高等数学第三章导数与微分续课件.ppt

1、第第 三三 章章导导 数数 与与 微微 分分求导法则与导数公式求导法则与导数公式 导数的四则运算导数的四则运算复合函数的导数复合函数的导数 4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数4.1 隐函数的导数隐函数的导数 隐函数求导方法求导方法:0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y例例1求由方程求由方程2xyeeyxy0 x.0 xdxdy在在 处的导数处的导数所确定的隐函数所确定的隐函数解解 方程两边对方程两边对 求导求导,得得 x0dxdyxydxdyeeyx.xeeydxdyyx解得解得.1000yxyxxxeeydxdy因为

2、当因为当 时，由原方程得时，由原方程得 ，所以，所以0 x0y解解:方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x=0 时 y=0,故210ddxxy003275xxyy)(xyy 在 x=0 处的导数.0ddxxy确定的隐函数例例2 求由方程 例例3 求曲线求曲线0233xyyx 1,10M处的切线方程处的切线方程.在点在点解解 方程两边分别对方程两边分别对x x求导，得求导，得.0223322dxdyxydxdyyx.123321122yxxyxydxdy解得解得于是所求切线方程为于是所求切线方程为),1(1xy.02

3、yx即即例例4求由下列方程确定的隐函数求由下列方程确定的隐函数 y=f(x)的导数的导数：求对数求导法对数求导法 xxysin观察观察5.lnsinxxey 将幂指函数表示为将幂指函数表示为)1sinln(coslnsinxxxxeyxx直接求导得直接求导得 另解另解).1sinln(cossinxxxxxx 1)对幂指函数对幂指函数vuy 可用对数求导法求导可用对数求导法求导:uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:说明说明:一般地一般地.ln uvey将幂指函数表示为将幂指函数表示为).ln()ln(l

4、nuuvuvuuuvuveyvuv 直接求导得直接求导得 另解另解对数求导法对数求导法同时适用于同时适用于积与商积与商的函数求导数：的函数求导数：2)有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便.例例5 求求xexxxy2)4(1)1()1(x的导数。的导数。xxxxy)4ln(2)1ln(21)1ln(ln解解 两边取对数，得两边取对数，得两边对两边对 求导，得求导，得 x,142)1(21111xxxyyxexxxy2)4(1)1().142)1(2111(xxx于是于是4.2由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数)(),(tytx若参数方程若参数方程

5、为由参数方程所确定的函数。为由参数方程所确定的函数。)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy.)()(ttdxdy.)()(tty即即或或确定确定yx的函数，则称此函数关系所表达的函数的函数，则称此函数关系所表达的函数为为.sin,costbytax例例6 已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为,224cos0aax.224sin0bby.sincos)cos()sin(444abtatbtatbdxdyttt4t求椭圆在相应的点求椭圆在相应的点处的切线方程处的切线方程.解解 当当4t0M时时,椭圆上的相应点椭圆上的相应点的坐标是：的坐标是：曲线在曲线在0M的切线斜率为：的切线

6、斜率为：.2222axabby.02abaybx或或即得椭圆在即得椭圆在0M点的切线方程点的切线方程,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()()(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即则则)1ln(,arctan2tytx.,22dxyddxdy例例8 设设求求ttttttdxdy21112)(arctan)1ln(222解解).1(2112)(arctan)2(22tttt)()()()(22txydxdtdxdydxdydxddxydtt 5 函数的微分函数的微分引例引例:一

7、块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则 ,2xA0 xx面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)(x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取 得增量x时,0 x变到 ,0 xx边长由 其 5.1 微分的概念微分的概念 1.定义定义 函数 y=f(x)可微的条件 二、微分四则运算法则二、微分四则运算法则 2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 三、复合函数的微分法则三、复合函数的微分法则 及及一阶微分形式不变性一

8、阶微分形式不变性 则复合函数则复合函数)(ufy)(,xu)(xfy设设dxxxfdy)()(的微分为：的微分为：dudxxufxf)(),()(由于由于duufdy)(一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性xdxdxexddedyxx3cos323sin22解解.)3cos32(2dxxex4222sinsin)sin(xxdxxdxxxddy.sin2cos3dxxxxx解解xeyx3sin2例例2 求函数求函数例例2 求函数求函数的微分的微分.2sinxxy 例例3 求函数求函数的微分的微分.例例4 求下列函数的微分求下列函数的微分 y=(3x2 4)(4x3+x 1)解：y=(3x2 4

9、)(4x3+x 1)+(3x2 4)(4x3+x 1)=6x(4x3+x 1)+(3x2 4)(12x2+1)=60 x4 39x2 6x 4 函数的微分为函数的微分为：d y=(60 x4 39x2 6x 4)dx xdededyxx2sinsinsin22.2sinsinsin222sinsindxxexdxexx解解xey2sin例例5 求函数求函数的微分的微分.2.2.在下列等式左端的括号内填入适当函数，在下列等式左端的括号内填入适当函数，使等式成立：使等式成立：;)()1(2dxxd.sin)()2(tdtd,)31(23xx.)31(23dxxxd解（解（1）tttsin)sin(

10、1)(cos1.sin)cos1(tdttd（2）5.35.3微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用常用的近似计算公式：常用的近似计算公式：xxfxfxfy)()()(00充分小时充分小时,有有xxfdyy)(0（1）xxx0令令，得，得xxfxfxxfy)()()(000即即或或xxfxfxxf)()()(000（2）.)()()(00 xxfxfxf或或（3）若函数若函数)(xfx0)(0 xf，当，当x处可微处可微,且且在在,02,0,1,)(03xxxxf,31)(32xxf解解 取取.0067.102.031102.0)1()1()02.1(02.13fff例例4 4 求求30

11、2.1的近似值。的近似值。得得例例10 10 已知半径为已知半径为10cm10cm的金属圆片加热后半径的金属圆片加热后半径伸长了伸长了0.05cm,0.05cm,求圆面积约增加了多少求圆面积约增加了多少?100r令令.05.0,rrrAdAA)(0)(14.3)(2220cmcmrr圆面积约增加圆面积约增加).(14.32cm解解 以以A A表示圆面积表示圆面积,r2rA表示圆的半径表示圆的半径,则则练习练习uuu)ln(21lny对 x 求导 21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数 11x21x31x41x解解:ln(x 1)+ln(x 2)ln(x 3)4)(3()2)(1(xxxxy p76,13(3)求求的导数。的导数。作业：作业：13（对数求导法）（对数求导法）(1)(3)、15.（微分）（微分）(1)(2)(3)（习题三）（习题三）12（隐函数）（隐函数）（1 1）（）（2 2）（）（4 4）1414（参方）（参方）(1)(3)(1)(3)uuu)ln(21lny对 x 求导 21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数 11x21x31x41x解解:ln(x 1)+ln(x 2)ln(x 3)4)(3()2)(1(xxxxy例例 p76,13(3)求求的导数。的导数。