2019-2020学年上海中学高一（上）期末数学试卷（Word版含答案解析）.docx

1、2019-2020学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1（3分）函数f（x）+ln（x1）的定义域为 2（3分）设函数为奇函数，则实数a的值为 3（3分）已知ylogax+2（a0且a1）的图象过定点P，点P在指数函数yf（x）的图象上，则f（x） 4（3分）方程92x+1（）x的解为 5（3分）对任意正实数x，y，f（xy）f（x）+f（y），f（9）4，则 6（3分）已知幂函数f（x）（m25m+7）xm是R上的增函数，则m的值为 7（3分）已知函数f（x）的反函数是f1（x），则f1（） 8（3分）函数ylog|x26x+5|的单调递增区间为 9（3分）若函数（a0且a1）满足：

2、对任意x1，x2，当时，f（x1）f（x2）0，则a的取值范围为 10（3分）已知x0，定义f（x）表示不小于x的最小整数，若f（3x+f（x）f（6.5），则正数x的取值范围为 11（3分）已知函数f（x）loga（mx+2）loga（2m+1+）（a0且a1）只有一个零点，则实数m的取值范围为 12（3分）已知函数f（x），（nm）的值域是1，1，有下列结论：（1）n0时，m（0，2；（2）n时，；（3）时，m（n，2，其中正确的结论的序号为 二、选择题13（3分）下列函数中，是奇函数且在区间（1，+）上是增函数的是（）Af（x）xBf（x）3|x|Cf（x）x3Df（x）log214（3

3、分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数m满足f（|m1|）f（1），则m的取值范围是（）A（，0）B（，0）（2，+）C（0，2）D（2，+）15（3分）如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是（）ABCD（3，+）16（3分）定义在（1，1）上的函数f（x）满足f（x），当x（1，0时，f（x）1，若函数g（x）|f（x）|mxm在（1，1）内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）A（）B）CD三.解谷题17已知函数f（x）2x1的反函数是yf

4、1（x），g（x）log4（3x+1）（1）画出f（x）2x1的图象；（2）解方程f1（x）g（x）18已知定义在R上的奇函数f（x）kaxax（a0且a1），kR）（1）求k的值，并用定义证明当a1时，函数f（x）是R上的增函数；（2）已知，求函数g（x）a2x+a2x在区间0，1上的取值范围19松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2t20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10t20时电车为满载状态，载客量为400人，当2t10时，载客量会减少，减少的人数与（10t）的平方成正比，且发车

5、时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20对于定义域为D的函数yf（x），若存在区间a，bD，使得f（x）同时满足，f（x）在a，b上是单调函数，当f（x）的定义域为a，b时，f（x）的值域也为a，b，则称区间a，b为该函数的一个“和谐区间”（1）求出函数f（x）x3的所有“和谐区间”a，b；（2）函数是否存在“和谐区间”a，b？若存在，求出实数a，b的值；若不存在，请说明理由；（3）已知定义在（2，k）上的函数有

6、“和谐区间”，求正整数k取最小值时实数m的取值范围21定义在R上的函数g（x）和二次函数h（x）满足：g（x）+2g（x）ex+9，h（2）h（0）1，h（3）2（1）求g（x）和h（x）的解析式；（2）若对于x1，x21，1，均有h（x1）+ax1+5g（x2）+3e成立，求a的取值范围；（3）设f（x），在（2）的条件下，讨论方程ff（x）a+5的解的个数2019-2020学年上海中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1（3分）函数f（x）+ln（x1）的定义域为（1，2【分析】由题意可得，解得1x2，即可得定义域【解答】解：由题意可得，解得1x2，故函数的定义域为：（1，

7、2，故答案为：（1，22（3分）设函数为奇函数，则实数a的值为1【分析】先得出，根据f（x）为奇函数即可得出，从而得出（a1）x（1a）x，从而可得出a的值【解答】解：是奇函数，f（x）f（x），即，x2+（a1）xax2+（1a）xa，（a1）x（1a）x，a1故答案为：13（3分）已知ylogax+2（a0且a1）的图象过定点P，点P在指数函数yf（x）的图象上，则f（x）2x【分析】求出定点P（1，2），代入指数函数中，求出a，得到f（x）【解答】解：由a的任意性，x1时，y2，故ylogax+2（a0且a1）的图象过定点P（1，2），把P（1，2）代入指数函数f（x）ax，a0且a1，

