离散数学第七章-一些特殊的图课件.ppt
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- 离散数学 第七 一些 特殊 课件
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1、内容:内容:二部图、欧拉图。重点:重点:二部图、欧拉图的定义及判定。第七章第七章 一些特殊的图一些特殊的图 第一节第一节 二部图与欧拉图二部图与欧拉图 一、二部图的定义。一、二部图的定义。1、若存在无向图的顶点集,GV EV的一个划分,12VVV12VV,使得G中任何一条边的两个端点分别在1V2V和中,则称G为二部图二部图(或偶图偶图)。其中12,V V称互补顶点子集,G记为12,GV V E。2、完全二部图(或完全偶图)。若中任一顶点与1V2V中每一顶点均有且只有一条边相关联,则称此二部图G为完全二部完全二部图图(或完全偶图完全偶图)。若,则记完全二部图为1Vn,2Vm,n mK。例例1、(
2、1)(2)二部图完全二部图2,3K(3)完全二部图3,3K二、判定定理。二、判定定理。一个无向图,GV E是二部图当且仅当G中无奇数长度的回路。例例2、判断以下是否二部图。abcdefgh(1)二部图图(1)中所有的回路长度均为偶数。(思考,求其互补顶点子集)(2)二部图(2)例1同构以上二图均为2,3K。(3)(3)例1同构二部图以上二图均为3,3K。(4)fedcba不是二部图,因图中存在长为3的回路 bcdb。三、欧拉图问题的提出。三、欧拉图问题的提出。1736年,瑞士数学家欧拉,哥尼斯堡七桥问题(2)BACD四、欧拉图定义。欧拉通路欧拉通路(欧拉迹欧拉迹)通过图中每条边一次且仅一次,并
3、且过每一顶点的通路。欧拉回路欧拉回路(欧拉闭迹欧拉闭迹)通过图中每条边一次且仅一次,并且过每一顶点的回路。欧拉图欧拉图 存在欧拉回路的图。注意:注意:(1)欧拉通路与欧拉回路不同。(2)欧拉图指具有欧拉回路(并非通路)的图。(3)欧拉通路(回路)必是简单通路(回路)。(4)连通是具有欧拉通路(回路)的必要条件。(5)欧拉通路(回路)是经过图中所有边的通路(回路)中最短的通路(回路)。三、无向图是否具有欧拉通路或回路的判定。三、无向图是否具有欧拉通路或回路的判定。有欧拉通路连通,G GG中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。有欧拉回路(为欧拉图)GG连通,G中均G为偶度顶点。例例3
4、、以下图形能否一笔画成?(1)(2)(3)(4)四、有向图是否具有欧拉通路或回路的判定。四、有向图是否具有欧拉通路或回路的判定。有欧拉通路连通,除两个顶点外,其D D余顶点的入度均等于出度,这两个特殊的顶点中,一个顶点的入度比出度大1,另一个顶点的入度比出度小1。有欧拉回路(DD为欧拉图)连通,DD中所有顶点的入度等于出度。例例4、判断以下有向图是否欧拉图。内容:内容:哈密尔顿图、平面图平面图。重点:重点:1、哈密尔顿图的定义。第二节第二节 哈密尔顿图与平面图哈密尔顿图与平面图2、平面图的概念,3、常见的非平面图5K,3,3K4、平面图中面的次数与边数关系deg()2iRm5、平面图的欧拉公式
5、2nmr。了解:了解:1、哈密尔顿图的充分条件2、极大平面图,极小非平面图。一、问题的提出。一、问题的提出。1859年,英国数学家哈密尔顿,周游世界游戏。(1)(2)二、哈密尔顿图。二、哈密尔顿图。哈密尔顿通路 通过图中每个顶点一次且仅一次的通路。哈密尔顿回路 通过图中每个顶点一次且仅一次的回路。哈密尔顿图存在哈密尔顿回路的图。注意:注意:(1)哈密尔顿通路与哈密尔顿回路不同。(2)哈密尔顿图是指具有哈密尔顿回路(并非通路)的图。(3)哈密尔顿通路(回路)必是初级通路(回路)。(4)连通是具有哈密尔顿通路(回路)的必要条件。(5)若图G具有哈密尔顿回路,则必有哈密尔顿通路。(6)阶图的哈密尔顿
6、通路长为n1n,回路长为n。例例1、判断下图是否具有哈密尔顿回路,通路。(1)解:解:存在哈密尔顿通路,但不存在哈密尔顿回路。三、判定。三、判定。采用尝试的办法。解:解:是哈密尔顿图,存在哈密尔顿回路和通路。(2)(3)解:解:不存在哈密尔顿回路,也不存在哈密尔顿通路。例例2、画一个无向图,使它(1)具有欧拉回路和哈密尔顿回路,解:解:(2)具有欧拉回路而没有哈密尔顿回路,解:解:(3)具有哈密尔顿回路而没有欧拉回路,(4)既没有欧拉回路,也没有哈密尔顿回路。解:解:解:解:下面讨论的图均为无向图。四、平面图的概念。四、平面图的概念。1、定义定义:一个图如果能以这样的方式画在G平面上:除顶点处
7、外没有边交叉出现,则称G为平面图平面图,画出的没有边交叉出现的图称为G的一个平面嵌入平面嵌入或G的一个平面图平面图。例例3、(2)(1)(4)(3)(6)(5)(8)(7)2、极大平面图,极小非平面图。极大平面图极大平面图 若在平面图G中任意不相邻的两个顶点之间再加一条边,所得图为非平面图,则G为极大平面图。例如:为极大平面图。3K,4K极小非平面图极小非平面图 若在非平面图G中任意删除一条边后,所得图是平面图,则面图。为极小非平G例如:都是极小非平面图。5K,3,3K五、平面图中面、次数与图的顶点、边数等五、平面图中面、次数与图的顶点、边数等的关系。的关系。1、定义:定义:设是一个连通的平面
8、图(指GG的某个平面嵌入),面面平面图的区域(回路围成的),无限面无限面(外部面外部面)面积无限的区域,记0R,有限面有限面(内部面内部面)面积有限的区域,边界边界包围面的边(回路),次数次数面边界的长度,记Rdeg()R。若是非连通的平面图,设GG有(2)k k 个连通分支,则的无限面G的边界由0Rk个回路形成。例例4、2R1R0R6v5v4v3v2v1v1deg()3R2deg()3R0deg()8R的边界为复杂回路 0R1 2 3 4 5 6 5 4 1v v v v v v v v v。注意:注意:(1)一个平面图的无限面只有一个。(2)同一个平面图可以有不同形状的平面嵌入(互相同构)
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