=6;一次超静定2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题2-4-1 静定与超静定概念(c)F(d)Nr=6+3=9 Ne=2 4=8;一次超静定 或 Nr=4 4+3=19 Ne=3 6=18;一次超静定(d)

19、F2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题2-4-1 静定与超静定概念(e)Nr=4 Ne=3;一次超静定(e)2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题2-4-1 静定与超静定概念 2-4-2 物系平衡问题解法 1.一般步骤 1)灵活选对象，先求未知量“先整体，后局部”或“先局部、后整体”2)正确画受力图，注意力系的等效条件 3)巧取矩心、投影轴、尽量避免联立方程 常选未知力交点矩心、与多个未知力垂直的投影轴。2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题2.典型例题 整体“静定型”先研究整体，受力如图(a)123 4BF+FF=2-4-2 物系平衡问题解法 1243BFaF aFa0AM,由得CB

20、A2F1Faaaa(a)AxFAyFBF2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题 已知F1、F2分别作用于AC、BC杆中点，不计杆重，求AB杆内力。90C再研究BC杆，受力如图(b)222ABBFaFaF a1214ABFFF 整体“静定”，先研究整体，后拆开分析局部。不需求的约束力不求。题型特点:BFABFCyFCxFCB2F(b)2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题0CM由 ，得求出FB后，研究铰B，能求出 FAB吗?铰B受力如图，直接求不出。求出FCx、FCy后即可求出!若AB上作用一力，AB杆内力有何变化?能否求出?ABFBFBQFNFM2-4-2 物

21、系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题此时，AB杆内力有3个分量，CBA2F1FaaaaF 如图(a)所示结构中，C，E处为光滑接触，销钉A，B穿透其连接的各构件，已知尺寸a，b，铅垂力F可以随x的变化而平移。求AB杆所受的力。2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题图(a)FABabxCDE先研究整体，其受力如图(b)所示。由 0 xF，得0AxF由，得0EMAybxFFbEyFAxFAyF图(c)FCBx再研究BC杆，其受力如图(c)所示。由，得0BMCF bFx故CFxFbBxFByFCF2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问

22、题物体系统平衡问题图(b)FABxCDE最后研究AC杆，其受力如图(d)所示。其中，ABF为AB杆对销钉A的作用力(AB是二力杆)。图(d)ADCDxFDyFCFAxFAyFABF由，得0DM()22ABAyCbbFFF故 ABbxFxFFFbb可见，AB杆受力与x无关。2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题 本题所涉及结构属“整体”静定型，先求出铰A约束力。注意AB为二力杆，它所受销钉A对它的约束力与其A端对销钉的作用力等值反向；A处销钉附在AC杆上，使分析过程简化。2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题 3.图a所示铰接横梁。

23、已知荷载q，力偶矩M和尺寸a，试求杆的固定端A及可动铰C端约束力。2-4-2 物系平衡问题解法 局部“静定”型 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题qCBAaaaaM图(a)22CaFaqaM42CqaMFa 先研究杆BC，其受力如图b所示。故0BM，有由(a)再研究整体，其受力如图c所示。2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题BxFByFqaMCB2aCF图(b)AxFAyFAM2qaCF图(c)MCBAaaaa0AxF0 xF 由，得0yF，得由20AyCFFqa(b)4220ACMFaqa aM27423AyAqaMFaMqaM0AM由，得式(a)、(

24、b)、(c)联立解之，得(c)2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题AxFAyFAM2qaCF图(c)MCBAaaaa2-4-2 物系平衡问题解法 分析整体“超静定”系统时，可先分析局部“静定”部分，求出相应外力。分布力q的简化，只能在可视为刚体的研究对象上进行，如图(b),(c)所示。2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题 若在铰B处再加一力F，如图所示，试问哪些外力会变化?CBAqaaaaMF 4.图(a)所示结构，不计自重，试求铰A、B、C的约束力。已知a，F1=F2=F。整体和局部“超静定”型 分析:整体超静定，局部亦超静定，但可求出某些分力。CBAa

