统计学-概率和分布课件.ppt
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- 统计学 概率 分布 课件
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1、统计学StatisticsStatistics第第 5 5 章章 概率和分布概率和分布u 5.1 5.1 概率的几种确定方法概率的几种确定方法u 5.2 5.2 离散变量的概率分布离散变量的概率分布u 5.3 5.3 连续变量的概率分布连续变量的概率分布u 5.4 5.4 抽样分布抽样分布u 5.5 5.5 小结小结第第 5 5 章章 概率和分布概率和分布5.1 5.1 概率的几种确定方法概率的几种确定方法概率的几种确定方法概率的几种确定方法等可能事件的概率等可能事件的概率发生概率相等的事件就是通常所说的等可能事件等可能事件(equally likely event)。一般地,如果某一试验的所
2、有可能结果数是n,而每种结果发生的概率是相等的,那么每种结果在一次试验中出现的概率就是1/n。如果要考察某些组合结果发生的概率,只需要把组合结果中所包含的可能结果的数目k除以n即可,也就是k/n。概率的几种确定方法概率的几种确定方法用频率逼近概率用频率逼近概率利用某一事件在多次重复试验中出现的次数占总试验次数的比例来估计概率,这个比例称为相对频数相对频数(relative frequency)或频率频率。理论上认为,相同条件下重复的试验次数n趋于无穷时,特定事件A发生的次数m就会趋于稳定,据此计算得到的频率就会逼近事件A发生的真实概率,即有 。nmAP)(基于上述理论可以得出,在不同试验次数n
3、的情况下,特定事件出现的频率m/n将围绕该事件发生的真实概率波动,并且随着试验次数n的增加,其波动的幅度将逐渐减小,最终趋于稳定,这个稳定的频率就是真实的概率。概率的几种确定方法概率的几种确定方法主观主观概率概率现实生活中还有很多事件既不是等概率的,也无法进行重复试验。这些事件都不可能通过重复试验来估计其发生的概率,但人们可以结合已经掌握的一些信息、相关因素或专业知识,基于自己的主观判断,给出一个概率,这就是主观概率主观概率(subjective probability)。第第 5 5 章章 概率和分布概率和分布5.2 5.2 离散变量的概率分布离散变量的概率分布离散变量的概率分布离散变量的概
4、率分布用 表示离散型随机变量X所有可能的取值,相应地,用 表示该变量取值为 的概率。因此,将X的所有可能取值和对应的取值概率列在一张表格中,就是该离散型随机变量的概率分布,如表5-1所示。显然,离散型随机变量的概率分布应满足,21xx)(ixpix取值取值概率概率1x2x)(1xp)(2xp表表5-1 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布,1)(iixp,0)(ixp,2,1i 离散变量的概率分布离散变量的概率分布离散型随机变量X的均值(也称期望值,expected value)等于其所有可能取值与相应的取值概率的乘积之和,通常用 或E(X)表示,即离散型随机变量X的方差等于每一个
5、可能取值与均值的差值平方,再与相应的取值概率的乘积之和,通常用 或D(X)表示,即,2,1i iiixpxXE)()(2iiixpxXD)()()(22,2,1i离散变量的概率分布离散变量的概率分布【例【例5.1】某商场举办周年庆祝活动,所有消费者均可凭购物小票抽取现金礼券。商场负责人称,现金礼券的面额分别为20元、50元和100元,抽中的概率分别是60%、30%和10%。试计算该商场现金礼券抽奖金额的均值和标准差。解:解:根据题意,该商场现金礼券的抽奖金额X是一个离散型随机变量,其概率分布如表5-2所示。取值20元50元100元概率0.60.30.1表表5-2 某商场现金礼券抽奖金额的概率分
