高等数学(第四版)-上、下册8-5-多元函数的极值-PPT课件.ppt

1、第五节第五节 多元函数的极值多元函数的极值 一、极值与最大值和最小值一、极值与最大值和最小值 1.1.极值极值 定义定义 设函数设函数(,)zf x y在点在点000(,)P xy的某一邻域内有的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内任一异于定义，如果对于该邻域内任一异于 P0的点的点(,)P x y，都有，都有 00(,)(,),f x yf xy 那么称函数那么称函数(,)zf x y在点在点000(,)P xy处有处有极大值极大值00(,)f xy;如果都有如果都有 00(,)(,),f x yf xy 那么称函数那么称函数(,)zf x y在点在点000(,)P xy处有处有极小值极小值0

2、0(,)f xy.函数的极大值和极小值统称为函数的极大值和极小值统称为极值极值，使函数取得极值的点，使函数取得极值的点称为称为极值点极值点.定理定理 1 1（极值的必要条件）设（极值的必要条件）设(,)zf x y在点在点000(,)P xy处有极值，且两个偏导数存在，则处有极值，且两个偏导数存在，则 00(,)0,xfxy00(,)0.yfxy 设设(,)f x y在点在点000(,)P xy处有极大值，根据定义，对于处有极大值，根据定义，对于 0P某一邻域内异于某一邻域内异于 0P的点的点(,)P x y，都有，都有 00(,)(,).f x yf xy 特别地，当点特别地，当点0(,)x

3、 y是邻域内异于是邻域内异于 0P的任意一点时，有的任意一点时，有 000(,)(,).f x yf xy 上式表明，一元函数上式表明，一元函数0(,)f x y在在 0 x处有极大值，根据一元函处有极大值，根据一元函数极值的必要条件，有数极值的必要条件，有 00(,)0.xfxy 同理可得同理可得 00(,)0.yfxy(,)f x y在在00(,)xy有极小值时，有相同的结论有极小值时，有相同的结论.由此得到定理由此得到定理 1.定理定理 1 告诉我们，如果告诉我们，如果(,)f x y在点在点000(,)P xy处有极处有极值，且有两个偏导数，那么点值，且有两个偏导数，那么点00(,)x

4、y满足方程组满足方程组 (,)0,(,)0.xyfx yfx y 反之，满足方程组的点不一定是极值点反之，满足方程组的点不一定是极值点.例如，例如，z=xy 的两的两个偏导数等于零的方程组为个偏导数等于零的方程组为 (,)0,(,)0.xyfx yyfx yx 解方程组得解方程组得 x=0,y=0，函数值函数值(0,0)0.f显然，在点显然，在点(0,0)的任何一个邻域内，总有比的任何一个邻域内，总有比(0,0)0f大的或小的函数大的或小的函数值，因此点值，因此点(0,0)不是极值点不是极值点.满足上面方程组的点称为满足上面方程组的点称为驻驻点点.如何判断驻点是不是极值点呢？有下面定理如何判断

5、驻点是不是极值点呢？有下面定理 2.定理定理 2 2（极值的充分条件）设函数（极值的充分条件）设函数(,)zf x y在点在点000(,)P xy的某一邻域内连续，且有连续的二阶偏导数，又的某一邻域内连续，且有连续的二阶偏导数，又00(,)0,xfxy00(,)0yfxy（即（即 0P是驻点），记是驻点），记 000000(,),(,),(,),xxxyyyAfxyBfxyCfxy 2,ACB 例例 1 1 求函数求函数322421zxxxyy的极值的极值.则则(1)当当0 时，函数时，函数(,)zf x y在点在点000(,)P xy处有极处有极值，且当值，且当 A0 时，有极小值；时，有极

6、小值；(2)当当0 时，函数时，函数(,)zf x y在点在点000(,)P xy处没有极处没有极值；值；(3)当当0 时，函数时，函数(,)zf x y在点在点000(,)P xy处可能有处可能有也可能没有极值也可能没有极值.在点在点(0,0)处处,(0,0)8,(0,0)2,xxxyAzBz (0,0)2,yyCz 2120,ACB 所以函数在点所以函数在点(0,0)处有极大值处有极大值(0,0)1.z 在点在点(2,2)处处,(2,2)4,(2,2)2,xxxyAzBz(2,2)2,yyCz 2120,ACB 所以点所以点(2,2)不是极不是极值点值点.解解 2382,22,zzxxyx

