南通市2019~2020高三数学一模试卷含答案.pdf

1、第 1页 南通市 2020 届高三第一次调研测试 数数学学学学科科 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1 1 已知集合，则. 2 已知复数满足，其中 是虚数单位，则的模为. 3 3 某校高三数学组有 5 名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 ，则这 5 名党员教师学习积分的平均值为. 4 4 根据如图所示的伪代码，输出的a的值为 5 5 已知等差数列的公差不为 0，且成等比数列， 则的值为 6 6 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上 的概率为. 7 7 在正三棱柱中，则三棱锥的体积为. 8 8 已知函数若当时，

2、函数取得最大值，则的最小值 为. 9 9 已知函数是奇函数若对于任意的，关于的不等 式恒成立，则实数的取值范围是 a1 i1 Whilei4 aa+i ii+1 End While Printa （第 4 题） 1 10 0在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且 双曲线经过线段AB的中点若点的横坐标为 2，则点的横坐标为 1 11 1尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如， 地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 2008 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁

3、发生 里氏 6.0 级地震释放出来能量的倍 1 12 2已知ABC的面积为3，且若，则的最小值为 1 13 3在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于 A，B两点若圆上存在点 ，使得ABP为等腰直角三角形，则实数 的值组成 的集合为. 第 2页 1 14 4已知函数若关于的方程有五个不相等 的实数根，则实数的取值范围是. 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 1 15 5 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥中，平面， 分别为的中点 （第 15 题） 1 16 6 （本小题满分 14 分） 在ABC中，已知， （1）求的值； （2）求的值 求证： （1）AB平面； （2）平面平面 第

4、 3页 ） 1 17 7 （本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的 距离为 ，分别为椭圆的左、右顶点 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与 相交于第一象限内的点 若分别是的中点，证明：点在椭圆上； 若点在椭圆上，证明：为定值，并求出该定值 第 4页 （第 18 题） O 1 18 8 （本小题满分 16 分） 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转如图， 小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的 正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形， 且顺次连结，得到 六边形徽标 （1）当时

5、，求六边形徽标的面积； （2）求六边形徽标的周长的最大值 第 5页 1 19 9 （本小题满分 16 分） 已知数列满足：，且当时， （1）若，证明：数列是等差数列； （2）若 设，求数列的通项公式； 设，证明：对于任意的，当时，都有 2 20 0 （本小题满分 16 分） 设函数，其中 为自然对数的底数 （1）当时，求函数的单调减区间； （2）已知函数的导函数有三个零点， 求的取值范围； 若，是函数的两个零点，证明： 数学参考答案与评分细则第 1页（共 16页） 南通市 2020 届高三第一次调研测试 数数学学学学科科参参考考答答案案及及评评分分建建议议 一、填空题：本大题共 14 小题，每

6、小题 5 分，共计 70 分 1 1 已知集合，则. 【答案】 2 已知复数满足，其中 是虚数单位，则的模为. 【答案】 3 3 某校高三数学组有 5 名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 ，则这 5 名党员教师学习积分的平均值为. 【答案】40 4 4 根据如图所示的伪代码，输出的a的值为 【答案】11 5 5 已知等差数列的公差不为 0，且成等比数列， 则的值为 【答案】1 6 6 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为. 【答案】 7 7 在正三棱柱中，则三棱锥的体积为. 【答案】 8 8 已知函数若当时，函数取得最大值，则的最小值

7、 为. 【答案】5 9 9 已知函数是奇函数若对于任意的，关于的不等 式恒成立，则实数的取值范围是 a1 i1 Whilei4 aa+i ii+1 End While Printa （第 4 题） 数学参考答案与评分细则第 2页（共 16页） 【答案】 1 10 0在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且 双曲线经过线段AB的中点若点的横坐标为 2，则点的横坐标为 【答案】 1 11 1尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如， 地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 2008 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地

