课件：大地测量学基础[1].(8)(控制)ppt.ppt

1、第八章第八章 椭球面元素归算至高斯平面椭球面元素归算至高斯平面 高斯投影高斯投影 高斯在高斯在1820182018301830年间在对德国汉诺威三年间在对德国汉诺威三角测量成果进行数据处理时提出。角测量成果进行数据处理时提出。史赖伯于史赖伯于18661866年出版的名著汉诺威大地年出版的名著汉诺威大地测量投影方法的理论中进行了整理和加测量投影方法的理论中进行了整理和加工。工。克吕格克吕格19121912年对高斯投影进行了比较深入年对高斯投影进行了比较深入的研究和补充，从而使之在许多国家得以的研究和补充，从而使之在许多国家得以应用，称之为高斯应用，称之为高斯.克吕格投影。克吕格投影。南京工业大学

2、土木学院18.1 8.1 高斯投影概述高斯投影概述8.1.18.1.1控制测量对地图投影的要求控制测量对地图投影的要求应当采用等角投影应当采用等角投影(又称为正形投影又称为正形投影)长度和面积变形不大长度和面积变形不大 能按高精度的、简单的、同样的计算公式能按高精度的、简单的、同样的计算公式把各区域联成整体把各区域联成整体 南京工业大学土木学院28.1.28.1.2高斯投影描述高斯投影描述 想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线面，并与某一条子午线(此子午线称为中央此子午线称为中央子午线或轴子午线子午线或轴子午线)相切，椭圆柱的中心轴相切，

3、椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面成为投影面 。我国规定按经差我国规定按经差6 6和和3 3进行投进行投影分带。影分带。南京工业大学土木学院3 工程测量控制网也可采用工程测量控制网也可采用.5.5带或任意带或任意带，但为了测量成果的通用，需同国家带，但为了测量成果的通用，需同国家6 6或或3 3带相联系。带相联系。高斯投影高斯投影6 6带，自带，自0 0子午线起每隔经差子午线起每隔经差6 6

4、自西向东分带，依次编号自西向东分带，依次编号1 1，2 2，3 3，。我国我国6 6带中央子午线的经度，由带中央子午线的经度，由6969起每起每隔隔6 6而至而至135135，共计，共计1212带，带号用带，带号用n n表示，表示，中央子午线的经度用中央子午线的经度用表示，它们的关系表示，它们的关系是是 高斯投影高斯投影3 3带，带，L L南京工业大学土木学院4高斯平面直角坐标高斯平面直角坐标南京工业大学土木学院5ySxNo南京工业大学土木学院6 在我国在我国x x坐标都是正的，坐标都是正的，y y坐标的最大值坐标的最大值(在在赤道上赤道上)约为约为330330kmkm。为了避免出现负的横为了

5、避免出现负的横坐标，可在横坐标上加上坐标，可在横坐标上加上500 000500 000m m。此外此外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。为国家统一坐标。Y=19 123 456.789mY=19 123 456.789m，该点位在该点位在1919带内，其带内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首相对于中央子午线而言的横坐标则是：首先去掉带号，再减去先去掉带号，再减去500 000500 000m m，最后得最后得y=-y=-376 543.211m376 543.211m。南京工业大学土木学院7 高斯投影由于是正形投影，故保证了投影高斯投

6、影由于是正形投影，故保证了投影的角度的不变性，图形的相似性以及在某的角度的不变性，图形的相似性以及在某点各方向上的长度比的同一性。由于采用点各方向上的长度比的同一性。由于采用了同样法则的分带投影，这既限制了长度了同样法则的分带投影，这既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行由于变形引起的各的简便公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。也能用相同的公式和方法进行。南京工业大学土木学院8 8.1.3 8.1.3 椭球面元素化算到高斯投影面椭球面元