25、Oaaa2a3aED图(a)1F2F2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题再研究整体，受力如图(c)2AFF CyF=Fcos450ACxFF23CyFaFaFa由 得:0 xF 由 得:0EMCBAOED1F2F图(c)CxFCyFBFAFFFCx先研究COD，受力如图(b)由 得:0DMCxFCyFDxFDyF图(b)CODF2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题2BFF 整体与局部均为“超静定”，设法求出某些分力(找突破口)。222ABFFFF由 得:0yF 题型特点:CBAOED1F2F图(c)CxFCyFBFAF2-4-

26、2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题 是否有其它方法求解?分析构件BED受力，确定 方位，DFBFAFDF1FEBDDFCODFCFBFDFCFDFCF再由COD平衡，求出 和 。2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题CBAaOaaa2a3aED图(a)1F2F 若在铰D处加一力F，如何求解?用第一、二种解法均可得之。2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题CBAaOaaa2a3aED1F2FF2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题FaaE1F2FCODBAaaa图(a)平面

27、多层结构 12FFFB处约束力。不计自重，已知图a所示为三层铰结构，及尺寸a，试求铰支座A，230AyFaFaFaAyFF 0AyByFFF2ByFF0AxBxFFF先研究整体，其受力如图a所示。故0yF 又由，得故0 xF 由，得0BM，得由(a)2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题FaaE1F2FCODBAaaa图(a)AxFAyFBxFByF22DyFaFaF a32DyFF 其次，研究上部两层结构，其受力如图b所示。故0CM，得由BxByDyF aF aF a31222BxFFFF 最后研究构件OBD，其受力如图c所示。故 (b)0OM，得由2-4-2

28、 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题FE1F2FCDCxFCyFDxFDyF图(b)ODBOxFOyFDxFDyFBxF图(c)ByF2AxFF 将式(b)代入式(a)解得 若考虑本结构自重，如何求解?若有n层结构，如图所示，如何求解?若A，B铰支座不在同一水平高度上，又如何求解?2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题aab1F2FEaFaCODBAb2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题空间结构 100kNG 试求支承杆1，2，3的内力。50 2 kN mM 2ma，作用在斜面CDEF内，边长图a所示三棱

29、柱重量力偶矩图(a)1GCBAaaaFDGHEM45o45o234562cos45cos450MFa225 2 kNF 12cos4502aFaFaG175 kNF 研究三棱柱，受力如图b所示，设各支承杆均受拉力作用。将M值代入得0yM 由得2F将值代入得0zM 得由2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题1F2F3F4F5F6FGzyxGCFDEM图(b)30F 0 xF 再由得巧选投影轴与力矩轴，可使求解大为简化。2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题1F2F3F4F5F6FGzyxGCFDEM图(b)2-5-1桁架的特点与分类

30、2-5-2 桁架的求解方法(一类特殊物系)2-5-1桁架的特点与分类1.工程实例2-5 平面静定桁架平面静定桁架房屋建筑房屋建筑通通 讯讯桥桥 梁梁国国 防防机机 械械2-5-1桁架的特点与分类2-5 平面静定桁架平面静定桁架木桁架木桁架钢桁架钢桁架钢筋混凝钢筋混凝土桁架土桁架按材料可分为:2-5-1桁架的特点与分类2-5 平面静定桁架平面静定桁架空间桁架 组成桁架的所有杆件轴线都在同一平面内 组成桁架的杆件轴线不在同一平面内平面桁架按空间形式可分为:2-5-1桁架的特点与分类2-5 平面静定桁架平面静定桁架由二力杆铰接，受结点荷载，汇交力系。略去了结点刚性、荷载偏心产生的次应力。工程中，某些

31、焊接结构，鉚接结构，可简化为桁架，结果偏于安全。2.特点理想模型:2-5-1桁架的特点与分类2-5 平面静定桁架平面静定桁架1)简单由三角形规则组成3.类型:(按组成方式)2-5-1桁架的特点与分类2-5 平面静定桁架平面静定桁架2)联合由简单桁架铰接2-5-1桁架的特点与分类2-5 平面静定桁架平面静定桁架3)复杂不同于前两类4)轴力分量与杆长投影的关系 NyxxyFFF=lllxFyFNFlylxl2-5-1桁架的特点与分类2-5 平面静定桁架平面静定桁架2-5-2 桁架的求解方法根据所选研究对象不同，分为结点法，截面法与联合法.依次选铰结点为研究对象求各杆内力。与几何组成次序相反。静定:

