高等数学第六版下册第十一章常数项级数审敛法课件.ppt

1、常数项级数审敛法常数项级数审敛法 在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些

2、方法称为审敛法散性，这些方法称为审敛法 对常数项级数将分为正项级数和任意项级数对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论来讨论一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义:，中各项均有中各项均有如果级数如果级数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题都可归结为正项级数的收敛性问题2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:nsss21部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.ns定理定理.有界有

3、界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns3.比较审敛法比较审敛法均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu且且),2,1(nvunn,若若 1nnv收收敛敛,则则 1nnu收收敛敛；反反之之，若若 1nnu发发散散，则则 1nnv发发散散.证明证明 1)1(nnv设设,nnvu nnuuus 21且且nvvv 21即部分和数列有界即部分和数列有界.1收敛收敛 nnu)()2(nsn设设,nnvu 且且nns 则则 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnv定理证毕定理证毕.推推论论:若若 1nnu收收敛敛(发发散散)且且)(nnnnvkuNnkuv ,比较审

4、敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数.则则 1nnv收收敛敛(发发散散).例例 1 1 讨讨论论 P P-级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性.)0(p解解,1 p设设,11nnp.级数发散级数发散则则 P,1 p设设由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211oyx)1(1 pxyp1234 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和

5、级数.比较审敛法是一基本方法，虽然有比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法上更为方便的极限形式的比较审敛法例例 2 2 证证明明级级数数 1)1(1nnn是是发发散散的的.证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn发散发散级数级数4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级

6、数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu证明证明lvunnn lim)1(由由,02 l 对于对于,N,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.5 5.极极限限审审敛敛法法：设设 1nnu为为正正项项级级数数,如果如果0lim lnunn (或或 nnnulim),),则级数则级数 1nnu发散发散;

7、如如果果有有1 p,使使得得npnun lim存存在在,则则级级数数 1nnu收收敛敛.例例 3 3 判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性:(1)11sinnn;(2)131nnn;解解nnn1sinlim nnn11sinlim ,1 原级数发散原级数发散.)2(nnnn3131lim nnn311lim ,1,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.)1(6 6.比比值值审审敛敛法法(达达朗朗贝贝尔尔 D DA Al le em mb be er rt t 判判别别法法)：设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu 则则1 时时级级数数收收敛敛;

8、1 时时级级数数发发散散;1 时时失失效效.证明证明,为为有有限限数数时时当当,0 对对,N,时时当当Nn ,1 nnuu有)(1Nnuunn 即即,1时时当当 ,1 取取,1 r使使,12 NNruu,1223 NNNurruu,11 NmmNuru,111 mNmur收敛收敛而级数而级数,11收敛收敛 NnummNuu收敛收敛,1时时当当 ,1 取取,1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu .0lim nnu发散发散比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.直接从级数本直接从级数本身的构成身的构成即通项来判定其即通项来判定其敛散性敛散性 两点注意两点注意:1 1

9、.当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效;,11发发散散级级数数例例 nn,112收收敛敛级级数数 nn)1(2 2.条条件件是是充充分分的的,而而非非必必要要.,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)12)12(1nnn.解解)1(11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn!1)!1(11nnuun

10、n )2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n),(n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn,1 比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn例例5 126sin3nnnn 解解由于由于nnnuu1lim 不存在，检比法失效不存在，检比法失效 而而nnnnn36sin32 对对 13nnn由检比法得由检比法得 13nnn收敛收敛故由比较审敛法知故由比较审敛法知 126sin3nnnn 收敛收敛例例6n

11、nnxn)(!1 )0(x解解nnnnnnnxnnxnuu)(!)1()!1(limlim11 exnxnn )11(lim由检比法得由检比法得 ex 级数收敛级数收敛ex 级数发散级数发散ex 检比法失效检比法失效，但，但nne)11(即后项大于前项即后项大于前项nnuu 1故级数发散故级数发散7.7.根值审敛法根值审敛法 (柯西判别法柯西判别法)：设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果 nnnulim )(为为数数或或,则则1 时级数收敛时级数收敛;1 时时级级数数发发散散;1 时时失失效效.证明证明1)1(取取 100则则10 r由由 nnnulim知知时时，使当，使当NnN ru

12、nn 0 )(Nnrunn 由由 1Nnnr收敛及比较审敛法得收敛及比较审敛法得 1Nnnu收敛收敛 1nnu收敛收敛1)2(由由 nnnulim知知时时，使当，使当NnN 1 nnu1 nu故故nu不趋于不趋于 0 1nnu发散发散1)3(不能判定不能判定如如 12111nnnn与与都有都有1lim nnnu但但 121nn收敛收敛 11nn发散发散,1 ,1 nnn设设级级数数例例如如nnnnnu1 n1)(0 n级数收敛级数收敛.二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定义定义:正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu 111)1()1(或或)0