8、震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生 里氏 6.0 级地震释放出来能量的倍 【答案】1000 1 12 2已知ABC的面积为 3，且若，则的最小值为 【答案】 1 13 3在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于 A，B两点若圆上存在点 ，使得ABP为等腰直角三角形，则实数 的值组成 的集合为. 【答案】 1 14 4已知函数若关于的方程有五个不相等 的实数根，则实数的取值范围是. 【答案】 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 1 15 5 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥中，平面， 分别为的中点 （第 15 题） 数学参考答案与评分细则第 3页（共 16页

9、） 求证： （1）AB平面； （2）平面平面 【证】 （1）在中，因为分别为的中点， 所以ABDE 3 分 又因为平面，平面， 所以AB平面 6 分 （2）因为平面，平面， 所以 8 分 又因为，平面， 所以平面 11 分 因为平面， 所以平面平面 14 分 1 16 6 （本小题满分 14 分） 在ABC中，已知， （1）求的值； （2）求的值 【解】 （1）在ABC中，因为， 由， 得 2 分 又， 由正弦定理，得， 4 分 所以 6 分 （2） （方法一）由余弦定理，得， 8 分 数学参考答案与评分细则第 4页（共 16页） 即， 解得或（舍去） 11 分 所以 14 分 （方法二）在A

10、BC中，由条件得， 所以，所以 所以 8 分 所以 10 分 由正弦定理，得， 所以 12 分 所以 14 分 1 17 7 （本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的 距离为 ，分别为椭圆的左、右顶点 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与 相交于第一象限内的点 若分别是的中点，证明：点在椭圆上； 若点在椭圆上，证明：为定值，并求出该定值 【解】 （1）设椭圆的焦距为， 数学参考答案与评分细则第 5页（共 16页） 则由题意，得解得 所以 所以椭圆的标准方程为 3 分 （2）由已知，得， 直线的方程为，直线的方程为 联立

11、解得即 6 分 因为， 所以点在椭圆上 8 分 （解法一）设， 则， 直线的方程为， 令，得 10 分 直线的方程为， 令，得 12 分 所以 14 分 数学参考答案与评分细则第 6页（共 16页） （第 18 题） O （解法二）设直线的方程为， 令，得 设直线的方程为， 令，得 10 分 而 12 分 设，则， 所以， 所以 14 分 1 18 8 （本小题满分 16 分） 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转如图， 小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的 正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形， 且顺次连结，得到 六边形徽标 （1）当时，求六

12、边形徽标的面积； （2）求六边形徽标的周长的最大值 【解】连结在正三角形中， ， 2 分 当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时， 有， 数学参考答案与评分细则第 7页（共 16页） ， 所以， 所以， 4 分 （1）当时，设六边形徽标的面积为，则 6 分 答：当时，六边形徽标的面积为 9 分 （2）设六边形徽标的周长为 ，则 11 分 ， 13 分 所以当，即时， 取最大值 答：六边形徽标的周长的最大值为 16 分 1 19 9 （本小题满分 16 分） 已知数列满足：，且当时， （1）若，证明：数列是等差数列； （2）若 设，求数列的通项公式； 数学参考答案与评分细则第 8页（共 16

13、页） 设，证明：对于任意的，当时，都有 【解】 （1）时，由，得 2 分 所以，即（常数） ， 所以数列是首项为 1，公差为 1 的等差数列 4 分 （2）时，时， 时，所以 6 分 所以 又，所以 8 分 又，所以（常数） 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为 10 分 由知， 所以， 所以 12 分 所以 14 分 当时，所以； 数学参考答案与评分细则第 9页（共 16页） 当时，所以； 当时，所以 所以若，则 16 分 2 20 0 （本小题满分 16 分） 设函数，其中 为自然对数的底数 （1）当时，求函数的单调减区间； （2）已知函数的导函数有三个零点， 求的取