32、2j=Nr Nr为连杆数(含支座)1.结点法1)可解条件:2)求解顺序:2-5 平面静定桁架平面静定桁架 求图示桁架各杆内力。BACEDFGH10 kN2m 420 kN10 kN20 kN20 kN2m0 40 kNAxAyFFA、B处约束力如图，由整体平衡得:研究左半部。对称:AxFAyFByF2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架平面静定桁架研究结点C:0 0yDCF,F有BACEDFGH10 kN2m 420 kN10 kN20 kN20 kN2mAxFAyFByF依次研究结点A、D、F，受力如图 分别由 00 xyF,FA10 kN40 kNACFADFF20 kNFHFFD

33、FFEFD20 kNDAFDEFDFF2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架平面静定桁架求出各杆内力如图，负号表示杆受压 60 kN67.1 kN22.4 kN20 kN0 kNBACEDFGH10 kN2m 420 kN10kN20 kN20 kN2m60 kN44.7 kN2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架平面静定桁架2)线性方程组上机求解。3)零杆内力为零。三种常见情形 120FF30F 20F 1)待求力设正。12312F122-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架平面静定桁架指出桁架中零杆。9875641231211101413FM1234562-5-2 桁

34、架的求解方法2-5 平面静定桁架平面静定桁架CBAaFaaaa12将桁架截开，研究其中一部分，求被截杆内力。求图示桁架1，2杆内力。已知a，F。整体受力如图得由,MA0FFB1.52.截面法AxFAyFBF2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架平面静定桁架CBF12BF将FB代入得 12FF 22FF巧作截面，使多个未知力共线，方程中不出现。0 xF,由得FFF12作1-1截面，研究右半部，受力如图，0CM,由得133BFaF aFa4F112F3F1F5F2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架平面静定桁架1A23BF用截面法求指定杆内力。求图a中FAB。先整体，求约束力2AB

35、FFF作图示截面，研究内部 AB F再研究结点B:3 F由，得0OMO2FBF3F亦可作图法，先求出 ，再由结点A求 。2FABF图aAF2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架平面静定桁架FABaF作图示截面，研究内部分，受力如图求图b中aF0AM,由得a FaF图b2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架平面静定桁架EDCBAaFF再作双截面如图，求铰B处约束力。对上部分:对BCE:后由结点B平衡(上部分),M0A由,M0C由,M0D由EF10BxByfF,F20BxByfF,FBxByF,F先整体，aF图c联合桁架由三简单桁架铰接，求 。aFEF图c2-5-2 桁架的求解方法

36、2-5 平面静定桁架平面静定桁架BFFFBO21A3FFB 求1，2，3杆内力?先整体 去掉二力平衡杆，由平衡求之 再作图示截面 0AM,由0yF,由0OM,由0F,x由BF2FF 3F1FBF1F3F2F1F3F2F2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架平面静定桁架作11截面，研究右部，结点法，截面法并用。aF 已知如图，求 。3.联合法受力如图:aDCBA4448888FF4CF111F2FaF204 2CaFF25CaFF0DM由，有即(1)采用联合法2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架平面静定桁架20401220BCFFF0AM整体受力如图，由，有5108BCFFF(

37、2)aDCBA4448888FF4BFCFAxFAyF节点B受力对称，由 0yF ，有2202BaFF2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架平面静定桁架即 2 3BaFF(1)、(3)代入(2)式25 21085aaFFF4 2 3aFF 故(压)aDCBA4448888FF4BFCFAxFAyF2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架平面静定桁架能!涉及24个未知力，24个方程。如何求Fb?0ybFF求出 后，aCF,F对11截面右半部，能否不用截面法?aDCBA4448888FF411b2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架平面静定桁架干摩擦(包括滑动摩擦与滚动摩阻)