8、得a2，所以f（x）2x，故答案为：2x4（3分）方程92x+1（）x的解为【分析】本题根据指数式的性质将92x+1转化为32（2x+1），解底数是3的指数方程即可得到结果【解答】解：由题意，92x+1，92x+13x1，32（2x+1）3x1，32（2x+1）+x1，即35x+215x+20，x故答案为：5（3分）对任意正实数x，y，f（xy）f（x）+f（y），f（9）4，则1【分析】采用赋值法求解即可【解答】解：令xy3，则f（9）2f（3）4，f（3）2，令，则，故答案为：16（3分）已知幂函数f（x）（m25m+7）xm是R上的增函数，则m的值为3【分析】根据幂函数的定义得出m25m

9、+71，求出m的值，再根据f（x）是R上的增函数确定满足题意的m值【解答】解：函数f（x）（m25m+7）xm是幂函数，则m25m+71，即m25m+60，解得m2或m3；当m2时，f（x）x2不是R上的增函数，不满足题意；当m3时，f（x）x3是R上的增函数，满足题意则m的值为3故答案为：37（3分）已知函数f（x）的反函数是f1（x），则f1（）1【分析】由题意，x0，2x，求出x，即可得出结论【解答】解：由题意，x0，2x，x1，f1（）1故答案为18（3分）函数ylog|x26x+5|的单调递增区间为（，1），3，5）【分析】画出内层函数的图象，得到其大于0的减区间，则原复合函数的增区

10、间可求【解答】解：函数t|x26x+5|的图象如图，内层函数大于0的减区间为（，1），3，5）；而外层函数为定义域内的减函数，函数ylog|x26x+5|的单调递增区间为（，1），3，5）故答案为：（，1），3，5）9（3分）若函数（a0且a1）满足：对任意x1，x2，当时，f（x1）f（x2）0，则a的取值范围为（1，2）【分析】f（x1）f（x2）0转化为f（x1）f（x2），再利用复合函数的单调性：知道 a1且真数恒大于0，求得a的取值范围即可【解答】解：yx2ax+2（x）2+2在对称轴左边递减，当x1x2时，y1y2对任意的x1、x2，当x1x2时，f（x1）f（x2）0f（x1）f

11、（x2），故应有a1 又因为yx2ax在真数位置上所以须有202a2综上得1a2故答案为：（1，2）10（3分）已知x0，定义f（x）表示不小于x的最小整数，若f（3x+f（x）f（6.5），则正数x的取值范围为【分析】由题意，可得到不等式63x+f（x）7，分类讨论即可得到结果【解答】解：由题意，f（6.5）7，故f（3x+f（x）7，63x+f（x）7，当f（x）1时，0x1，此时63x+17，解得，不符合题意；当f（x）2时，1x2，此时63x+27，解得，满足题意；当f（x）3时，2x3，此时63x+37，解得，不符合题意；易知，当时均不符合题意；综上，实数x的取值范围为故答案为：11

12、（3分）已知函数f（x）loga（mx+2）loga（2m+1+）（a0且a1）只有一个零点，则实数m的取值范围为m1或m0或m【分析】由题意可得f（x）0，即mx+22m+1+0，有且只有一个实根，讨论m为0，或m不为0，再由mx2+（12m）x20，（12m）2+8m0，运用判别式为0和分离参数，即可得到所求范围【解答】解：函数f（x）loga（mx+2）loga（2m+1+）（a0且a1）只有一个零点，可得f（x）0，即mx+22m+1+0，有且只有一个实根，m0，x2显然成立；由mx2+（12m）x20，（12m）2+8m0，解得m，此时x2成立；由m（x2）1，即（x2）0，由x2，

13、可得mx+10，2m+20，即m1综上可得m的范围是m1或m0或m故答案为：m1或m0或m12（3分）已知函数f（x），（nm）的值域是1，1，有下列结论：（1）n0时，m（0，2；（2）n时，；（3）时，m（n，2，其中正确的结论的序号为（2）（3）【分析】根据函数函数的单调性及分段函数的定义，画出函数图象，根据图象即可求得答案【解答】解：当x1时，x10，f（x）22x+1323x3，单调递减，当1x1时，f（x）22+x1321+x3，单调递增，f（x）22|x1|3在（1，1）单调递增，在（1，+）单调递减，当x1时，取最大值为1，绘出22|x1|3的图象，如图下方曲线：（1）当n0时