7、素化算到高斯投影面 椭球面三角形投影后变为边长椭球面三角形投影后变为边长s si i的曲的曲线三角形，且这些曲线都凹向纵坐标轴线三角形，且这些曲线都凹向纵坐标轴 南京工业大学土木学院9将椭球面三角系归算到高斯投影面将椭球面三角系归算到高斯投影面 1)1)将起始点将起始点P P的大地坐标的大地坐标(L L，B)B)归算为高归算为高斯平面直角坐标斯平面直角坐标x,yx,y；为了检核还应进行反为了检核还应进行反算，亦即根据算，亦即根据x,yx,y反算反算B B，L L，这项工作统称这项工作统称为高斯投影坐标计算。为高斯投影坐标计算。2)2)将椭球面上起算边大地方位角归算到将椭球面上起算边大地方位角归

8、算到高斯平面上相应边高斯平面上相应边P PK K的坐标方位角，这的坐标方位角，这是通过计算该点的子午线收敛角是通过计算该点的子午线收敛角及方向及方向改化改化实现的。实现的。南京工业大学土木学院10 3)3)将椭球面上各三角形内角归算到高斯平将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。这面上的由相应直线组成的三角形内角。这是通过计算各方向的曲率改化即方向改化是通过计算各方向的曲率改化即方向改化来实现的。来实现的。4)4)将椭球面上起算边将椭球面上起算边PKPK的长度的长度S S归算到高归算到高斯平面上的直线长度斯平面上的直线长度s s。这是通过计算距离这是通过计算距离改化

9、改化实现的。实现的。南京工业大学土木学院11 要将椭球面三角系归算到平面上，包括坐要将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改化、距离改化和子午线收敛角标、曲率改化、距离改化和子午线收敛角等项计算工作。等项计算工作。当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将各投影带联成统一的整体，还需要进行平各投影带联成统一的整体，还需要进行平面坐标的邻带换算。面坐标的邻带换算。南京工业大学土木学院12 8.2 8.2 正形投影的一般条件正形投影的一般条件特点特点:正形投影中长度比与方向无关但随点位而异正形投影中长度比与方向无关但随点位而异8.2.1 8.2.1 长度比的通用公

10、式长度比的通用公式 投影前长度投影前长度 投影后长度投影后长度南京工业大学土木学院13222dsdxdy222()(cos)dSMdBNBdl令令:则则:南京工业大学土木学院1422222222222()(cos)(cos)cosdsdxdymdSMdBNBdldxdyMdBNBdlNBBNMdBdqcosBBNMdBq0cos则长度比则长度比 的表达式为的表达式为:由上式全微分得由上式全微分得:将其代入上式并令将其代入上式并令 南京工业大学土木学院15m222222()()dxdymrdqdl(,)xx l q(,)yy l qxxdxdqdlqlyydydqdlql南京工业大学土木学院16

11、2222()()()()xyEqqxxyyFqlqlxyGll8.2.2 8.2.2 柯西柯西.黎曼条件黎曼条件 代入代入 式式:南京工业大学土木学院172 31 3(90)PPMdBdqtgAPPrdldldltgAdq2m222222()2()()()()()E dqF dq dlG dlmrdqdl并化简得并化简得:如前所述如前所述,欲使投影为正形投影欲使投影为正形投影,则则 应与应与 无关无关,为此为此,必须满足必须满足:南京工业大学土木学院18m22222cos2 sincossincosEAFAA GAmNBA0,FEG(,)xx l q(,)yy l q即即:由第一式得由第一式得

12、:代入第二式代入第二式 南京工业大学土木学院192222()()()()0()()()()xxyyqlqlxyxyqqllyyxqlxlq 得得:消去共同项得消去共同项得:南京工业大学土木学院20222222()()()()()()yxyxylxqqqqq22()()xyql将上式开方并代入由第一式得到的表达式得将上式开方并代入由第一式得到的表达式得:上式就是著名的柯西上式就是著名的柯西黎曼微分方程式黎曼微分方程式南京工业大学土木学院21xyqlxylq 通常我们在选取椭球面和平面的坐标轴时通常我们在选取椭球面和平面的坐标轴时要求椭球面上沿经线方向要求椭球面上沿经线方向 增加时增加时,平面上的

