计算机应用数学3-课件2.ppt

1、第第3 3章章 导数的应用导数的应用3.2 3.2 函数的单调性和极值函数的单调性和极值3.2.1 3.2.1 函数的单调性函数的单调性3.2.2 3.2.2 函数的极值函数的极值,0)(Ixxf(递减).证证:无妨设任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故.)()(21xfxf证毕则 在 I 内单调递增)(xf若定理定理 1.设函数)(xf0)(xf,)0)(xf在开区间 I 内可导,一、一、函数单调性的判定法函数单调性的判定法)(xf的单调增单调增区间为);,2(故)(xf的单调减单调减区间为,)1,().2,1(例例1.确定函

2、数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(2112xoy12例例2.证明证明20 x时,成立不等式.2sinxx证证:令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx0且,)2,0()(内单调递减在因此xf从而2,0(,2sinxxx0)2()(fxf,2)(处左连续在又xf因此1xtanx例例3.证明0tanxx令,tan)(xxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()

3、(2上递减在x从而0)0()(x即),0(,0tan2xxx一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf,),(0bax，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时,)()(0 xfxf(1)则称 为 的极大点极大点,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值;)(0 xf,)()(0 xfxf(2)则称 为 的极小点极小点,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值.)(0 xf极大点与极小点统称为极值点极值点.31292)(23xxxxf例如例如1x为极大点,2)1(f是极大值 2x为极小点,1)2(f是极小值 注意注意:2)对常见函数,极值可能出现在导数

4、为 0 或 不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.12xoy1241,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点3x1x4x2x5xxaboy定理定理 1(极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1)(xf“左左正正右右负负”,.)(0取极大值在则xxf(2)(xf“左左负负右右正正”,;)(0取极小值在则xxf例例4.求函数求函数32)1()(xxxf的极值.解解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx2)求极值可疑点令,0)(xf得;521x令,)(xf得02x3)列表判别x)(xf)(xf0

5、520033.0)0,(),0(52),(520 x是极大点，其极大值为0)0(f是极小点，其极小值为52x33.0)(52f例例5.求函数1)1()(32 xxf解解:1)求导数,)1(6)(22xxxf2)求驻点令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx3)判别)15)(1(6)(22 xxxf因,06)0(f故 为极小值;0)0(f又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1内容小结内容小结1.可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xfIxxf,0)()(xf在 I 上单调递增在 I 上单调递减2.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0 或不存在的点(2)第一充分条件)(xf 过由正正变负负)(0 xf为极大值)(xf 过由负负变正正)(0 xf为极小值(3)第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxf试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(思考题思考题.32x在时取得极值,还是极小.求出该极值,并指出它是极大解解:)(xf由题意应有)32(f2a又)(xf)32(f )(xf取得极大值为3)(32f,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0