计算机应用数学8-课件2(2).ppt

1、第第8 8章章 多元函数微积分多元函数微积分8.2 8.2 偏导数和全微分偏导数和全微分8.2.4 8.2.4 复合函数的求导法则复合函数的求导法则8.2.5 8.2.5 隐函数的求导法则隐函数的求导法则证明证明);()(tttv .)(),(),(),()()(dtdvvzdtduuzdtdztttfzvuvufzttvtu 下列公式计算下列公式计算可导，且其导数可用可导，且其导数可用在对应的在对应的数数合函合函具有连续偏导数，则复具有连续偏导数，则复在对应点在对应点函数函数可导，可导，都对都对及及如果如果定理定理 一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则，获得增量获得增量设设tt ),

2、()(tttu 则则,21vuvvzuuzz tvtutvvztuuztz 21 ,lim0dtdutut ,lim0dtdvtvt 有连续偏导数，有连续偏导数，在点在点由于函数由于函数),(),(vuvufz 时，时，当当 00 vu,000 vut，时，时，当当tzdtdzt 0lim.dtdvvzdtduuz 所以所以.0021 ，上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.dtdzuvwtz.称为全导数称为全导数以上公式中的导数以上公式中的导数dtdz),(wvufz 如如),(),(),(twwtvvtuu 则则dtdvvz .dtdww

3、z dtduuz 上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：多元函数的情况：).,(),(yxyxfz .),(),(),(),(),(),(),(),(yvvzyuuzyzxvvzxuuzxzyxyxyxfzvuvufzyxyxyxvyxu ，可用下列公式计算可用下列公式计算的两个偏导数存在，且的两个偏导数存在，且点点在对应在对应数数连续偏导数，则复合函连续偏导数，则复合函具有具有在在的连续偏导数，且函数的连续偏导数，且函数和和具有对具有对在点在点及及如果如果 uvxzy多元复合函数的求导法则，如下图所示多元复合函数的求导法则，如下图

4、所示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv zwvuyx.),(),(),(),(),(),(),(),(,),(),(ywwzyvvzyuuzyzxwwzxvvzxuuzxzyxyxwyxyxfzwvuwvufzyxyxyxwwyxvyxu ，下列公式计算下列公式计算偏导数都存在，且可用偏导数都存在，且可用的两个的两个在对应点在对应点合函数合函数具有连续偏导数，则复具有连续偏导数，则复在在的连续偏导数，且函数的连续偏导数，且函数和和具有对具有对在点在点，设设推广：推广：解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yvvzyuu

5、zyz 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu .,sin 1yzxzyxvxyuvezu 和和求求而而设设例例.,sin,),(22222yuxuyxzezyxfuzyx 和和求求而而设设例例解解 xu.)sin21(22422sin22yxyxeyxx yu.)cossin(22422sin4yxyxeyyxy yxezzyxsin22222 yxezzyxcos22222 xf2222zyxex 2222zyxey yzzfyf xzzf 解解 dtdzttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet .,cos,sin

6、3dtdztveutuvzt求全导数求全导数而而设设例例 dtdvvz tz dtduuz 解解 令令,zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf .),(4 2zxwxwfxyzzyxfw 和和偏导数，求偏导数，求具有二阶连续具有二阶连续设设例例 zxw2)(21fyzfz zf 1 zf1 zuuf1;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxy

7、f zvvf 1;22zfyzf y .),(),(;),(dyyzdxxzdzyxvyxudvvzduuzdzvufz 有时有时当当全微分全微分具有连续偏导数，则有具有连续偏导数，则有设函数设函数 二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性.式是一样的式是一样的的函数，它的全微分形的函数，它的全微分形、的函数还是中间变量的函数还是中间变量、是自变量是自变量无论无论vuvuz全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质：dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz ,),(,),(),(yxvyxuvufz ，设

8、设 ),(),(的全微分为的全微分为则复合函数则复合函数yxyxfz 解解,0)2(zxyezed,02)(dzedzxydezxy,0)2()(dzeydxxdyezxy,)2()2(dyexedxeyedzzxyzxy xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe.02 5yzxzezezxy 和和，求，求已知已知例例),()2(ydxxdyedzexyz 所以所以(1).0),(.1 yxF一个方程的情形一个方程的情形.(2),()(),(0),(,0),(,0),(),(),(1 0000000000yxyFFdxdyxfyxfyyxPyxFyxFyxFyxPyxF 并有并有，它满