13、平面上的 也增加，即也增加，即 要求为正，要求为正，沿经线方向沿经线方向 增加时增加时,平面上的也增加，即平面上的也增加，即 要求要求 也为正。也为正。南京工业大学土木学院22qxxqlyylxyqlxylq 顺便指出，在满足顺便指出，在满足 的条的条件下：件下：上式在今后推导长度比公式时常用到上式在今后推导长度比公式时常用到南京工业大学土木学院230,FEG222222222222221()()coscos1()()coscosExymNBNBqqGxymNBNBll8.3 8.3 高斯投影坐标正反算公式高斯投影坐标正反算公式8.3.18.3.1高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式高斯投

14、影必须满足以下三个条件：高斯投影必须满足以下三个条件：(1)(1)中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后为直线；(2)(2)中央子午线投影后长度不变；中央子午线投影后长度不变；(3)(3)投影具有正形性质，即正形投影条件。投影具有正形性质，即正形投影条件。南京工业大学土木学院24复变函数中有关保角映射的定义及定理复变函数中有关保角映射的定义及定理定义：凡是具有保角性和伸缩率不变性的映定义：凡是具有保角性和伸缩率不变性的映 射称为保角映射。射称为保角映射。定理：如果函数定理：如果函数 在在 处解析，且处解析，且 那么这个映射那么这个映射 在在 处是保角的。处是保角的。定理定理（关于函数解析的充

15、要条件）（关于函数解析的充要条件）函数函数 在其定义在其定义 域域 内解析的充要条件是：内解析的充要条件是：和和南京工业大学土木学院25()wf z0()0fz0zD()(,)(,)f zu x yi v x y(,)u x y0z 在在 内任意一点内任意一点 可可微，且满足柯西微，且满足柯西黎曼条件方程式：黎曼条件方程式：由于高斯投影是正形投影，故由于高斯投影是正形投影，故 和和必须满足正形投影公式：必须满足正形投影公式：用复变函数理论可证明上式是保角映射，即用复变函数理论可证明上式是保角映射，即可证明：可证明：南京工业大学土木学院26(,)v x yD,uvuvxyyx zxiy,q l(

16、)xiyf qil,x y,xyxyqllq 说明：说明：是将椭球面正是将椭球面正形投影到平面上的一般公式形投影到平面上的一般公式在椭球面上过在椭球面上过 作一平行圈与中央子午线作一平行圈与中央子午线相交于相交于 处，设赤道到处，设赤道到 的子午线弧的子午线弧 长为长为 南京工业大学土木学院27()xiyf qillPH0LX0()B qxh0Ll0Lp()B q0()yxf qXyPHHXLN 点点 在平面上的投影点为在平面上的投影点为 ，它的纵坐标，它的纵坐标为为 由于高斯投影规定中央子午线投影为由于高斯投影规定中央子午线投影为 轴，轴，且长度保持不变，即且长度保持不变，即 则则 且且 高

17、斯投影中规定高斯投影中规定 为一小量，故为一小量，故 可按台劳级数在可按台劳级数在 点上展开，得：点上展开，得：南京工业大学土木学院28Hh0yxX0l 0y l1()()()!nnnndf qilxiyf qdqn0()yxf qX()x iyf q ilH因为：因为：故上式可改写为：故上式可改写为：有复数相等的条件得：有复数相等的条件得：南京工业大学土木学院2912342342341()!11()264!nnnnni iid Xi lxiyXdqndXd Xi d Xd XXi llllX Ydqdqdqdq()f qX2244662462246!l d Xld Xl d XxXdqdqd

18、q33557735765!7!dXl d Xl d Xl d Xyldqdqdqdq因为因为：所以：所以：其次：其次：南京工业大学土木学院30cosdBNBdqMdXM dBcoscosdXdX dBNBMNBdqdB dqM22()cossindXdXdXdBNBBdqdBdqdq 继续求得：继续求得：南京工业大学土木学院3133223cos(1)dXNBtdq432244sincos(594)dXNBBtdq55242225cos(5181458)dXNBtttdq 代入代入 南京工业大学土木学院322244662462246!l d Xld Xl d XxXdqdqdq335577357

