计算机控制系统第5章课件.ppt
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1、 第第5 5章章 计算机控制系统的计算机控制系统的 离散状态空间设计离散状态空间设计1 1 状态空间描述的基本概念状态空间描述的基本概念 2 2 采用状态空间模型的极点配置设计采用状态空间模型的极点配置设计3 3 采用状态空间模型的最优化设计采用状态空间模型的最优化设计2022-8-61 状态空间设计法是建立在矩阵理论基础上、采状态空间设计法是建立在矩阵理论基础上、采用状态空间模型对多输入多输出系统进行描述、分用状态空间模型对多输入多输出系统进行描述、分析和设计的方法。析和设计的方法。用状态空间模型能够分析和设计多输入多输出用状态空间模型能够分析和设计多输入多输出系统、非线性、时变和随机系统等
2、复杂系统,可以系统、非线性、时变和随机系统等复杂系统,可以了解到系统内部的变化情况。并且这种分析方法便了解到系统内部的变化情况。并且这种分析方法便于计算机求解。于计算机求解。2022-8-625 51 1 状态空间描述的状态空间描述的基本概念基本概念1.1.离散时间系统的状态空间描述离散时间系统的状态空间描述 设连续的被控对象的状态空间表达式设连续的被控对象的状态空间表达式 )()()(|)()()()(00tCxtytxtx tButAxtxtt在在 作用下,系统的状态响应为作用下,系统的状态响应为)(tu tttAttABuetxetx00d)()()()(0)(其中其中 为系统的状态转移
3、矩阵。为系统的状态转移矩阵。取取 ,考虑到零阶保持器的作用,有,考虑到零阶保持器的作用,有)(0ttAe kTt 0Tkt)1()()(kTutx TktkT)1(TkkTTkTATAkTuBekTxeTkTx)1()()(d)()(则则(5 51 11 1)(5 51 1)(5 51 13 3)(5 51 1)2022-8-63 TkTt TtATAkTutBekTxeTkTx0)(d)()(作变量置换,令:作变量置换,令:由此可得系统连续部分的离散化状态空间表达式由此可得系统连续部分的离散化状态空间表达式 )()()()()1(kCxkykGukFxkx d ,0 TtATAtBeGeF其
4、中:其中:式中:式中:为为 维状态向量,维状态向量,为为 维控制向量,维控制向量,为为 维输出向量,维输出向量,为为 维状态转移矩阵,维状态转移矩阵,为为 维输入矩阵,维输入矩阵,为为 维输出矩阵。维输出矩阵。)(kxn)(kum)(kyrFnn Gmn nr C(5 51 1)(5 51 1)(5 51 1)2022-8-64可用迭代法求得,可用迭代法求得,)1()2()1()0()1()1()()2()1()0()0()2()2()3()1()0()0()1()1()2()0()0()1(kkkkkxxGuFGuGuFxFGuFxxGuFGuGuFFGuFxxGuFGuFGuFxxGuFx
5、x1kk23210)()0()(kjjkGuFxFx1jkk即:即:以以k k0 0,1 1,代入式(代入式(5 51 16 6)离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解2022-8-65离散时间系统的能控性离散时间系统的能控性 描述的系统,描述的系统,如果存在有限个控制信号,如果存在有限个控制信号,能使系统从任意初始状态转移,能使系统从任意初始状态转移到终态,则系统是状态完全能控的。到终态,则系统是状态完全能控的。)()()()()1(kCxkykGukFxkx)0(u、)1(u)1(Nu)0(x)(Nx)1()2()0()0()0()(21NNNNNNGuFGuGuFGuFxFx写
6、成矩阵形式写成矩阵形式)1()1()0()0()(21NNNNNuuuGGFGFxFx能控性定义:能控性定义:对于式对于式根据状态方程的解,有根据状态方程的解,有2022-8-66则则 、有解的充分必要条件:有解的充分必要条件:系统的能控性判据系统的能控性判据)0(u)1(u)1(Nu G GF FFGFGG G1 1N Nnrank式中式中:n n为系统状态向量的维数。为系统状态向量的维数。输出的能控性条件为输出的能控性条件为 rank1r NGCFCFGGC式中式中:r r 为输出向量的维数。为输出向量的维数。2022-8-67描述的系统,描述的系统,如果如果能根据有限个采样信号能根据有限
