第六章-二次型9课件.ppt

1、第六章第六章 二次型二次型u基本概念基本概念u二次型化为标准形的方法二次型化为标准形的方法u正定二次型的判定正定二次型的判定1 二次型及其矩阵表示 矩阵合同在平面解析几何中，为便于识别曲线的类型、研究曲线的几何性质，可以22axbxycyd22a xc yd 坐标变换（二次曲线）（二次曲线）（标准型）（标准型）2221211 1222(,)nnnnf x xxa xa xa x121213 131,1222nnnna x xa x xaxx1.二次型定义及其矩阵表示 12,nxxx定义1 含有n个变量 的称为二次型二次型.ijijaa复二次型：中有复数；实二次型：中全为实数二次齐次函数 111

2、12121222212,nnnnnnnxaaaaaaxAxaaax记则二次型可记作 1 122()nnnnnnx a xa xa x11 1122121 12222121 122,nnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xx xxa xa xa x221 12222()nnx a xa xa x111 11221()nnfx a xa xa x1111212122221212(,)nnnnnnnnxaaaaaaxx xxaaaxT x A x其中A为对称矩阵（）.jiijaa二次型 用矩阵记号写出来212323fx xx112323010(,)100003xfx x xxx因此二

3、次型二次型一一对应对称矩阵对称矩阵任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵；反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个二次型.我们把对称矩阵A叫做二次型二次型f 的矩阵的矩阵，也把 f叫做对称矩阵对称矩阵A的二次型的二次型.对称矩阵A的秩就叫做二次型二次型 f 的秩的秩.例例1 已知二次型21231(,)5f x x xx2223121 3235266xcxx xx xx x51315333Ac 解解 二次型 f 的矩阵为 由 知 ，即 2R A 0A 3.c 的秩为2，求参数 c.2.矩阵的合同对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换 111 11221221 122221 12

4、2,(1),nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc y2221122nnfd yd yd yxCy或使二次型只含平方项(二次型的标准形或法式),也就是将线性变换（1）代入二次型，能使定义2 （线性变换定义的扩充）的线性变换（1）的系数矩阵为 12,ny yy12,nx xx1)记从变量 到变量111212122212nnnnnnccccccCccc1)当C是满秩矩阵时，称（1）为满秩满秩(线性线性)变变换换（或非退化变换非退化变换）.2)当C是降秩矩阵时，称（1）为降秩（线性）降秩（线性）变换变换（或退化变换退化变换）.3)当C是正交矩阵时，称（1）为正交

5、变换正交变换.,A B定义3 设 为两个 阶方阵n定理1 若矩阵 与 合同，则 与 等价，ABAB合同性质：（1）反身性 （2）对称性 （3）传递性CTBC AC如果存在可逆矩阵 ，使ABAB则称矩阵 与 合同合同，或 合同合同于 .()().R AR B且例例2 2 设 和 为实对称矩阵，则由 与 相似可推出 与 合同，反之不然.ABABAB证证 由 与 相似可知，与 有相同的特征值ABABAB又由 和 都是实对称矩阵可知，1P2P存在正交矩阵 和AB使得 和 都与对角矩阵 相似，111122,P APP BP 即111222112BPPP P APP从而112CPPT1T11122,PPP

6、P记 ，则由 T1 T1 TTTT1122121()()()CPPPPPP有TBC AC于是 ，即 与 合同.AB1111212()()PPA PP11112112P PPPC反之，虽然都是实对称矩阵，且取1010,0201AB10102CTC ACBAB有 ，即 与 合同.P但由于对任意可逆矩阵 AB故 和 不相似，反例说明，在所给条件下合同不一定相似.1P BPEA二、化二次型为标准形 化二次型为标准形，就是对实对称矩阵A（1 1）正交变换法）正交变换法定理1 对于二次型 ，Tfx Ax2221122nnfyyyCTC AC寻找可逆矩阵 ，使 成对角矩阵.xPyf总有正交变换 ，将 化为标

7、准形12,n 是 的矩阵 的特征值f()ijAa22212312132322448fxxxx xx xx x例例1 1 求一个正交变换，化二次型 1f 为标准形,并指出方程 表示何种二次曲面 122224242A 122224242AE 2(7)(2)f解解 二次型 的矩阵为 它的特征多项式为 8227254245AE A1237,2.于是 的特征值为 17(7)0,AE x当 时，解方程组 2450990181811020110001112.32p112,2得基础解系单位化即得 1221222244000244000AE 当 时，解方程组(2)0AE x232得基础解系23221,0.01

8、2221,023332222224101455105TT 23,将 正交化，令再将 单位化，23,122353 5214353 525033xy223222111,453 505pp 令于是所求的正交变换为 2222332810 xx xx212311213(,)22f x x xxx xx x222123722.fyyy 化二次型为标准形 1f 显然，表示的二次曲面为单叶双曲面.（2 2）配方法）配方法例例2 2 用配方法化二次型 为标准形,并求所用的变换矩阵.解解 先将含 的项配方,有 1x22123112323(,)2()()f x x xxx xxxx222232233()2810 x