9、足条件，它满足条件导数的函数导数的函数连续连续定一个单值连续且具有定一个单值连续且具有某一邻域内恒能唯一确某一邻域内恒能唯一确的的在点在点则方程则方程且且偏导数，且偏导数，且某一邻域内连续某一邻域内连续的的在点在点设设隐函数存在定理隐函数存在定理三、隐函数求导公式三、隐函数求导公式,0)(,(xfxF,0 dxdyyFxF.yxFFdxdy )1()()1(，得恒等式，得恒等式带入带入所确定的函数所确定的函数将方程将方程xfy 求全导数，得到求全导数，得到等式两端对等式两端对 x于是得于是得内内某一邻域，在这个邻域某一邻域，在这个邻域的的所以存在点所以存在点连续，且连续，且由于由于,0),()

10、,(,0),(0000 yxFyxyxFFyyy导，得到导，得到的复合函数而再一次求的复合函数而再一次求两端看作两端看作的的把等式把等式的二阶偏导数也连续，的二阶偏导数也连续，如果如果 )2(),(xyxFdxdyFFyFFxdxydyxyx)()(22 2yxyxyxxFFFFF .2322yxyyyxyyxxFFFFFFF )(2yxyxyyyxyFFFFFFF 解解 令令,1),(22 yxyxF则则,2xFx,2yFy,0)1,0(F,02)1,0(yF.0 )(1 0 )1,0(01 1 22的值的值二阶导数在二阶导数在，并求这函数的一阶和，并求这函数的一阶和函数函数的隐的隐时时可导

11、、且可导、且内能唯一确定一个单值内能唯一确定一个单值的某邻域的某邻域在点在点验证方程验证方程例例 xxfyyxyx.)(1 0 )1,0(01 22xfyyxyx 函数函数的隐的隐时时可导、且可导、且内能唯一确定一个单值内能唯一确定一个单值的某邻域的某邻域在点在点依定理知方程依定理知方程yxFFdxdy ,yx ,00 xdxdy 22dxyd2yyxxy ,13y .1022 xdxyd2yyxy 函数的一阶导数和二阶导函数的一阶导数和二阶导数数解解令令则则,ln),(22xyarctgyxyxF ),(yxFx),(yxFyyxFFdxdy .xyyx ,22yxyx ,22yxxy .,

12、ln 222dxdyxyarctgyx求求已知已知例例 (3).0),(.2 zyxF(4).,),(),(),(0),(,0),(,0),(),(),(2 000000000000000zyzxzFFyzFFxzyxfzyxfzzyxPzyxFzyxFzyxFzyxPzyxF ，它满足条件，它满足条件偏导数的函数偏导数的函数连续且具有连续连续且具有连续定一个单值定一个单值的某邻域内恒能唯一确的某邻域内恒能唯一确在点在点则方程则方程且且偏导数，且偏导数，且某一邻域内有连续某一邻域内有连续的的在点在点设设隐函数存在定理隐函数存在定理,0),(,(yxfyxF,0 xzzFxF,zxFFxz )3

13、(),()3(恒等式恒等式，得，得带入带入所确定的函数所确定的函数将方程将方程yxfz y 求导，得到求导，得到和和将上式两端分别对将上式两端分别对 x于是得于是得内内的一邻域，在这个邻域的一邻域，在这个邻域所以存在点所以存在点连续，且连续，且由于由于,0),(),(,0),(000000 zyxFzyxzyxFFzzz,0 yzzFyF.zyFFyz 解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx,42 zFzzxFFxz )2(22zxxxz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz .,04 322222xzzzyx 求求设设例例,2zx

14、 .,3 433xzaxyzz求求设设例例 解解,3yzFx :直接法直接法解得解得:全微分法全微分法 ,22dyxyzxzdxxyzyzdz .2xyzyzzx ,3),(33axyzzzyxF 令令 求偏导数，得求偏导数，得方程的两边对方程的两边对 x,0333 2 xxxyzyzzz.2xyzyzzx ,332xyzFz zxxFFz 则则.2xyzyz 于是于是:公式法公式法 变性，得变性，得应用一阶全微分形式不应用一阶全微分形式不解解 令令,zyxu ,xyzv 则则),(vufz xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1 vuvufxyffyzf 求偏导数得求偏导数得的函数对的函数对，看作看作把把xyxz5(,),.zxyzf xyz xyzxyz例求)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvufyzffxzf yx )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvufxzffxyf 求偏导数得求偏导数得的函数对的函数对，看作看作把把 yyzx 求偏导数得求偏导数得的函数对的函数对，看作看作把把zzxy