14、，f（x），由函数图象可知：要使f（x）的值域是1，1，则m（1，2；故（1）错误；（2）当n时，f（x），f（x）在1，单调递增，f（x）的最大值为1，最小值为1，m（，2；故（2）正确；（3）当n0，）时，m1，2；故（3）正确；故答案为：（2）（3）二、选择题13（3分）下列函数中，是奇函数且在区间（1，+）上是增函数的是（）Af（x）xBf（x）3|x|Cf（x）x3Df（x）log2【分析】结合函数的奇偶性及单调性的定义检验各选项即可判断【解答】解：结合函数的性质可知y在（1，+）上单调递减，不符合题意；y3|x|为偶函数，不符合题意；根据幂函数的性质可知yx3（1，+）上单调递减，

15、不符合题意；f（x）log2f（x），即f（x）为奇函数，因为t1在（1，+）单调递增，且ylog2t在（0，+）单调递增，根据复合函数的单调性可知f（x）log2log2（1）在（1，+）单调递增，符合题意故选：D14（3分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数m满足f（|m1|）f（1），则m的取值范围是（）A（，0）B（，0）（2，+）C（0，2）D（2，+）【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论【解答】解：偶函数，在（，0）上是增函数，函数f（x）在（0，+）上为减函数，f（|m1|）f（1），|m1|1，1m11，0m2故不等式的解集为

16、m|0m2，故选：C15（3分）如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是（）ABCD（3，+）【分析】结合函数f（x）lg为“可拆分函数”，建立方程关系，结合对数函数，分式函数的性质，利用分子常数法进行转化求解即可【解答】解：因为函数f（x）lg为“可分拆函数”，所以存在实数x0，使得lglg+lg，即，且a0，所以a，令t2x0，则t0，所以，a+，由t0得a3，即a的取值范围是（，3）故选：B16（3分）定义在（1，1）上的函数f（x）满足f（x），当x（1，0时，f（x）1

17、，若函数g（x）|f（x）|mxm在（1，1）内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）A（）B）CD【分析】由题意求出当x0，1）时的f（x），把函数g（x）|f（x）|mxm在（1，1内恰有3个零点，转化为函数y|f（x）|与ymx+m的图象有三个不同交点数形结合得答案【解答】解：当x（1，0时，f（x）1，当x（0，1）时，x1（1，0），f（x）x，若函数g（x）|f（x）|mxm在（1，1内恰有3个零点，即方程|f（x）|mxm0在（1，1内恰有3个根，也就是函数y|f（x）|与ymx+m的图象有三个不同交点作出函数图象如图：由图可知，直线ymx+m恒过点（1，0），过点（1，0）与点

18、（0，）的直线的斜率为；过点（1，0）与（1，）的直线斜率为，可得|f（x）|与ymx+m的图象有三个不同交点的m的取值范围为，）故选：C三.解谷题17已知函数f（x）2x1的反函数是yf1（x），g（x）log4（3x+1）（1）画出f（x）2x1的图象；（2）解方程f1（x）g（x）【分析】（1）如图所示；（2）由y2x1，解得：xlog2（y+1），把x与y互换可得f（x）的反函数yf1（x），化简方程f1（x）g（x），即可解出【解答】解：（1）如图所示，（2）由y2x1，解得：xlog2（y+1），把x与y互换可得：ylog2（x+1），f（x）的反函数是yf1（x）log2（x+1

19、）（x1）方程f1（x）g（x）即log2（x+1）log4（3x+1）（x+1）23x+10，解得：x0或118已知定义在R上的奇函数f（x）kaxax（a0且a1），kR）（1）求k的值，并用定义证明当a1时，函数f（x）是R上的增函数；（2）已知，求函数g（x）a2x+a2x在区间0，1上的取值范围【分析】（1）由f（0）0即可求得k的值，运用单调性的定义直接证明即可；（2）由f（1）可求得a值，则g（x）22x+22x4x+4x4x+，令t4x，（1t4）则yt+，求出t的范围，根据二次函数的性质即可求得g（x）的最小值、最大值，从而得其值域【解答】解：（1）因为定义在R上的奇函数f（

20、x）kaxax（a0且a1），kR）所以f（0）k10，解得k1，f（x）axax，当a1时，任取x1，x2（，+），且x1x2，f（x1）f（x2）（aa）（aa）（aa）+（aa），（aa）+（）（aa）+（aa）+（aa）（1+），a1，x1x2，aa，即aa0，a0，f（x1）f（x2），所以函数f（x） 在R上是增函数（2）由（1）知，k1，又因为f（1），aa1，解得a2或（舍），所以g（x）22x+22x4x+4x4x+，令t4x，（1t4）则yt+，所以t2，函数g（x）a2x+a2x在区间0，1上的取值范围2，19松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便