19、65!7!dXl d Xl d Xl d Xyldqdqdqdq得：得：南京工业大学土木学院332232244452466sincos2sincos(594)24sincos(61 58)72NxXBB lNBBtlNBBttl得：得：南京工业大学土木学院343223352422255coscos(1)6cos(5 181458)120NNyB lBtlNBtttl8.3.28.3.2高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式 在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面，投影面是椭球面，已知的是平面坐标面，投影面是椭球面，已知的是平面坐标(x,y)x,y)，要求的是大

20、地坐标要求的是大地坐标(B B，L)L)，相应地有相应地有如下投影方程如下投影方程:同正算一样，对投影函数提出三个条件：同正算一样，对投影函数提出三个条件：(1)(1)x x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴轴;),(),(21yxlyxB南京工业大学土木学院35(2)(2)x x轴上的长度投影保持不变；轴上的长度投影保持不变；(3)(3)正形投影条件。正形投影条件。反算公式的推导基本思路是反算公式的推导基本思路是:首先根据首先根据 计算纵坐标在椭球面上的投影的垂足纬度计算纵坐标在椭球面上的投影的垂足纬度 ,接着计算接着计算 及经差及经差 ,最后得到最后

21、得到:南京工业大学土木学院36fBlx()fBB0()ffBBBBLLl 已知已知 求求 ，这是高斯投影的反，这是高斯投影的反算问题。因投影是正形的，故算问题。因投影是正形的，故 与与必须满足：必须满足：式中式中 值和椭球半值和椭球半径相比也是不大的，故径相比也是不大的，故上式可在点上式可在点 的底点的底点处按台劳级数展开，处按台劳级数展开，点的坐标为点的坐标为 南京工业大学土木学院37y()qilxiy,x y,B L,x y,q lfpOyxxLypl()B qhffx()fofxX于是有于是有:根据高斯投影条件根据高斯投影条件2 2：中央子午线投影后应：中央子午线投影后应为为 轴，且长度

22、保持不变，故有轴，且长度保持不变，故有 则：则：即：即：且且:(:(为底点为底点 的子午线弧长的子午线弧长)故故:南京工业大学土木学院381()()()!nnnndxiyqilxdxn0()lqx0y 0l xfxXffX0()lfqX所以有所以有:再根据再根据:可进一步导出其他各阶导数可进一步导出其他各阶导数,将各阶导数代入将各阶导数代入 南京工业大学土木学院3911cosdqdXdXNBdq1()!nnnfndqiyqilqdXn1()!nnnfndqiyqilqdXn并把虚实两部分分开并把虚实两部分分开,可得可得:南京工业大学土木学院4022332422 25511(12)cos6cos

23、1(5282468)120cosffffffffffffflytyNBNBtttyNB2222444242226612cos1(564)24cos1(611801204648)720cosffffffffffffffffffqqt yNBttyNBttttyNB 实际应用时实际应用时,还应把还应把 换以换以 ，为此要运用下面两式：，为此要运用下面两式：南京工业大学土木学院41()fqq()fBB234512345Bdqdqdqdqdq 2100224200003222 244 230000 000 04222 240000 05245000cos(1)1cos(143)21cos(151372

24、7)61cos(55640)241cos(518)120dBdtBdBtttdBttdBtt 先将该两式中凡有下标先将该两式中凡有下标0 0的各量换以下标的各量换以下标 随后将上式中的随后将上式中的 一律用推导一律用推导出来的结果代入，经整理后便得：出来的结果代入，经整理后便得：南京工业大学土木学院42ffqqq 22224324652(539)24(619045)720fffffffffffffffftBByMNtttyMNtttyMN 8.3.38.3.3高斯投影坐标正反算公式的几何解释高斯投影坐标正反算公式的几何解释南京工业大学土木学院432424()xXm lm lXX 反算公式：反算