7、yxy 2222268,2,2.zzzxxx yy 令令23820,220,zxxyxzxyy解之求得驻点解之求得驻点0,0,xy2,2.xy 例例 2 2 求函数求函数22(1)(4)zxy的极值的极值.解解 解方程组解方程组2(1)0,2(4)0,xyzxzy 求得驻点求得驻点(1,4),因为在点因为在点(1,4)处，处，(1,4)2,(1,4)0,xxxyAzBz(1,4)2,yyCz 2ACB=40.且且 A=20，所以函数在点，所以函数在点(1,4)处有极小值处有极小值(1,4)0.z 2.2.最大值和最小值最大值和最小值在实际问题中，根据实际问题的要求知道函数在区域在实际问题中，根

8、据实际问题的要求知道函数在区域D 内一定有最大值或最小值，如果函数在内一定有最大值或最小值，如果函数在 D 内只有一个符内只有一个符合实际问题要求的驻点，则可断定驻点一定是极值点，也合实际问题要求的驻点，则可断定驻点一定是极值点，也一定是取得最大值或最小值的点一定是取得最大值或最小值的点.解解 设长方体容器的长、宽分别为设长方体容器的长、宽分别为(cm)x和和(cm),y根据已知根据已知条件高为条件高为kxy，则长方体的表面积为，则长方体的表面积为 22kkAxyyxxyxy22.kkxyxy 当表面积当表面积 A 最小时，所用的材料最省最小时，所用的材料最省.令令 22220,0,xykkA

9、yAxxy 解方程组，求得驻点为解方程组，求得驻点为33(2,2),kk因因为表面积为表面积 A 的最小值是存的最小值是存在的，而在在的，而在 x0,y0 的区域的区域 D 内只有一个驻点内只有一个驻点33(2,2),kk故它故它也是也是 A 取得最小值的点取得最小值的点.此时高为此时高为3322kkk=312,2k所以长方体所以长方体容器的长、宽、高分别为容器的长、宽、高分别为332(cm),2(cm),kk3122kcm 时所用的时所用的材料最省材料最省.例例 3 3 要做一个容积为要做一个容积为3(cm)k的无盖长方体容器，问长、的无盖长方体容器，问长、宽、高各为多少时，才能使所用的材料

10、最省宽、高各为多少时，才能使所用的材料最省.解解 总收入为总收入为12(,)1218,R x yp xp yxy 故总利润为故总利润为 (,)(,)(,)L x yR x yC x y 221218(22)xyxxyy 22121822.xyxxyy 解方程组解方程组1240,1840,xyLxyLxy 求得驻点求得驻点(2,4).因为它是因为它是0,0 xy的区域的区域 D 内惟一的驻内惟一的驻点，故也是点，故也是 L 取得最大值的点取得最大值的点.所以当两种产品的产量为所以当两种产品的产量为2x（百台），（百台），4y（百台）时，可获最大利润（百台）时，可获最大利润.最大利润为最大利润为

11、(2,4)48L（万元）（万元）例例 4 4 设某工厂生产甲、乙两种产品，其销售价格分别为设某工厂生产甲、乙两种产品，其销售价格分别为112p（万 元），（万 元），218p（万 元），总 成 本 为（万 元），总 成 本 为22(,)22,C x yxxyy其中其中,x y是两种产品的产量（单位：百是两种产品的产量（单位：百台）台）.问当两种产品的产量为多少时，可获最大利润，最大利问当两种产品的产量为多少时，可获最大利润，最大利润是多少？润是多少？*二、条件极值二、条件极值 前面所讨论的极值问题中，自变量在定义域的范围内可前面所讨论的极值问题中，自变量在定义域的范围内可以任意取值，没有其他附