7、个采样信号,确定出系统的初始状态确定出系统的初始状态 ,则系统,则系统是状态完全能观的是状态完全能观的。离散时间系统的能观性离散时间系统的能观性 )()()()()1(kCxkykGukFxkx)0(Y、)(NY)0(x能观性定义:能观性定义:对于式对于式)1(Y根据状态方程的解,从根据状态方程的解,从0到到 时刻,各采样时刻,各采样瞬时的观测值为:瞬时的观测值为:)0()1()1()0)1()1()0()0(1xCFCxyCFxCxyCxyNNNTN)1(2022-8-68写成矩阵形式写成矩阵形式)0()1()1()0(1xCFCFCyyyNN则则 有解的充分必要条件,即系统的能观性判据为有
8、解的充分必要条件,即系统的能观性判据为 )0(xn 1NCFCFCrank式中式中n n为系统状态向量的维数为系统状态向量的维数。2022-8-695 52 2 采用状态空间模型的极点配置设计采用状态空间模型的极点配置设计 图图5 52 2 按极点配置设计的控制器按极点配置设计的控制器状态空间模型按极点配置状态空间模型按极点配置设计的控制器由两部分组设计的控制器由两部分组成:一部分是状态观测器,成:一部分是状态观测器,它根据所量测到的输出它根据所量测到的输出 重构出状态重构出状态 ;另一部;另一部分是控制规律,它直接反分是控制规律,它直接反馈重构的状态馈重构的状态 ,构成,构成状态反馈控制。状
9、态反馈控制。)(ky)(kx根据分离性原理,控制器的设根据分离性原理,控制器的设计可以分为两个独立的部分:计可以分为两个独立的部分:一是假设全部状态可用于反馈,一是假设全部状态可用于反馈,按极点配置设计控制规律;二按极点配置设计控制规律;二是按极点配置设计观测器。是按极点配置设计观测器。)(kx2022-8-6101 1 按极点配置设计控制规律按极点配置设计控制规律 设被控对象的离散状态空间表达式为设被控对象的离散状态空间表达式为 )()()()()1(kkkkkCxyGuFxx控制规律为线性状态反馈控制规律为线性状态反馈 )()(kkLxu假设反馈的是假设反馈的是被控对象实际的全部状态被控对
10、象实际的全部状态x x(k k)得闭环系统的状态方程为得闭环系统的状态方程为 )()()1(kkxGLFx)()()(zzzxGLFX作作Z Z变换变换 显然,闭环系统的特征方程为显然,闭环系统的特征方程为 0GLFI z图图5-3 5-3 状态反馈系统结构图状态反馈系统结构图 2022-8-611如何设计反馈控制规律,如何设计反馈控制规律,以使闭环系统具有所期望的极点配置以使闭环系统具有所期望的极点配置?首先根据对系统的性能要求,找出所期望的闭环系统控制首先根据对系统的性能要求,找出所期望的闭环系统控制极点极点 ,再根据极点的期望值,再根据极点的期望值 ,求得闭环,求得闭环系统的特征方程为系
11、统的特征方程为 ),2,1(nizi iz 0)()()(1121 nnnnczzzzzzzzz 反馈控制规律应满足如下的方程反馈控制规律应满足如下的方程 )(|zzcGLFI 如果被控对象的状态为如果被控对象的状态为 维,控制作用为维,控制作用为 维,则反馈维,则反馈控制规律为控制规律为 维,即维,即 中包含中包含 个元素。个元素。nmnm Lnm 2022-8-612例例5-15-1 对于单输入系统,给定二阶系统的状态方程对于单输入系统,给定二阶系统的状态方程)(1.0005.0)()(101.00)1()1(2121tutxtxkxkx 设计状态反馈控制规律设计状态反馈控制规律 ,使闭环
12、极点为,使闭环极点为L25.08.02,1jz 解解 根据能控性判据,因根据能控性判据,因 21.01.0015.0005.0rankrankFGG所以系统是能控的。期望的闭环特征方程为所以系统是能控的。期望的闭环特征方程为 07.06.1)()(221 zzzzzzzc 设状态反馈控制规律设状态反馈控制规律21llL 2022-8-613取取 ,比较两边同次幂的系数,有,比较两边同次幂的系数,有)()(zzc 7.01.0005.016.11.0005.022121llll101 l5.32 l可得可得:即状态反馈控制规律即状态反馈控制规律为为 5.310L01.0005.01)1.0005