9、xxx xx2221232233()69xxxxx xx再对后面含有 的项配方，有 2x2212312323(,)()(3)f x x xxxxxx1123223333yxxxyxxyx112233111013001yxyxyx令即112013001C112233112013001xyxyxy所求的满秩变换为 相应的变换矩阵为 2212fyy将原二次型化为标准形（3 3）初等变换法）初等变换法1)构造 矩阵 ，对 每施以一次初等行变换，就对 施行一次同种的初等列变换；2n nAEAAEEAC2)当 化为对角矩阵时，将化为满秩矩阵 ；xCy3)得到满秩线性变换 及二次型的标准形 例例3 3 用初

10、等变换法化例1中的二次型 222123123(,)22f x x xxxx121323448x xx xx x122224242A 为标准形，并求所作的满秩线性变换.解解 二次型 的矩阵为 f于是AE1222242421000100012323rrcc1020422221000100113131(2)(2)rrcc 10004202610201001132321()21()2rrcc 10004000710210121012令102101,21012CxCy 则所求的满秩线性变换为22212347.fyyy将原二次型化为小结小结比较例1和例3的结果可以看到，用不同的满秩线性变换化二次型为标准形

11、，其标准形一般是不同的，但有两点是相同的：1)标准形中平方项的项数，即二次型的秩.2)标准形中正平方项和负平方项的项数.3 惯性定理和二次型的正定性1.惯性定理和规范形 定理1 设实二次型 的秩为，Tfx Axr22221111pppprrfk yk ykyk y(0,1,2,)ikir使标准型xCy,xPz有两个实满秩变换 及22221 111qqqqrrfzzzz(0,1,2,)iir及pqApf则 ，且称 为二次型（或矩阵 ）的这个定理称为惯性定理惯性定理.正惯性指数正惯性指数frpA为二次型（或矩阵 ）的负惯性指数负惯性指数对二次型 的标准形再作满秩变换 f11111111rrrrrr

12、nnkytytyktyt222211pprftttt则有f称之为二次型 的规范形规范形.定理定理2 2 实对称矩阵 与 合同的充分必要条件ABAB是 与 有相同的规范形.2.二次型的正定性 定义1 设实二次型 ，如果对任何 都有 （显然 ）则称 为正定二次型正定二次型，并称对称矩阵 是正定正定的的,记作 ；如果对任何 ，都有 则称 为负定二次型负定二次型，并称对称矩阵 是负定的,记作 .()Tf xx Ax0 x()0f x 00ffA0A 0 x()0f x fA0ATT0,0,0.xx Axx Bx,A Bn,0a b aAbB例例1 1 设 均为 阶正定矩阵，证明 为正定矩阵.,A B证

13、证 由 为正定矩阵，故对任意非零向量TTT()0 xaAbB xax Axbx BxaAbB所以为正定矩阵.,0a b 而于是An定理定理3 3 若 是 阶实对称矩阵,则下列命题等价Tfx AxA（1）是正定二次型(或 是正定矩阵)；（2）的 个特征值全为正；nAnf（3）的标准形的 个系数全为正；fn（4）的正惯性指数为 ；AEE（5）与单位矩阵 合同（或 为 的规范形）A（6）存在可逆矩阵 ，使 ；PTAP PA（7）的各阶顺序主子式都为正，即 110,a 111221220,aaaa1111,0nnnnaaaa证证 (1)(2)由实二次型的性质知，存在正交变换 ，xPy2221122nn

14、fyyy100010,001y 分别取其中12,n A为 的特征值.Tfx Ax化二次型 为标准形相应地 ，使0 xPy12,.nf 又由二次型的正定性可知，0,1,2,.iin(2)(3)(4)(5)显然.(5)(6)因为 与 合同，故存在可逆矩阵 AEC使TC ACET111 T1()()ACECCC即取 即可.1PC(6)(1)TTTT()()0 x Axx P PxPxPx0 x 0Px 对任意 ，有 ，于是等价条件（7）在此不予证明.例例2 2 设二次型 1112125tAt121323224tx xx xx x222123123(,)5f x x xxxxt试问 为何值时，该二次型

15、为正定二次型.解解 该二次型的矩阵为 211110,10,1tatt 21112540125tttt A由定理3可知，要 为正定矩阵，则 40,5t 解之得405t 即当 时，该二次型为正定二次型.定理4 若 是 阶实对称矩阵,则下列命题等价nATfx Ax（1）是负定二次型(或 是负定矩阵)；AAn（2）的 个特征值全为负；fn（3）的标准形的 个系数全为负；f（4）的负惯性指数为 ；nA（5）与负单位矩阵 合同EAE（或 为 的规范形）；1111(1)0,(1,2,)rrrrraarnaaT AP PP（6）存在可逆矩阵 ，使 ；A（7）的各阶顺序主子式中，即奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正，