高等数学(上册)第六章课件.ppt
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- 高等数学 上册 第六 课件
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1、利用元素法解决利用元素法解决:定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用定积分的应用定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用元素元素a a aa a表示为niiixfU10)(lim1)所求量 U 是与区间a,b上的某分布 f(x)有关的2)U 对区间 a,b 具有可加性,即可通过“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义一个整体量;第一步第一步 利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(
2、这种分析方法称为元素法元素法(或微元分析法微元分析法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳 等近似值精确值1.直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(边梯形面积为 A,右下图所示图形面积为 yobxa)(2xfy)(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd22,xyxy在第一象限所围所围图形的面积.xxy 2oy2xy xxxd解解 由xy 22xy 得交点)1,1(,)0,0()1,1(1xxxAdd22332x13013x3110A1()xy2()yxabxy
3、O1()yxxX-型:axb21()()hxx2()xycdxyOyY-型:cyd21()()hyyxxy22oy4 xyxy22与直线的面积.解解 由xy224 xy得交点)4,8(,)2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy434126y此平面图形为Y型则有yyyd42A)cos1(,)sin(tayttax)0(a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.dd(1 cos)Ay xat解解 ttad)cos1(2220(1 cos)datt22404sind2tat)2(tu 令2408sindau u224016sindau u216a4321223
4、a2 0A xyo2a注注:在直角坐标系下计算面积的步骤1)画图,求交点2)axbcyd或观察X-型或Y-型3)固定一点,过此点作平行于y轴的平行线,如果平行线与边界线的交点超过三个以上,则要划分区域,使划分后的区域为X型2,2xyxy练习:求由 所围成的面积 ,0)(,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积.)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A 极坐标与直角坐标的关系极坐标与直角坐标的关系cossinxryr2()rr1()rr扇形面积:21122Ar rrxo22211()()d2Arr对
5、应 从 0 变解解)0(aarx2ao dd)(212a20A 22a313203243a到 2 所围图形面积.点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停22408cosdat t所围图形的面积.解解)0()cos1(aarxa2o dd)cos1(2122a02A 20ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212232aoxya2222yxaxayx即)cos1(ar点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停 尖点:)0,0(面积:232a 弧长:a8参数的几何意义2coscos21)2cos1(21aa2oxyd)cos1(2122a与圆所围图形的面积.
6、解解 利用对称性,)0()cos1(aar2212Aa22212aad)2cos21cos223(所求面积2213(2)24aa22524aaar 2a2sin2a所围图形面积.解解 利用对称性,2cos22ard2cos212a404A 420a)2(d2cos0则所求面积为42a思考思考:用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积.2A6220sinda4621cos2 d2ayox4答案答案:4 213Vr h221()3VRrRrhRrrhhxyoabxyoab)(xfy 2()f x轴旋转一周围成的立体体积,体积为:轴绕xbxaxfy)()(xdbaVxdx()f x2
7、d()Vfx dx体积元素为:连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积,有2()yyddcVxoy)(yxcdy2221()d()dbbxaaVxxxx2()yx1()yxab2221()()dbaxxxxY-型绕型绕y轴旋转所围成的立体的体积:轴旋转所围成的立体的体积:2221ddycVggyayxb12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积.解解 方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则222202()dabaxxa(利用对称性)2232123ba xxa0a243aboaV022dyxxtbytaxsincos则202daVyx232
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