计算机应用数学6-课件2(2).ppt

1、第第6 6章章 无穷级数无穷级数6.2 6.2 幂级数幂级数6.2.2 6.2.2 函数展开成幂级数函数展开成幂级数上节例题上节例题).11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收敛域存在幂级数在其收敛域内以内以 f f(x x)为和函数为和函数问题问题:2.2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?.1na如果能展开，怎么确定如果能展开，怎么确定一、泰勒级数一、泰勒级数证明证明即即内收敛于内收敛于在在),()()(000 xfxUxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010.),

2、2,1,0()(!1 )()()()()()(1 0)(00000且展开式是唯一的且展开式是唯一的则其系数则其系数即即的幂级数，的幂级数，内能展开成内能展开成数，且在数，且在内具有任意阶导内具有任意阶导在在如果函数如果函数定理定理 nxfnaxxaxfxxxUxUxfnnnnn )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ),2,1,0()(!10)(nxfnann系数是唯一的系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次,得得问题问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收

3、敛区间是否收敛于f f(x x)?)?不一定不一定.nnnxxnxfxf)(!)()(000)(?.)()(!)()(0000)(0的泰勒级数的泰勒级数在点在点称为称为数数处任意阶可导，则幂级处任意阶可导，则幂级在点在点如果如果定义定义xxfxxnxfxxfnnn .0 )(!)0(00)(的麦克劳林级数的麦克劳林级数在点在点称为称为 xxfxnfnnn 0,00,)(21xxexfx例如例如),2,1,0(0)0()(nfn且且,0 )(0 nnxxf的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为.0)(),(xs内和函数内和函数该级数在该级数在可见可见.)()(,0 xfxfx收敛于收敛于的麦克劳林级数

4、处处不的麦克劳林级数处处不外外除除 在在 x=x=0 0 点任意可导点任意可导,证明证明 必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设设xf)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0.0)(lim )()()()(2 000 xRxUxfxUxxfnn内内在在收敛于收敛于内内的泰勒级数，在的泰勒级数，在在点在点定理定理 充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn ,0),()(lim 1xfxsnn 即即

5、).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于.),()(),2,1()(),(0,M,)()(3 000)(000的泰勒级数的泰勒级数成点成点内可展开内可展开在在则则恒有恒有对对上有定义上有定义在在设设定理定理xRxRxxfnMxfRxRxxxUxfn 证明证明10)1()()!1()()(nnnxxnfxR,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010内收敛内收敛在在 nnnxx,0)!1(lim10 nxxnn,0)(lim xRnn故故.0的泰勒级数的泰勒级数可展成点可展成点 x),(00RxRxx 1.1.直接法直接法(泰勒级数法泰勒级数法)步骤步骤:;!

6、)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数解解 .)(1的的幂幂级级数数展展开开成成将将例例xexfx,)()(xnexf),2,1,0(.1)0()(nfn nxxnxxe!1!2112,0 M,上上在在MM xnexf)()(Me),2,1,0(n nxxnxxe!1!2112由于由于 M M 的任意性的任意性,即得即得).,(!1!2112 xxnxxenx.sin)(2的幂级数的幂级数展开成展开成将将例例xxxf 解解),2sin()()(nxx

7、fn ,2sin)0()(nfn,0)0()2(nf,)1()0()12(nnf ),2,1,0(n)()(xfn且且)2sin(nx ,1),(x )!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn).,(x有有时时当当,21,1 )1,1()1(11132 nnxxxxx 1,1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1,1(!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx).1,1(x nxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(32 例例2.2.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性,利用常见展开式利用常见展

8、开式,通过变量代通过变量代换换,四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导,逐项积分逐项积分等方法等方法,求展开式求展开式.例如例如)(sincos xx )!2()1(!41!211cos242nxxxxnn).,(x )!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn xxdxx 0 21arctan 12)1(51311253nxxxxnn.1,1 x)1ln(x nxxxxnn 132)1(3121.1,1(x 0 0 2)1(nxnndxx xxdx 0 1 0 0 )1(nxnndxx xnnndxx002)1(xnnndxx00)1(解解.)1()1(1 41)(4 )(nfxxxxxf并求并求的幂级数的幂级数展开成展开成模型模型处展开成泰勒级数处展开成泰勒级数在在将将例例 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311312 nxxx.31 xxxxx 41)1(41 3)1(3)1(311)1(311122 nnxxxx.31 x!)1()(nfn.3!)1()(nnnf 故故,31n于是于是3111)1(31 xx nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(313322