6、布某商场现金礼券抽奖金额的概率分布根据公式计算X的均值为=200.6+500.3+1000.1=37(元)iiixpxXE)()(根据公式计算X的方差为=(20-37)20.6+(50-37)20.3+(100-37)20.1=621iiixpxXD)()()(22因此,X的标准差 =24.9(元)离散变量的概率分布离散变量的概率分布二项分布二项分布如果某种试验只有两个可能结果,通常把感兴趣的一个结果定义为“成功”,另一个结果定义为“失败”。当这种试验可以重复n次,并且满足:(1)各次试验相互独立;(2)每次试验“成功”的概率保持不变,均为p,“失败”的概率均为q=1-p,那么就称为n次伯努利
7、(Bernoulli)试验。在n次伯努利试验中,“成功”的次数是一个离散型随机变量X,其概率分布服从二项分布二项分布(binomial distribution),记为XB(n,p)。具体地,n次伯努利试验中“成功”k次(即X=k)的概率可表示为:,)(knkknqpCkpnk,1,0可以进一步推导得到二项分布的均值和方差分别为,)(npXEnpqXD)(2 离散变量的概率分布离散变量的概率分布二项分布二项分布【例【例5.2】某公司声称其生产的一批产品次品率为2%,若从中有放回地随机抽取10个产品,试计算这10个产品中:(1)没有次品的概率是多少?(2)恰好有1个次品的概率是多少?(3)有3个
8、以下次品的概率是多少?解:解:根据题意,每抽检一个产品相当于一次试验,由于感兴趣的是“次品”的个数,因此将“次品”定义为“成功”,次品率即为“成功”的概率p。有放回地随机抽取使得每次试验都是相互独立的,并且次品率在每次试验中保持不变,这就是n次伯努利试验。因此,在按照上述方式抽取的10个产品中的次品数X服从二项分布B(10,0.02)。使用Excel中的【BINOM.DIST】函数可以分别计算得到:(1)P(X=0)=p(0)=0.817073;(2)P(X=1)=p(1)=0.16675;(3)P(X3)=p(0)+p(1)+p(2)=0.999136。离散变量的概率分布离散变量的概率分布超
9、几何分布超几何分布如果某种试验只有“成功”和“失败”两个可能结果,在重复n次试验的过程中,各次试验并不独立,每次试验“成功”的概率也不相等,此时“成功”的次数就不再服从二项分布,而是超几何分布超几何分布(hypergeometric distribution)。一般地,用N代表总体中元素的个数,M代表总体中“成功”的元素的个数,n为试验次数,n次试验中“成功”的次数X服从超几何分布,记作XH(n,N,M)。具体地,n次试验中“成功”k次(即X=k)的概率可表示为:可以进一步推导得到超几何分布的均值和方差分别为 ,)(nNknMNkMCCCkplk,1,0 其中,l=min(M,n)。,)(Nn
10、MXE)1()1()1()(22NNMMnnNnMNnMXD 离散变量的概率分布离散变量的概率分布超几何分布超几何分布【例【例5.3】假设除夕夜你和父母包了20个饺子,并在其中3个饺子里各放进了一枚硬币。饺子都煮熟后,你和父母三人各随机夹了一个,试计算:(1)你们三个人都吃到硬币的概率是多少?(2)你们三个人至少有一个人吃到硬币的概率是多少?解:解:根据题意,每吃一个饺子相当于一次试验,由于感兴趣的是“有硬币的饺子”的个数,因此将吃到“有硬币的饺子”定义为“成功”。饺子一共有20个(即总体的元素个数),其中有3个饺子有硬币(即“成功”的元素个数),显然每吃一个饺子都是无放回的随机试验,因此,你
11、和父母三人所吃的3个饺子中“成功”的次数X服从超几何分布H(3,20,3)。使用Excel中的【HYPGEOM.DIST】函数可以分别计算得到:(1)P(X=3)=p(3)=0.000877;(2)P(X1)=p(1)+p(2)+p(3)=1-p(0)=0.403509。离散变量的概率分布离散变量的概率分布泊松分布泊松分布如果观察的事件在单位时间或单位面积出现的平均次数保持不变,并且不同时段或空间区域内事件的发生是相互独立的,那么单位时间或单位面积该事件出现的实际次数X服从泊松分布泊松分布(Poisson distribution),记作 。具体地,X=k的概率可表示为:可以进一步推导得到泊松
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