线性代数解线性方程组的消元法课件.ppt

1、线性代数解线性方程组的消元法2本章讨论关于本章讨论关于线性方程组线性方程组的两个问题：的两个问题：一、探讨一、探讨n个未知数个未知数m个方程的线性方程组的解法个方程的线性方程组的解法（即下面介绍的（即下面介绍的高斯消元法高斯消元法）。）。二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有解，何时无解。若有解，则有多少组解；若有无解，何时无解。若有解，则有多少组解；若有无穷多解，如何表示。穷多解，如何表示。运用运用n维维向量向量的理论可全面地解决第二个方面的理论可全面地解决第二个方面的问题。的问题。3第一节第一节 解线性方程组的消元法解线性方程组的消元法例例1)

2、1(用高斯消元法解线性方程组用高斯消元法解线性方程组 ,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342解解)1(2 312 ,97963,232,22,424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342432 2 133 14 ,424321xxxx1342 ,97963,232,22,424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342,0222432 xxx,6355432 xxx,3433432 xxx5 ,3433 ,6355 ,0222 ,424324324324321xxx

3、xxxxxxxxxx1342221 5 323 42 ,424321xxxx1342,0432 xxx,624 x,34 x6 ,0 ,424324321xxxxxxx1342342 43用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：,3 ,62 ,0 ,42444324321xxxxxxxxx1342,34 x,00 .3为任意取值为任意取值其中其中x34 x332 xx431 xx7小结：小结：1上述解方程组的方法称为高斯消元法。上述解方程组的方法称为高斯消元法。2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；

4、（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的 k 倍倍ij（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）ik ij（以替换）（以替换）ik i83上述三种变换都是可逆上述三种变换都是可逆的的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是变换是同解变换同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik)(A若若),(Bji)(A若若),(Bik)(B则则);(Aik)(B则则).(Ak ji9因为在上述变换过程中，仅

5、仅只对方程组的因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系系数数和和常数常数进行运算，未知量并未参与运算进行运算，未知量并未参与运算若记若记 97963422644121121112)(bAA称为方程组称为方程组(1)的的增广矩阵增广矩阵对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵的对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵的行行变变换换10用矩阵的初等行变换解方程组用矩阵的初等行变换解方程组(1)：97963422644121121112B 9796321132211124121121rr 23 r1132rr 97963211322111241211132rr 143rr 4 1 21 1 02220

6、635 50 34 33 0 22 r243rr 235rr 0004 1 21 10 1 11 62 0 0 31 0 0 12 3100062000011104121143rr 342rr 00000310000111041211,304244324321 xxxxxxxx对应的方程组为对应的方程组为.3为为任任意意取取值值，其其中中x由下到上逐个解得由下到上逐个解得 34 x332 xx431 xx13例例2解线性方程组解线性方程组.2875342622321321321 xxxxxxxxx解解 2817534216122),(bA 3 4 21 0 9 6 0 31 91 17 0 3

7、 4 21 0 32 0 31 8 10 3 4 21 31 8 10 62 13 0 0 解得唯一解解得唯一解.23 x,32 x,11 x14例例3解线性方程组解线性方程组解解 322122351311321),(bA .3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx 1 13 21 20000104501132110 45 0 1 0 45 0 最后一个为矛盾方程组最后一个为矛盾方程组,20 故方程组无解故方程组无解.15线性方程组线性方程组 .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa,21222

8、2111211 mnmmnnaaaaaaaaaA系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵,),(21222221111211 mmnmmnnbaaabaaabaaabAA16利利用用矩矩阵阵的的初初等等行行变变换换将将A化化为为阶阶梯梯形形,000000000000000001222221111211rrrnrrnrnrddccdcccdccccA其其中中0 iic (ri,1 ),方程组有解的充分必要条件是方程组有解的充分必要条件是.01 rd17实实际际上上r即即为为系系数数矩矩阵阵A的的秩秩,)(Arr ,若若01 rd,则则 rArAr )()(,若若01 rd,则则 1)()(ArAr,线性