13、.02(1005.0101.011001|)(2121221llzllzllzzzGLFI闭环系统的特征方程为闭环系统的特征方程为 2022-8-6142 2 按极点配置设计状态观测器按极点配置设计状态观测器 在实际工程中,采用全状态反馈通常是不现实在实际工程中,采用全状态反馈通常是不现实的。常用的方法是设计状态观测器,由测量的输出的。常用的方法是设计状态观测器,由测量的输出值值 重构全部状态,实际反馈的只是重构状重构全部状态,实际反馈的只是重构状态态 。即。即 )(ky)(kx)()(kkxLu常用的状态观测器有三种。常用的状态观测器有三种。图图5-4 5-4 状态观测器结构图状态观测器结构
14、图2022-8-615状态重构误差的动态性能取决于特征方程根的分布。若状态重构误差的动态性能取决于特征方程根的分布。若状态重构误差为:状态重构误差为:)1()1()1(kkkxxx得状态重构误差方程为:得状态重构误差方程为:)()()()()()()1(kkCxkkkkkxCKGuxFGuFxx)()(kxKCF 预报观测器的特征方程:预报观测器的特征方程:0KCFI z的特性是快速收敛的,则对于任何初始误差的特性是快速收敛的,则对于任何初始误差 ,都将快都将快速收敛到零。因此,只要适当地选择增益矩阵速收敛到零。因此,只要适当地选择增益矩阵 ,便可获得要,便可获得要求的状态重构性能。求的状态重
15、构性能。KCF)0(x)(kxK预报观测器预报观测器观测器方程观测器方程 )()()()()1(kkykkkxCKGuxFx2022-8-616如果给出观测器的极点,可求得观测器的特征方程如果给出观测器的极点,可求得观测器的特征方程 0)()()(1121 nnnnbzzzzzzzzz 为了获得所需要的状态重构性能,应有为了获得所需要的状态重构性能,应有 )(bzKCFFzI 通过比较两边通过比较两边z z的同次幂的系数,可求得的同次幂的系数,可求得 中的中的n n个未知数。个未知数。对于任意的极点配置,对于任意的极点配置,具有唯一解的充分必要条具有唯一解的充分必要条件是对象是完全能观的。件是
16、对象是完全能观的。KK2022-8-617现时观测器现时观测器观测器方程观测器方程 )1()1()1()1()()()1(kkkkkkkxCyKxxGuxFx状态重构误差为状态重构误差为 )1()1()1(kkkxxx状态重构误差方程:状态重构误差方程:)1()1()1(kkkxxx )1()1()1()()(kxCkyKkxkGukFx)()(kkxxKFCF)(kxKCFF 2022-8-618现时观测器特征方程:现时观测器特征方程:0|KCFFI z为使现时观测器具有期望的极点配置,应有为使现时观测器具有期望的极点配置,应有)(|zzbKCFFI 同理,通过比较两边同理,通过比较两边z
17、z的同次幂的系数,可的同次幂的系数,可求得求得K K 中的中的n n个未知数。个未知数。降阶观测器降阶观测器 将原状态向量分成两部分,一部分是可以直将原状态向量分成两部分,一部分是可以直接测量的接测量的 ,一部分是需要重构的,一部分是需要重构的 。)(kxa)(kxb2022-8-619被控对象的离散状态方程可以分块表示为被控对象的离散状态方程可以分块表示为 )()()()1()1()1(bababbbaabaabakuGGkxkxFFFFkxkxkx )()()()1()()()()1(babaaaaabababbbbkkkkkkkkxFuGxFxuGxFxFx即即 )()()()()1(k
18、kkkkCxyGuFxx比较比较abaaaaabababbb )()()1()()()()()()(FCkuGkxFkxkykuGkxFkGuFFkxkx 得:得:2022-8-620观测器方程观测器方程:)()()()1(bababbbbkkkkuGxFxFx )()()()1(babaaaaakkkkxFuGxFxK)1()1()1(bbb kkkxxx )()()(bbabbbkkxxKFF 状态重构误差方程:状态重构误差方程:0|abbb KFFI z降阶观测器特征方程:降阶观测器特征方程:同理,使同理,使 ,通过比较两,通过比较两边边z z的同次幂的系数,可求得的同次幂的系数,可求得
19、K K 中的中的n n个未知数。个未知数。(z)zbabbb|KFFI2022-8-6213 3 按极点配置设计控制器按极点配置设计控制器 1 1)控制器组成)控制器组成 设被控对象的离散状态空间描述为设被控对象的离散状态空间描述为 kkkkk)()()()()1(CxyGuFxx控制器由预报观测器和状态反馈控制律组成,即控制器由预报观测器和状态反馈控制律组成,即 kk kkkkk)()()()()()()1(xLuxCyKGuxFx2 2)分离性原理)分离性原理闭环系统的状态方程为闭环系统的状态方程为 kkkkkk)()()()1()()()1(xKCGLFKCxxxGLFxx kkkk)(