25、公式：南京工业大学土木学院442424()ffBBn yn yBB 高斯投影的特点高斯投影的特点 (1)(1)当当 等于常数时，随着等于常数时，随着B B的增加的增加x x值增大，值增大，y y值减小；又因，所以无论值减小；又因，所以无论B B值为正或负，值为正或负，y y值不变。这就是说，椭球面值不变。这就是说，椭球面上除中央子午线外，其他子上除中央子午线外，其他子午线投影后，均向中央子午午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同线弯曲，并向两极收敛，同时还对称于中央子午线和时还对称于中央子午线和赤道。赤道。南京工业大学土木学院45l(2)(2)当当B B等于常数时，随着等于常数时，随

26、着l l的增加，的增加，x x值和值和y y值值都增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬都增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互相垂直凹向两极。午线的投影曲线互相垂直凹向两极。(3)(3)距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大。愈厉害，长度变形也愈大。南京工业大学土木学院468.4 高斯投影坐标计算的实用公式及 算例 8.4.1 8.4.1 高斯投影正算公式高斯投影正算公式:纵坐标：纵坐标：南京工业大学土木学院472232244452466sincos2sin

27、cos(594)24sincos(61 58)72NxXBB lNBBtlNBBttl横坐标：横坐标：南京工业大学土木学院483223352422255coscos(1)6cos(5 181458)120NNyB lBtlNBtttl在编表时引用下列符号在编表时引用下列符号:32241624sincos(594)1024NaBBt52466sincos(61 58)72xNBBttl南京工业大学土木学院492810ll812sincos102NaBB同样同样南京工业大学土木学院501cosNbB l322823cos(1)106NbBt52422255cos(5 181458)120yNBtt

28、tl于是有于是有:这就是用于查表的实用公式这就是用于查表的实用公式 都可以纬度为引数都可以纬度为引数,和和 以以 为引数。其中为引数。其中 需进需进行二次内插行二次内插南京工业大学土木学院511212()()xyxXl aa lylbb l1212,Xaabbxy,B l1,X b8.4.2.8.4.2.高斯投影反算公式高斯投影反算公式南京工业大学土木学院5222224324652(539)24(619045)720fffffffffffffffftBByMNtttyMNtttyMN 经差经差 ：南京工业大学土木学院5322332422 25511(1 2)cos6cos1(5 282468)

29、120cosffffffffff ffflytyNBNBtttyNBl在编表时引用下列符号在编表时引用下列符号:南京工业大学土木学院54101102ffftAMN21010yy 22 22023(5 39)1024ffffffftAttM N同样：同样：南京工业大学土木学院552221(12)cos6ffffBtBN2651(619045)720Bffftt yN M2422 255(5 4432216)360coslffffffftttyNB于是有于是有:南京工业大学土木学院5612()llybB y12()()fBBBy AA y0()ffBBBBLLl8.4.3.8.4.3.适用于电算的

30、高斯坐标计算公式适用于电算的高斯坐标计算公式1.1.高斯投影正算公式高斯投影正算公式:令：令：南京工业大学土木学院5722424222222422 22211159461 5822472011115 1814586120 x X Ntttt m m my Ntttt m m m lcos180mBl式中有关参数如下：式中有关参数如下：对于克拉索夫斯基椭球对于克拉索夫斯基椭球南京工业大学土木学院582263782450.006693421622970.006738525414686399698.90178ameecm 对于对于19751975国际椭球：国际椭球：其中子午线弧长其中子午线弧长 可按

31、下式计算：可按下式计算：对于克拉索夫斯基椭球：对于克拉索夫斯基椭球：南京工业大学土木学院592263781400.006694384999590.006739501819476399696.65199ameecm X对于克拉索夫斯基椭球：对于克拉索夫斯基椭球：对于对于19751975国际椭球：国际椭球：357111133.0047(32009.8575sin133.9602sin0.6976sin0.0039sin)cosXBBBBBB南京工业大学土木学院60357111134.8611(32005.7799sin133.9238sin0.6973sin0.0039sin)cosXBBBBBB