14、值范围； 若，是函数的两个零点，证明： 【解】 （1）时，其定义域为， 令，得， 所以函数的单调减区间为 3 分 （2），设， 则导函数有三个零点，即函数有三个非零的零点 又，若，则， 所以在上是减函数，至多有 1 个零点，不符合题意， 所以 5 分 令， 列表如下： 数学参考答案与评分细则第 10页（共 16页） 所以即解得 8 分 又， 所以在上有且只有 1 个非零的零点 因为当时， ，且， 又函数的图象是连续不间断的， 所以在和上各有且只有 1 个非零的零点 所以实数的取值范围是 10 分 （证法一）由，得 设，且，所以 又因为，所以 所以或时，；时， 由知， 因为，所以， 所以， 极大

15、值极小值 数学参考答案与评分细则第 11页（共 16页） 14 分 所以成立 16 分 （证法二）依题设知：， 由知，设， 由知，所以，在上单调递减 12 分 又由，得：，即， 所以，又，故， 于是 （）， 即，又，所以； 14 分 （）， 即， 又，故， 又，所以，即 所以，得证 16 分 2 21 1 【选做题】本题包括 A A、B B、C C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知，向量是矩阵的属于特征值 3 的一个特征向量 （1）求矩阵； 数

16、学参考答案与评分细则第 12页（共 16页） （2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标 【解】（1）因为向量是矩阵的属于特征值 3 的一个特征向量， 所以，即， 所以解得 所以 5 分 （2）设，则， 所以解得 所以点的坐标为 10 分 B B选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，已知直线 的参数方程（t为参数） ，椭圆C的 参数方程为(为参数)求椭圆C上的点到直线 的距离的最大值 【解】（方法一）直线 的普通方程为 2 分 设， 则点到直线 的距离 8 分 当，即（）时， 10 分 （方法二）直线 的普通方程为 数学参考答案与评分细则第 13页

17、（共 16页） 椭圆C的普通方程为 4 分 设与直线 平行的直线方程为， 由消，得 令，得 8 分 所以直线与椭圆相切 当时，点到直线 的距离最大， 10 分 C C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知都是正实数，且 证明：（1）；（2） 【证】（1）因为都是正实数，所以 又因为，所以，即，得证 4 分 （2）因为都是正实数， 所以， ， 6 分 由+，得， 所以， 又因为，所以，得证 10 分 【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 数学参考答案与评分细则第 14页（共 16页） （第 22 题） 文字说明、证明

18、过程或演算步骤 2 22 2(本小题满分 10 分) 如图，在直四棱柱中， （1）求二面角的余弦值； （2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线 与平面所成角的正弦值为，求的长 【解】在直四棱柱中， 因为平面，平面， 所以， 又，以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系 由，得 ， 2 分 （1）， 设平面的一个法向量， 则即 不妨取，则，所以 4 分 因为平面，所以平面的一个法向量为 设二面角的平面角的大小为，根据图形可知， 数学参考答案与评分细则第 15页（共 16页） 所以二面角的余弦值为 6 分 （2）设，则 又为的中点，则， 设平面的一个法向量， 由得 取，则，所以 8 分 设直线与

19、平面所成角的大小为， 则， 所以或（舍去）. 所以. 10 分 2 23 3(本小题满分 10 分) 一只口袋装有形状、大小完全相同的 5 只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各 1 只. 现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取 1 只球. （1）当时，求恰好取到 3 次红球的概率； （2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量 求的数学期望（用表示）. 【解】 （1）当时，从装有 5 只小球的口袋中有放回的取球 6 次，共有个基本事件. 记“恰好取到 3 次红球”为事件，事件包含基本事件有个. 因为上述个基本事件发生的可能性相同， 故. 数学参考答案与评分细则第 16页（共 16页） 答：当时，恰好取到 3 次红球的概率为. 3 分 （2）由题意知，随机变量的所有可能取值为. 则. . . 5 分 所以 . 7 分 令， ， 则 ， . ， 所以. 所以. 答：的数学期望为. 10 分