20、)()1()1(xxKCGLFKCGLFxx矩阵形式:矩阵形式:2022-8-622闭环系统的特征方程为闭环系统的特征方程为 KCGLFKCGLFI zz)()(第二列加到第一列KCGLFIKCGLFI zz )(第二行减去第一行KCGLFIGLFIGLGLFI zzz 0KCFIGLGLFI zz 0)()(zzbc可见,闭环系统的可见,闭环系统的2 2n n个极点由两部分组成,一部分是按极个极点由两部分组成,一部分是按极点配置设计的控制规律给定的点配置设计的控制规律给定的n n个极点,称为控制极点,另个极点,称为控制极点,另一部分是按极点配置设计的状态观测器给定的一部分是按极点配置设计的状
21、态观测器给定的n n个极点,称个极点,称为观测器极点。两部分相互独立,可分别设计为观测器极点。两部分相互独立,可分别设计 。2022-8-6233 3)数字控制器实现)数字控制器实现设状态反馈控制规律为设状态反馈控制规律为 )()(kkxLu代入预报观测器方程代入预报观测器方程 kkkkk)()()()()1(xCyKGuxFx观测器与控制规律的关系观测器与控制规律的关系 )()()()1(kkkKyxKCGLFx zzzzKKCGLFILYUD1)()()()(得控制器的脉冲传递函数为得控制器的脉冲传递函数为)()()(1zzzKYKCGLFILU将脉冲传递函数转将脉冲传递函数转换为差分方程
22、,就换为差分方程,就可以在计算机上实可以在计算机上实现数字控制器。现数字控制器。2022-8-624 ,无阻尼自然频率,无阻尼自然频率 ;观测器极点所对应的衰减速度比控制极点所对应的观测器极点所对应的衰减速度比控制极点所对应的衰减速度快约衰减速度快约3 3倍。倍。例例5 53 3 设被控对象的传递函数为设被控对象的传递函数为 ,采样,采样周期周期 ,采用零阶保持器,试设计状态反馈控制器,采用零阶保持器,试设计状态反馈控制器,要求:要求:sT1.0)10(10)(sssG6.0 4 n 闭环系统的性能相应于二阶连续系统的阻尼比闭环系统的性能相应于二阶连续系统的阻尼比解解 被控对象的等效微分方程为
23、被控对象的等效微分方程为)(10)(10)(tutyty 定义两个状态变量定义两个状态变量)()()()(121txtxtytx 2022-8-625则被控对象的连续状态空间表达式则被控对象的连续状态空间表达式)(100)()(10010)()()()(2121tutxtxtutxtxtxBA)()(01)()(21txtxttCxy离散状态空间表达式离散状态空间表达式)()()()()1(kkkkkCxyGuFxx368.00063.010)1(1.011010TTTeeeAF其中:其中:632.0037.011.01.0d10100TTTeeTteBGTA01C2022-8-626判断被控
24、对象的能控性和能观性判断被控对象的能控性和能观性 2233.0632.0077.0037.0rankrankFGG2063.0101rankrankCFC因此,被控对象是能控且能观的。因此,被控对象是能控且能观的。根据能控性判据和能观性判据根据能控性判据和能观性判据 设计状态反馈控制规律设计状态反馈控制规律L 设状态反馈控制规律为设状态反馈控制规律为 ,对应的特征方程为,对应的特征方程为 21llL 21632.0037.0368.00063.0100llzzzGLFI)632.0026.0368.0()632.0037.0368.1(21212llzllz 0 2022-8-627根据对闭环
25、极点的要求,对应的极点和特征方程为根据对闭环极点的要求,对应的极点和特征方程为2.34.2122,1jsnn 248.0747.032.024.02,1jeezjsT )248.0747.0()248.0747.0()(jzjzzc 0620.0494.12 zz由由 ,可得,可得)(zGLFI zc 620.0632.0026.0368.0494.1632.0037.0368.12121llll解得解得L L1 12 2,L L2 20.3170.317,即,即 317.02 L2022-8-628 设计状态观测器设计状态观测器 选用现时观测器,设观测器增益矩阵为选用现时观测器,设观测器增益
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