32、 当把有关克氏椭球参数代入原始式后，经当把有关克氏椭球参数代入原始式后，经过简单变化，可以得到更实用的正算电算公过简单变化，可以得到更实用的正算电算公式：式：22204622356367558.49690.5()sincos1()cosBxaaa ll l NBByaa ll lNB南京工业大学土木学院61 式中：式中：南京工业大学土木学院62022202222242263()6399698.902 21562.267(108.973 0.612cos)coscos32140.404 135.3302(0.7092 0.0040cos)coscos(0.25 0.00252cos)cos0.0

33、4166(0.166cos0.084)cos(0.3333333 0.LLlNBBBaBBBaBBaBBa222225001123cos)cos0.16666670.0083 0.1667(0.1968 0.0040cos)coscosBBaBBB 当把当把19751975国际椭球参数代入原始式后，经过简国际椭球参数代入原始式后，经过简单变化，可以得到更实用的正算电算公式：单变化，可以得到更实用的正算电算公式：22204622356367452.13280.5()sincos1()cosBxaaa ll l NBByaa ll lNB南京工业大学土木学院63式中：式中：222022222422

34、6236399596.652 21565.045(108.9960.603cos)coscos32144.5189 135.3646(0.70340.0041cos)coscos(0.250.00253cos)cos0.04167(0.167cos0.083)cos(0.33333330.001123cos)NBBBaBBBaBBaBBaB2225cos0.16666670.00878(0.17020.20382cos)cosBaBB南京工业大学土木学院642.2.高斯投影反算公式高斯投影反算公式:南京工业大学土木学院6522222242462232422251()21(539)()1 211

35、 8 0(6 19 04 5)()3 6 011()(12)()co s611 8 0(52 82 468)()1 2 0fffffffffffffffffffffffyBBVtNyttNyttNyyltBNNytttN 底点纬度底点纬度 可直接按下式求解：可直接按下式求解：对于克拉索夫椭球，当对于克拉索夫椭球，当 时时 南京工业大学土木学院663000XKmfB0234569.043522012940.000000496040.000753107330.000000843070.000004260550.00000010148fBXXXXXX当当 时：时：30006000Km XKm南京工业

36、大学土木学院6702345627.11115372595 9.02468257083(3)0.00579740442(3)0.00043532572(3)0.00004857285(3)0.00000215727(3)0.00000019399(3)fBXXXXXX对于对于19751975国际椭球：国际椭球：当当 时时 南京工业大学土木学院683000XKm0234569.043690663130.000000496180.000753255050.000000843300.000004261570.00000010150fBXXXXXX 当当 时时式中式中 均以均以“千公里千公里”为单位。为

37、单位。南京工业大学土木学院6930006000Km XKm02345627.11162289465 9.02483657729(3)0.00579850656(3)0.00043540029(3)0.00004858357(3)0.00000215769(3)0.00000019404(3)fBXXXXXXX 当把有关克氏椭球参数代入原始式后，经当把有关克氏椭球参数代入原始式后，经过简单变化，可以得到更实用的正算电算公过简单变化，可以得到更实用的正算电算公式：式：南京工业大学土木学院7022242223501(0.12)1()fBBbZZZ blbb ZZZLLl式中：式中：南京工业大学土木学

38、院712221022250221746 293622(235022cos)coscos 10sincos6367558.4969(cos)6399698.902 21562.267(108.973 0.612cos)coscosfffffffBBBBxyZNBNBBB且：且：2232242250.333333(0.1666670.001123cos)cos0.25(0.16161 0.00562cos)cos0.2(0.16670.0088cos)cosffffffbBBbBBbBB22(0.50.003369cos)sincosfffbBBB南京工业大学土木学院72 当把当把19751975