12、加条件的限制，它又叫做以任意取值，没有其他附加条件的限制，它又叫做无条件极无条件极值值.有时候自变量还要满足某些附加条件，这类极值问题称有时候自变量还要满足某些附加条件，这类极值问题称为为条件极值条件极值.关于条件极值的求法，有以下两种方法：关于条件极值的求法，有以下两种方法：1.1.转化为无条件极值转化为无条件极值 对一些简单的条件极值问题，往往可利用附加条件，消去对一些简单的条件极值问题，往往可利用附加条件，消去函数中的某些自变量，转化为无条件极值函数中的某些自变量，转化为无条件极值.例如，例例如，例 3 中的问题，中的问题，实际上是求函数实际上是求函数22Axyyzxz（x 为长方体的高

13、），在约束为长方体的高），在约束条件条件xyzk下的极值下的极值.例例 3 的解法是利用条件，解出的解法是利用条件，解出,kzxy代入代入A 中，消去中，消去 x，转化为求函数，转化为求函数kkAxyxy的极的极值，这时值，这时 x,y 不不再受约束条件的限制，就成了无条件极值问题再受约束条件的限制，就成了无条件极值问题.2.2.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 一般的条件极值问题，转化为无条件极值往往是比较一般的条件极值问题，转化为无条件极值往往是比较困难的困难的.一种有效的方法称为拉格朗日乘数法，其方法步一种有效的方法称为拉格朗日乘数法，其方法步骤如下：现要求函数骤如下：现要求函数(,)f x

14、 y在约束条件在约束条件(,)0 x y下的极下的极值值(1)作辅助函数（称为拉格朗日函数）作辅助函数（称为拉格朗日函数）(,)(,)(,),F x yf x yx y 其中其中是待定常数，称为拉格朗日乘数；是待定常数，称为拉格朗日乘数；(2)组成方程组成方程组组 (,)0,(,)0,(,)0,xyzF x yF x yx y(3)解方程组，求得可能的条件极值点解方程组，求得可能的条件极值点00(,).xy 上述方法，可推广到自变量多于两个或约束条件不止上述方法，可推广到自变量多于两个或约束条件不止一个的情形一个的情形.*2.2.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法解解 设长方体的长、宽、高分别为设长

15、方体的长、宽、高分别为,x y z则表面积则表面积 22Axyyzxz，约束条件为约束条件为 .xyzk 作辅助函数作辅助函数(,)22(),F x y zxyyzxzxyzk组成方程组组成方程组 20,20,220,xyzFyzyzFxzxzFyxxyxyzk 解 方 程 组，求 得解 方 程 组，求 得33312,2,2.2xk yk zk因 为 点因 为 点3331(2,2,22kkk）是惟一的可能极值点，因此它也是是惟一的可能极值点，因此它也是 A 取得最取得最小值的点小值的点.所以当长、宽、高分别为所以当长、宽、高分别为33312,2,22kkk时，所用时，所用的材料最省的材料最省.

16、*例例5 利用拉格朗日乘数法，求解例利用拉格朗日乘数法，求解例 3.例例 6 6 过点过点(1,1,1)作平面，问哪个平面与三条坐标轴在作平面，问哪个平面与三条坐标轴在第一卦限围成的四面体的体积最小？第一卦限围成的四面体的体积最小？解解 设平面方程为设平面方程为1(0,0,0),xyzabcabc则四则四面体的体积为面体的体积为 1.6Vabc 点点(1,1,1)在平面上，所以在平面上，所以,a b c应满足条件应满足条件1111.abc现在现在问题是求函数问题是求函数 V 在上述条件下的极值在上述条件下的极值.作辅助函数作辅助函数1111(,)(1),6F x y zabcabc 组成方程组

17、组成方程组 222110,0,6611110,1,6abcFbcFacabFabcabc 解方程组，求得解方程组，求得3.abc因为点因为点(3,3,3)是惟一的可是惟一的可能极值点，因此它也是能极值点，因此它也是 V 取得最小值的点取得最小值的点.所以平面方程所以平面方程为为 1333xyz 时，与坐标轴在第一卦限围成的四面体的体积最小时，与坐标轴在第一卦限围成的四面体的体积最小.内容小结内容小结1.求极值问题步骤求极值问题步骤*3.求条件极值的方法求条件极值的方法作业作业P70 1(1)(2)利用充分条件判断驻点是否为极值点利用充分条件判断驻点是否为极值点(1)利用必要条件找驻点利用必要条件找驻点2.求最大值与最小值的方法求最大值与最小值的方法