38、两种形式。摩擦普遍存在:包括干、液体、内摩擦。摩擦机理复杂。2-6-1 滑动摩擦力 2-6-2 摩擦角与自锁2-6-3 摩擦平衡问题2-6-4 典型摩擦平衡问题2.静摩擦力 方位:指向:2-6-1 滑动摩擦力 1.实验曲线大小:Smax0FF接触面切向 由平衡确定(事先任意假定)dF045maxF临界静摩擦动摩擦摩擦力0外力NFSFGAPF2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡3.最大静摩擦力 与运动趋势相反。1781年，由法国库仑总结，为库仑摩擦定律。maxNSFF f静摩擦因数。由材质及表面条件定。4.滑动摩擦力 dNFF f与运动方向相反(接触处)sf方向:方向:SSff,ff 一

39、般f动摩擦因数2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡2-6-1 滑动摩擦力 d.静止时主动力合力与合约束力二力平衡。c.摩擦锥，1.摩擦角(锥)a.合约束力 SRNSN tanF=+FFFFb.maxNSmSNNtanFF ffFFm合约束力与法线的最大夹角。如图示mgOPFmAR maxFNFmSmaxFmFRFNFASF2-6-2 摩擦角与自锁(摩擦力的几何描述)2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡2.自锁主动力合力作用在摩擦角内，物体 不滑动。mmtantan,SSNFfFm90m90mS1tanctgfBAPFPF0902-6-2 摩擦角与自锁Sf已知 ，求 为何值时自锁

40、?2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡m2m2 鄂式破碎机，,咬入角 多大时，矿石不上滑?m已知2RFCM2-6-2 摩擦角与自锁自锁2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡GPFC1.滚阻力偶 1)事实:能平衡，如汽车、压路辗子受力不动时。2)圆轮刚性约束:P0F 当时，圆轮不平衡。0CM，NFSF2-6-3 滚动摩阻 2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡GPFOC3)柔性约束考虑接触处变形 4)滚阻力偶 大小:方向:fNPM=F a=F rffmax0MM为一个力分布力简化平移点向CGPFOr图(a)NFRFSFa图(b)图(c)GPFOCNFSFfM与转动方向相反 2

41、.6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡2-6-3 滚动摩阻 2.滚阻系数 新近研究:与FN和r均有关。临界平衡或匀速滚动时，是FN的最大maxfmaxN aMF滚阻系数 ，量纲为长度(mm)，前移距离。库仑认为 与FN和r无关，仅与材料硬度有关。2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡2-6-3 滚动摩阻 为什么轮胎气压不足时，行驶阻力增大?试比较4与6棱柱翻滚的临界约束力偶矩大小。由上述分析可知。0AM,11f max22FhGrM已知G，r，h。图(a)图(b)22f max12FhGrM由rhr1FhAA(a)(b)AGG2FNF1f maxM2f maxMNFSF故 ,六棱柱易

42、翻滚。12f maxf maxMMSFNFNF2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡2-6-3 滚动摩阻 平衡判断，临界平衡，平衡范围，考虑滚阻。四种类型:核心:关键:临界平衡。临界状态判断。平衡判断问题 图(a)所示折梯立于平地、已知fSA=0.2,fSB=0.6，不计梯重，试问人能否爬至AC中点D处?6060CDBAG图(a)2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡设人爬至D点时，系统平衡，受力如图b所示，oSm330 tan0 6tan3BBBB.fmBB故B处自锁mAA故A处自锁所以系统能平衡。Sm3tan0 2tan93 3AAAa.fa而图(b

43、)6060CDBAGBFAFOBA2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡人沿AB最多爬多高?作 交BC于 ，过 作上线，即得 如图。mAOOmaxh6060CDBAGBFAFOBAmAAFO m axh2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡 人爬至顶铰C的条件?故 m30,Am3tan3A即 S33Af 不增加 ，有何办法实现爬顶?SAf系DE绳段:若 S0Af亦可平衡 此时AC为二力杆ED6060CBAG为超静定6060CBAGAFBF2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡GBA随爬高，增大