13、(nu其中其中莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件:(),3,2,1(1 nuunn;(;()0lim nnu,则级数收敛则级数收敛,且其和且其和1us ,其余项其余项nr的绝对值的绝对值1 nnur.证明证明,01 nnuu)()()(21243212nnnuuuuuus ,2是单调增加的是单调增加的数列数列nsnnnnuuuuuus212223212)()(又1u,2是有界的是有界的数列数列ns.lim12ussnn ,0lim12 nnu)(limlim12212 nnnnnuss,s.,1uss 且且级级数数收收敛敛于于和和),(21 nnnuur余项余项

14、,21 nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,.1 nnur定理证毕定理证毕.例例 7 7 判判别别级级数数 21)1(nnnn的的收收敛敛性性.解解2)1(2)1()1(xxxxx)2(0 x,1单单调调递递减减故故函函数数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又.0 原级数收敛原级数收敛.证明证明 un 单调减的方法单调减的方法01 nnuu11 nnuu？0)()(xfnfun考察考察？三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定理定理 若若 1nnu收敛收敛,则则 1nnu

15、收敛收敛.证明证明),2,1()(21 nuuvnnn令令,0 nv显然显然,nnuv 且且,1收敛收敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收收敛敛.上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数定义定义:若若 1nnu收敛收敛,则称则称 1nnu为绝对收敛为绝对收敛;若若 1nnu发散发散,而而 1nnu收敛收敛,则称则称 1nnu为条件收敛为条件收敛.例例 8 8 判判别别级级数数 12sinnnn的的收收敛敛性性.解解,1sin22nnn,112收敛收敛而而 nn,sin12 nnn收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.将正项级数的检

16、比法和检根法应用于判定任意项将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理级数的敛散性可得到如下定理定理定理设有级数设有级数 1nnu nnnuu1lim)|lim(nnnu 则则1 1nnu绝对收敛绝对收敛1 1nnu发散发散1 可能绝对收敛，可能条件收可能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散敛，也可能发散如如 121)1(nnn 11)1(nnn 11)1(nn注意注意一般而言，由一般而言，由 发散，并不能推出发散，并不能推出 1|inu 1inu发散发散如如 11)1(nnn 11in发散发散但但 收敛收敛 11)1(nnn如果如果 发散是由检比法和检根法而审定发散是

17、由检比法和检根法而审定 1|inu则则 必定发散必定发散 1inu这是因为检比法与检根法这是因为检比法与检根法审定级数发散的原因是通项不趋向于审定级数发散的原因是通项不趋向于0由由00|nnuu四、小结四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;,0,则级数发散则级数发散当当 nun思考题思考题 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛,能能否否推推得得 12nnu收收敛敛?反

18、反之之是是否否成成立立?思考题解答思考题解答由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0 由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如：121nn收敛收敛,11nn发散发散.练练 习习 题题一一、填填空空题题:1 1、p级级数数当当_ _ _ _ _ _ _ _时时收收敛敛,当当_ _ _ _ _ _ _ _时时发发散散；2 2、若若正正项项级级数数 1nnu的的后后项项与与前前项项之之比比值值的的根根 等等于于,则则当当_ _ _ _ _ _ _ _ _时时级级数数收收敛敛；_ _ _

19、 _ _ _ _ _ _时时级级数数发发散散；_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _时时级级数数可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散 .二、二、用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛 性性:1 1、22211313121211nn；2 2、)0(111 aann .三、三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性用比值审敛法判别下列级数的收敛性:1 1、nnn 232332232133322；2 2、1!2nnnnn.四、四、用根值审敛法判别下列级数的收敛性用根值审敛法判别下列级数的收敛性:1 1、1)1ln(1nnn；2 2、121)13(n

20、nnn.五、五、判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性:1 1、nn1232；2 2、13sin2nnn；3 3、)0()1()2ln(1 anannn.六六、判判别别下下列列级级数数是是否否收收敛敛?如如果果是是收收敛敛的的,是是绝绝对对收收敛敛还还是是条条件件收收敛敛?1 1、1113)1(nnnn；2 2、5ln14ln13ln12ln1；3 3、2ln)1(nnnn.七七、若若nnun2lim 存存在在,证证明明:级级数数 1nnu收收敛敛 .八八、证证明明:0!lim3 nnnanb.练习题答案练习题答案一、一、1 1、1,1 pp；2 2、1),lim(1,11 nnnuu或或.二、二、1 1、发散；、发散；2 2、发散、发散.三、三、1 1、发散；、发散；2 2、收敛、收敛.四、四、1 1、收敛；、收敛；2 2、收敛、收敛.五、五、1 1、发散；、发散；2 2、收敛；、收敛；3 3、.,1;,10;,1发散发散发散发散收敛收敛aaa六、六、1 1、绝对收敛；、绝对收敛；2 2、条件收敛；、条件收敛；3 3、条件收敛、条件收敛.