线性代数第四章-线性方程组课件.ppt
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- 线性代数 第四 线性方程组 课件
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1、第四章第四章 线性方程组线性方程组第一节第一节 齐次线性方程组有非零齐次线性方程组有非零 解的条件及解的结构解的条件及解的结构 一、齐次线性方程组有非零解的条件一、齐次线性方程组有非零解的条件1111221211222211220,0,0nnnnmmmnna xa xa xa xa xaxaxaxax具有具有 个方程个方程 个未知数的齐次线性方程组个未知数的齐次线性方程组mn(1)写成矩阵形式写成矩阵形式 0AX(2)其中其中111212122212,nnmmmnaaaaaaaaaA12,nxxxX00,0 0称矩阵称矩阵 A 为线性方程组为线性方程组()的系数矩阵的系数矩阵按列分块写成按列分
2、块写成12,nA 其中其中T12,iiimia aa 1,2,.in将将 A 那么线性方程组()可以改写成向量形式那么线性方程组()可以改写成向量形式1122nnxxx 0 ()()一个含有一个含有 n 个未知数的线性方程组的解是个未知数的线性方程组的解是 n 维向维向故也称线性方程组的解为故也称线性方程组的解为解向量解向量.那么,那么,通常将方程组的解写成列向量通常将方程组的解写成列向量的的形式形式一个一个 n 维向量维向量 是齐次是齐次T12(,)nc cc 线性方程组线性方程组 的解,的解,0AX 当且仅当满足当且仅当满足量,量,12000nccc 0 AA或者或者1212,nnccc0
3、.12,n 是线性相关的是线性相关的要条件是方程组系数矩阵要条件是方程组系数矩阵 A 的列向量组的列向量组 0AX定理定理1齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解的充分有非零解的充分必要条件是必要条件是方程组系数矩阵方程组系数矩阵 A 的列向量组的列向量组推论推论齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解的充分必只有零解的充分必 0AX12,n 是线性无关的是线性无关的 次线性方程组次线性方程组 有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是 0AX它的系数矩阵它的系数矩阵 A 的秩的秩()RnA m 小于未知数个数小于未知数个数 n,推论推论1如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 中的方程个数中
4、的方程个数0AX那么方程组有非零解的充分那么方程组有非零解的充分推论推论2如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 中的方程个数中的方程个数 0AX必要条件是必要条件是|0A定理定理2(齐次线性方程组有非零解的判别定理)(齐次线性方程组有非零解的判别定理)齐齐那么方程组必有非零解那么方程组必有非零解 m 等于未知数个数等于未知数个数 n,定理定理3设设 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 的两个解,的两个解,12,0AX则则 是两个任意常数,是两个任意常数,12,kk1122kk 也是方程组也是方程组 的解的解 0AX若若 均为齐次线性方程组均为齐次线性方程组 的解,的解,12,s 0AX 是任意常
5、数,是任意常数,12,sk kk1122sskkk 二、齐次线性方程组的基础解系二、齐次线性方程组的基础解系则则也是方程组的解也是方程组的解 即齐次线性方程组解的线性组合即齐次线性方程组解的线性组合还是方程组的解还是方程组的解记记齐次线性方程组齐次线性方程组的解集合为的解集合为 S,0AXT12(,)|.nSc cc 0 A那么,上面的定理那么,上面的定理 3 就可以表述为:就可以表述为:对于任意的,对于任意的,是两个任意常数,是两个任意常数,12,S 12,kk1122.kkS 因此,因此,通常也把齐次线性方程组的通常也把齐次线性方程组的 0AX即即有有易证,易证,S 对于向量的加法和数量乘
6、法构成一个线性对于向量的加法和数量乘法构成一个线性空间空间解集合称为解集合称为解空间解空间定义定义1设设均是齐次线性方程组均是齐次线性方程组12,t 0AX提示提示:基础解系所含向量的个数是唯一确定的基础解系所含向量的个数是唯一确定的1)是线性无关的;是线性无关的;12,t 2)的任意一个解向量的任意一个解向量均可由均可由 0AX的解向量,的解向量,如果满足如果满足12,t 线性表出,线性表出,则称则称 为方程组为方程组 的一个的一个基础解系基础解系12,t 0AX如果如果 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 的基的基12,t 0AX 那么方程组那么方程组 的解集合即为的解集合即为0AX1122
7、12|,.tttSkkkk kk是任意常数 系分别确定的解集合系分别确定的解集合定理定理4设设 与与 是齐次线性是齐次线性12,t 12,t 方程组方程组 的两个基础解系,的两个基础解系,0AX112212|,tttTllll ll是任意常数 112212|,tttSkkkk kk是任意常数 与与是相等的,是相等的,即即 ST则由这两个基础解则由这两个基础解础解系,础解系,0AX判断判断 是否有非零解:是否有非零解:故此空间是故此空间是存在基础解系,存在基础解系,定理定理5设设 A 是一个矩阵,是一个矩阵,mn 有非零解,有非零解,0AX且基础解系含有且基础解系含有 个解向量个解向量nr提示提
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