39、国际椭球参数代入原始式后，经过国际椭球参数代入原始式后，经过简单变化，可以得到更实用的正算电算公式：简单变化，可以得到更实用的正算电算公式：式中：式中：南京工业大学土木学院732224222351(0.147)1()fBBbZZZ blbb ZZZ2221050228976 293697(2383 22cos)coscos 10sincos()6367452.1328fBBx南京工业大学土木学院7422224223225(cos)(0.5 0.00336975cos)sincos0.25(0.161612 0.005617cos)cos0.3333333(0.1666667 0.001123c

40、os)cos0.2(0.16667 0.00878cos)cosffffffffffyZNBbBBBbBBbBBbBB8.5平面子午线收敛角公式 8.5.1 8.5.1平面子午线收敛角的定义平面子午线收敛角的定义 南京工业大学土木学院758.5.28.5.2公式推导公式推导 1.1.由大地坐标由大地坐标L L、B B计算平面子午线收敛角计算平面子午线收敛角的公式的公式 南京工业大学土木学院76南京工业大学土木学院77544232422cossin)242(151cossin)231(31sintanBlBttBlBtlB(1)(1)为为 的奇函数，而且的奇函数，而且 愈大，愈大，也愈也愈大；大

41、；(2)(2)有正负，当描写点在中央子午线以东有正负，当描写点在中央子午线以东时，时，为正；在西时，为正；在西时，为负；为负；(3)(3)当当 不变时，则不变时，则 随纬度增加而增大。随纬度增加而增大。南京工业大学土木学院78lll2.2.由平面坐标由平面坐标 计算平面子午线收敛角计算平面子午线收敛角的公式的公式 南京工业大学土木学院7932235245(1)3(253)15ffffffffffyytttNNytttN,x y8.6 8.6 方向改化公式方向改化公式南京工业大学土木学院808.6.18.6.1方向改化近似公式的推导方向改化近似公式的推导在球面上四边形在球面上四边形ABEDABE

42、D的内角之和等于的内角之和等于由于是等角投影，所以这两个四边形内角之由于是等角投影，所以这两个四边形内角之和应该相等，即和应该相等，即南京工业大学土木学院81360360abba12abba2PR360而而:南京工业大学土木学院822ADBEPDE2()()2ababyyxxR2()2abbamabyxxR1()2mabyyy8.6.28.6.2方向改化较精密公式方向改化较精密公式：上式精确至上式精确至 ，故通常用于二等三角，故通常用于二等三角测量计算。测量计算。南京工业大学土木学院830.01122112221212121()(2)61()(2)6mmxxyyRxxyyR 若若 ，则需用下面

43、的精密公式计算：，则需用下面的精密公式计算：250myKm南京工业大学土木学院8431221122222213321212122222131()(2)6()1()(2)6()mmmmmmmmmmyxxyyRRtyyyRyxxyyRRtyyyR 8.6.38.6.3实用公式及算例实用公式及算例南京工业大学土木学院85322223,2366()mbamammmbabmm mbammyyyfyRRyyyt yyyR 于是，可把方向改正的实用公式汇总如下：于是，可把方向改正的实用公式汇总如下：对于一等三角测量，有对于一等三角测量，有对于二等三角测量，有对于二等三角测量，有()(2)3()(2)3mab

44、baabmbababafxxyyfxxyy 南京工业大学土木学院86()()abmbaabambabf xxf xx 对于三、四等三角测量，有对于三、四等三角测量，有南京工业大学土木学院87()()abmbambambamf xx yf xx y 8.7 8.7 距离改化公式距离改化公式南京工业大学土木学院88DsS8.7.1 s8.7.1 s与与D D的关系的关系南京工业大学土木学院89vdsdDcossvdsD0cos221cosvvssdsvDs2)21(2028.7.28.7.2长度比和长度变形长度比和长度变形1.1.用大地坐标用大地坐标 表示的长度比表示的长度比 的公式的公式南京工业

