高等数学(下)9-课件2.ppt

1、(,)(,)(,)F x yP x y iQ x y j 设一质点在xOy平面内从点 A沿光滑曲线弧 C移动到点B.移动过程中，这质点受到力其中 P(x,y),Q(x,y)在C上连续。计算在上述移动过程中力(,)F x y所作的功。在(,)x y(,)F x y的作用，OxyABC OxyABC1 nMiM1 iM2M1Mix iy 分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn 1()().iiiiMMx iyj 若F为常力.WF AB(,)(,)(,),iiiiiiFPiQj 作和取1(,),iiiiiWFMM (,)iiF (,)(,).iiiiiiiWPxQy 即即1

2、(,)iiiiMM 现F为变力，需“以直代曲”，“以不变代变”。.),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限.),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值精确值 niiWW1(,)(,).iiiiiiiWPxQy 111,(,),nnnMxy10(1,2,;,).iinMMin MA MB 设设C为为xOy面内从点面内从点A到点到点B的一条有向光的一条有向光滑曲线弧，滑曲线弧，函数函数 P(x,y)、Q(x,y)在在C上有界。上有界。在在C上沿上沿111222(,),(,),MxyMxyC的正向依次任意插入一列点的正向依次任意插入一列点把把C分成分成 n 个有向小弧段个有向

3、小弧段11,iiiiiixxxyyy设设任取任取 1,iiiiMM 则称此极限为则称此极限为(,)P x y在有向曲线弧在有向曲线弧 C 上对坐标上对坐标 x 的曲线积分，的曲线积分，定义定义9.29.2作和式作和式1(,)niiiiPx 1(,)niiiiQy 弧段长度的最大值，弧段长度的最大值，令令 为各小为各小且与且与“分割分割”方法方法及及 ,ii 的取法无关的取法无关.函数函数01lim(,)niiiiPx 存在，存在，当极限当极限类似地定义函数类似地定义函数 Q(x,y)在有向曲线弧在有向曲线弧 C上对坐标上对坐标 y 的的d01(,)lim(,).niiiCiQ x yyQy ,

4、),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxQyxPCd01(,)lim(,).niiiCiP x yxPx 记作记作d(,).CP x yx 即即以上积分也称为第二类曲线积分。以上积分也称为第二类曲线积分。曲线积分曲线积分叫积分弧段叫积分弧段.第第二二类类曲曲线线积积分分存存在在(,),(,),P x yQ x yC当当在在光光滑滑曲曲线线弧弧 上上连连续续时时组合形式dd(,)(,)CCP x yxQ x yy ddd,.FPiQ jrx iy j 其其中中d.CFr dd(,)(,)CP x yxQ x yy d01(,)lim(,).niiiiiP x y zxPx d01(,)l

5、im(,).niiiiiQ x y zyQy d01(,)lim(,).niiiiiR x y zzRz 对于空间有向曲线弧,定义依次为:(,)P x y z在曲线弧 上对坐标 x 的曲线积分，(,)Q x y z在曲线弧上对坐标 y 的曲线积分，(,)R x y z在曲线弧上对坐标 z 的曲线积分.ddddddP xQ yR zP xQ yR z d,.(,)A x y zr dd(,)(,).CCF x yrF x yr 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.设 C 是有向光滑曲线弧，C 是 C的反向曲线弧，则 设 在有向光滑曲线弧 C上有(,),(,)P x y Q x y定义且连续，C

6、的参数方程为(),(),xtyt 单调地由 变到 时，点(,)M x y从 C 的起点 A 沿 L 运动到终点 B，则曲线积分dd(,)(,)CP x yxQ x yy 当参数t存在，且dd(,)(,)CP x yxQ x yy d(),()()(),()()PtttQtttt 分析：只须分别证明 dd(,)(),()(),CP x yxPtttt dd(,)(),()(),CQ x yyQtttt 即可。特殊情形:()Cyy x，ddCP xQ y 则则起点为x,a终点为.b d,(),()().baP x y xQ x y xy xx （1）():(),()xtytzt dddP xQ y

7、R z ddCP xQ y 则则:()Cxx y（2），起点为y,c终点为.d起点为t,终点为.推广 d(),()(),.dcP x yy x yQ x yyy d(),(),()()(),(),()().QttttRttttt (),(),()()Ptttt 解dd()ABxy xyxy d(1)(12)2 tttt 25.6 (2,3)B(1,1)A例9.5计算dd(),Cxy xyxy 其中 C 为分别沿图中所示路线，直线AB；ACB（抛物线2:2(1)1);yx ADBA（三角形周界）.xyO(2,1)D线段AB 的参数方程为1,0,1.12,xttyt 01C d222(1)12(1

8、)14(1)xxxxxx 曲线ACB为抛物线22(1)1,12,yxx(2,3)B(1,1)AxyO(2,1)DCdd()ACBxy xyxy 2110.3 C为一条封闭曲线，沿线段AD：,1(12)xx yxdd()ADxy xyxy dx x 213.2(2,3)B(1,1)AxyO(2,1)DC沿线段DB:2,(13)xyyydd()DBxy xyxy d(2)yy 310.沿线段BA的线积分可由得dd()BAxy xyxy dd()ABxy xyxy 25.6 所以dd()Cxy xyxy 32 0 256 8.3 dd()ADDBBAxy xyxy被积函数相同，起点和终点也相同，但路

9、径不同被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果不一定相同而积分结果不一定相同.例例9.6求在力 (,),F x y zyx xyz作用下，质点由 A 沿螺旋线1C到 B 所作的功（如图），其中1:cos,sin,0;Cxat yat zbtt 质点由 A 沿直线段2C到 B 所作的功。(,0,)Dab 2C1CxyzO(,0,2)B ab(,0,0)A a 解在空间曲线C上力F所作的功为dCWFr ddd()Cy xx yxyzz(,0,)Dab 2C1CxyzO(,0,2)B ab(,0,0)A a ddd1()CWy xx yxyzz 2222 sincos(cossin)atatb atatbt 02 222().ba2C的参数方程为,0,02.xa yzttb d ()Watt 02 b2().b ab