44、 Bmax90B能爬至顶点A?如图所示,若 mm0,0,AB不计梯重。为多少时人求故m90B即m90B时，可爬顶。B2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡 图(a)所示圆鼓和楔块，已知G，r，不计楔重及其与水平面间的摩擦，试求推动圆鼓的最小水平力F。f临界平衡问题由 ，得0 xF NAFF 先研究整体，其受力如图a所示。OBAGrFyxSAFNAFNF图(a)2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡再研究圆鼓，其受力如图b所示。若 ，SNBBFFf则由 ，得0 xF NNSsincos0ABBFFFNScos(1sin)0BBF

45、rF rGr由 ，得0AM解之，得sincoscossinAfFGffNOBAGryxK图(b)SAFNAFSBFNBFB处先滑动。2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡则由 ，得0BMNScos(1sin)sin0AAFrF rGr故NsincossinAFGff 显然NN,AAFF 故minNAFF 若 ，SNAAFFfA点处先滑动。OBAGryxK图(b)SAFNAFSBFNBF能否事先判定A处先滑动?2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡 已知：f、r、FT1 FT2 求:使皮带不致滑动的 拉力比FT1:FT2 =?T

46、1FT2Fr2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡d临界状态皮带受力如图。考虑皮带微元的平衡物理条件NddFf FTTddFfFT1T2T0TddFFFfFT1T2fFF eT1T2ln,FfFT1T2 :fFFe故由由0 xF TddFF0yF NTddFFT1FT2FyxTTdFFTFdNFdF故积分即2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡平衡范围问题 图(a)所示滑块连杆铰结系统中，A，B重均为100 N，且不计大小，试求平衡时铅垂向下力F的大小。0.5f F图(a)CBA030030030100 N100 N2-6-4

47、 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡 先设A块不动，B处于下滑临界状态，B块受力如图(b)所示。SNBBFFf由 ，得0yF 由 ，得0 xF N100cos30cos600BBCFF(a)S100sin30sin600BBCFF(b)解之得6 NBCF式(a),(b)联立，图(b)B100NyxNBFSBFBCF2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡研究铰C，其受力如图(c)所示。由力三角形得:1tan303.64 NBCFF再分析两种可能的上临界状态:则图(b)中 反向，如图(d)所示。SBF A不动，B上滑，可类似求得F2=87

48、.4N。030BCF1FACF图(c)C1FACFBCF图(d)B100 NyxNBFSBFBCF2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡图(e)A100N030解之得受力如图(e)所示,且 。SNAAFFf由 ，得0 xF Ncos300AACFfF由 ，得0yF N100cos600AACFF200(2 31)N11ACF故 ，此即为所求。13FFF3cos3040 6 NACFF.。B不动，A左滑，NAFSAFACF所以2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡考虑滚阻问题 如图(a)所示，已知轮半径 ，轮重 ，杆长为l，不计

49、杆重。试求平衡时力F的最大值及此时两轮所受摩擦力与滚阻力偶。1cmr 10NG 0.02,0.1cmfF图(a)CrBAGGrDE2ll2l2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡研究整体平衡，受力如图a所示。分别研究两轮平衡知:由 得0 xF 故ffABMMSSDEFFfSfSADBEMFr,MFrF图(a)CrBAGGrDEfAMfBMNEFSEFSDFNDF可见平衡破坏时，A轮必先滑动或先滚动。据整体平衡，由 及 ，得0EM0DM1310N,10N44DEFFFFNN2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡其受力如图b所示，

50、易求出23,444ACBxByFFFFFF(a)图(b)FCBByFBxFACF研究BC杆:力 此时之值 。再研究A轮，其受力如图c所示:F10.404 NF(1)设它先即将滚动，fNADMFAGD图(c)fAMSDFNDFACF由 ，求得后 代入(a)式，得0DMACF2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡求得此时力 之值 。20.82NF F(2)设A轮先即将滑动，SNDDFFf故max10 404 N,.FFSS14DEBxFFFF由，F图(a)CrBAGGrDEfAMfBMNEFSEFSDFNDFA轮即将滚动。2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