45、大学土木学院90dsmdSm(,)Bl22222222()()1()()cosxyxyllmrNBll对对 求偏导：求偏导：或或南京工业大学土木学院91222sincoscoscos(1)2xNBBllyNNBBtll22211cos(1)2mlB 22221cos(1)2lmB 上式即为用大地坐标上式即为用大地坐标 求长度比的求长度比的近似公式，现不加推导直接写出更精确的长近似公式，现不加推导直接写出更精确的长度比的计算公式：度比的计算公式：南京工业大学土木学院92(,)B l22244211cos(1)21cos(54)24mlBlBt 或写成：或写成：式中：式中：南京工业大学土木学院93

46、24241md ld l 2224241cos(1)21cos(54)24dBdBt2.2.用平面坐标用平面坐标 表示的长度比表示的长度比 的公式的公式 为此取下式的主项，为此取下式的主项，解出解出3223352422255coscos(1)6cos(5 181458)120NNyB lBtlNBtttl南京工业大学土木学院94(,)x ymcosylNB 代入：代入：得：得：因为：因为：所以上式变为：所以上式变为：南京工业大学土木学院952212mymR21,NRMNM22211cos(1)2mlB 2221(1)2ymN同理也可以得到更精确的长度比公式：同理也可以得到更精确的长度比公式：或

47、写成：或写成：式中式中南京工业大学土木学院9624241224yymRR24241md yd y 2212dR44124dR下表给出长度比的大约数值下表给出长度比的大约数值(1)(1)长度比长度比 只与点的位置只与点的位置 或或 有关有关(2)(2)中央子午线投影后长度不变中央子午线投影后长度不变 (3)(3)当当 (或或 )时，时，恒大于恒大于1 1 南京工业大学土木学院97(,)B lm(,)x ym0y 0l(4)(4)长度变形长度变形 与与 （或或 ）成比成比例地增大例地增大,而对某一条子午线来说，在赤而对某一条子午线来说，在赤道处有最大的变形。道处有最大的变形。8.7.3 8.7.3

48、 距离改化公式距离改化公式 将椭球面上大地线长度将椭球面上大地线长度 描写在高斯投影描写在高斯投影面上，变为平面长度面上，变为平面长度南京工业大学土木学院982l2y(1)mDS2212mmyDSR 故距离改化公式为故距离改化公式为更精密的距离改化公式为更精密的距离改化公式为 上式计算精度可达上式计算精度可达 。要使计算要求。要使计算要求达达 ，则有更精确的距离改化公式，则有更精确的距离改化公式南京工业大学土木学院9922(1)2mmyDSR0.01m2222(1)224mmmyyDSRR0.001m即：即：南京工业大学土木学院100242224(1)22424mmmmmyyyDSRRR8.8

49、 8.8 高斯投影的邻带坐标换算高斯投影的邻带坐标换算(1)(1)位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带带(东、西带东、西带)的控制网的控制网南京工业大学土木学院101(2)(2)在分界子午线附近地区测图时，往往需要在分界子午线附近地区测图时，往往需要用到另一带的三角点作为控制，因此必须用到另一带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中将这些点的坐标换算到同一带中 (3)(3)当大比例尺当大比例尺(110 000(110 000或更大或更大)测图时，测图时，特别是在工程测量中，要求采用特别是在工程测量中，要求采用3 3带、带、1.51.5带或任

50、意带，而国家控制点通常只有带或任意带，而国家控制点通常只有6 6带坐标，这时就产生了带坐标，这时就产生了6 6带同带同3 3带带(或或1.51.5带、任意带带、任意带)之间的相互坐标换算之间的相互坐标换算问题。问题。南京工业大学土木学院1028.8.18.8.1用高斯投影正、反算公式进行邻带换算用高斯投影正、反算公式进行邻带换算 -间接换带间接换带 利用高斯投影正反算公式进行邻带坐标换利用高斯投影正反算公式进行邻带坐标换算的实质是把椭球面上的大地坐标作为过渡算的实质是把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。坐标。计算步骤计算步骤:(1)(1)(2)(2)求出求出 (对于相邻带中央子对于相邻带中央子