9、方程组解的判定定理线性方程组解的判定定理线线性性方方程程组组bAx 有有解解的的充充分分必必要要条条件件是是.)()(ArAr 在有解的情况下，在有解的情况下，当当nAr)(时时有有唯唯一一解解；当当nAr)(时时有有无无穷穷多多解解；这时自由未知量个数为这时自由未知量个数为)(Arn.18例例4t 为何值时线性方程组为何值时线性方程组 解解 324622432132131txxxtxxxtxx有解有解?并求解并求解.324162214101tttA,100023210101 ttt 3421023210101ttt当当1 t时时，2)()(ArAr,方程组有无穷多解。方程组有无穷多解。19称

10、下面形式的线性方程组为称下面形式的线性方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组 .0,0,0221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa显然零向量必为它的解显然零向量必为它的解,称为称为零解零解.若若nAr)(,则则只只有有零零解解；若若nAr)(,则则有有非非零零解解.若若nm ,则则必必有有非非零零解解,因因为为此此时时必必有有nmAr )(.20显然零向量必为它的解,称为零解.用“回代”的方法求出解：当a、b为何值时，线性方程组称下面形式的线性方程组为齐次线性方程组下面的线性方程组当a、b为何值时有解？在有解这是一个齐次线性方程组，且方程个数小于

11、未知二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有解，何时无解。用“回代”的方法求出解：用矩阵的初等行变换解方程组(1)：的情况下，求出全部解。这是一个齐次线性方程组，且方程个数小于未知当a、b为何值时，线性方程组2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换无解?有唯一解?有无穷多解?有无穷多解时求出全部解。下面的线性方程组当a、b为何值时有解？在有解3上述三种变换都是可逆的当a、b为何值时，线性方程组（2）以不等于的数乘某个方程；2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面的问题。1上述解方程组的方法称为高斯消元法。线性方程组解的判定定理2始终把方

12、程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（2）以不等于的数乘某个方程；用高斯消元法解线性方程组运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面的问题。线性方程组解的判定定理（2）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的 k 倍由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换例例5解线性方程组解线性方程组 解解.033450622032305432154325432154321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx这是一个齐次线性方程组，且方程个数小于未知这是一个齐次线性方程组，且方程个数小于未知个数，故必有非零解。个数，故必有非零解。只需对系数矩阵

13、施以初等行变换。只需对系数矩阵施以初等行变换。13345622103112311111A 143253rrrr 6221062210622101111121 62210622106221011111,00000000006221011111 2332rrrr24rr .321为为任任意意取取值值、，其其中中ccc求得全部解为求得全部解为 35cx 3212622cccx 24cx 13cx 32115cccx 22例例6下面的线性方程组当下面的线性方程组当a、b为何值时有解？在有解为何值时有解？在有解解解的情况下，求出全部解。的情况下，求出全部解。bxxxxaxxxxxxxxxxxx43214

14、32143214321574227212 baA511742272111111112 1426601439903133021111ba23 1426601439903133021111ba,800005000013111021111 ba当当8,5 ba时时，有有解解。此时一般解为此时一般解为 241321221311321cxcxccxcx.21任任意意、，其其中中cc24例例7当当a、b为何值时，线性方程组为何值时，线性方程组解解 4234321321321xbxxxbxxxxax无解无解?有唯一解有唯一解?有无穷多解有无穷多解?有无穷多解时求出全部解。有无穷多解时求出全部解。1211111bbaA ,)1(ab12010111bba 当当1 a且且0 b时时，方方程程组组有有唯唯一一解解；当当0 b时时，41013101411aA,10003101411 a无解无解;25当当1 a时时，41213114111bbA 0012010104111bb 201010104111b,2100020104111 b如如果果21 b，原原方方程程无无解解；如如果果21 b时时，原原方方程程组组有有无无穷穷多多解解，,22321 kxxkx其中其中k为任意常数。为任意常数。精品课件精品课件！精品课件精品课件！28练习：练习：P141 习题三习题三