21、利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2t20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10t20时电车为满载状态，载客量为400人，当2t10时，载客量会减少，减少的人数与（10t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【分析】（1）由题意知，p（t）（k为常数），结合p（2）272求得k2，则p（t）的表达式可求，进一步求得p（6）；（2）写出分段函数Q，利

22、用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案【解答】解：（1）由题意知，p（t）（k为常数），p（2）400k（102）2272，k2p（t）p（6）4002（106）2368；（2）由，可得Q，当2t10时，Q180（12t+），当且仅当t5时等号成立；当10t20时，Q60+60+9030，当t10时等号成立当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元20对于定义域为D的函数yf（x），若存在区间a，bD，使得f（x）同时满足，f（x）在a，b上是单调函数，当f（x）的定义域为a，b时，f（x）的值域也为a，b，则称区间a，b为该函数的一个“和谐区间

23、”（1）求出函数f（x）x3的所有“和谐区间”a，b；（2）函数是否存在“和谐区间”a，b？若存在，求出实数a，b的值；若不存在，请说明理由；（3）已知定义在（2，k）上的函数有“和谐区间”，求正整数k取最小值时实数m的取值范围【分析】（1）由题意可得f（x）x3在a，b上递增，值域也为a，b，故有x3x，求出x的解即可；（2）运用反证法求解，验证函数是否满足两个条件；（3）由题意可得函数x有两个不等的实数根，利用基本不等式求出当x3时m取得最小值为5；再根据函数x+的单调性及值域范围求解即可【解答】解：（1）函数f（x）x3，f（x）在R内单调递增，再令f（x）x3x，x1，0，1，f（x）

24、x3的“和谐区间”为：1，0、0，1、1，1（2）假设函数存在和谐区间，；x2+3x40或x23x+40当x2+3x40，即x4或1；在4，1内f（x）不单调，故不成立；当x23x+40时，x无解，故不成立；综上所述：函数不存在和谐区间；（3）函数有“和谐区间”；f（x）在（2，k）内单调递增，且f（x）x在定义内有两个不等的实数根；在定义内有两个不等的实数根；即2mx+；x（2，k），即m；在（2，3）内单调递减，在（3，+）内单调递增，k3；函数与直线y2m在（2，k）有两个交点，正整数k最小值为4，此时g（4），2m，即m，此时m的取值范围为（，）21定义在R上的函数g（x）和二次函数h

25、（x）满足：g（x）+2g（x）ex+9，h（2）h（0）1，h（3）2（1）求g（x）和h（x）的解析式；（2）若对于x1，x21，1，均有h（x1）+ax1+5g（x2）+3e成立，求a的取值范围；（3）设f（x），在（2）的条件下，讨论方程ff（x）a+5的解的个数【分析】（1）运用构造方程组法可求g（x），运用待定系数法可求h（x）；（2）原问题等价于对任意x1，1都成立，进而求得实数a的取值范围；（3）作出函数f（x）的图象，结合图象讨论即可【解答】解：（1）g（x）+2g（x）ex+9，g（x）+2g（x）ex+2ex9，由以上两式联立可解得，g（x）ex3；h（2）h（0）1，二

26、次函数的对称轴为x1，故设二次函数h（x）a（x+1）2+k，则，解得，h（x）（x+1）2+2x22x+1；（2）由（1）知，g（x）ex3，其在1，1上为增函数，故g（x）maxg（1）e3，h（x1）+ax1+5e3+3e0对任意x1，1都成立，即对任意x1，1都成立，解得3a7，故实数的a的取值范围为3，7；（3），作函数f（x）的图象如下，令tf（x），a3，7，则f（t）a+52，12，当a3时，f（t）2，由图象可知，此时方程f（t）2有两个解，设为t11，t2ln5（1，2），则f（x）1有2个解，f（x）ln5有3个解，故共5个解；当3ae28时，f（t）a+5（2，e23），由图象可知，此时方程f（t）a+5有一个解，设为t3ln（a+8）（ln5，2），则f（x）t3ln（a+8）有3个解，故共3个解；当ae28时，f（t）a+5e23，由图象可知，此时方程f（t）a+5有一个解t42，则f（x）t42有2个解，故共2个解；当e28a7时，f（t）a+5（e23，12，由图象可知，此时方程f（t）a+5有一个解t5ln（a+8）（2，ln15，则f（x）t5有1个解，故共1个解18 / 18