高等数学-函数的连续性课件.ppt

1、目录 上页 下页 返回 结束 二、二、函数的间断点函数的间断点 一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义 第十节函数的连续性与间断点 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义1.1.变量的增量变量的增量设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初1u2u值的差 就叫做变量u的增量 记作21uuuu21uuu 即注：不表示某个变量 与u的乘积，而是一个整体不可分割的记号.u目录 上页 下页 返回 结束 设函数y=f(x)在点 的某一个邻域内是有定义的 0 x当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应x0 x0 xx地从 变到 0()f x0()f xx因此函数

2、 y 的对应增量为00()()yf xxf x O x y x f y 0 x x x 0 x y ()其几何意义如右图所示：0()f x0()f xx目录 上页 下页 返回 结束 2.函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:)(xfy 在0 x的某一邻域内有定义,设函数那么就称函数 在点 处连续 如果0000limlim()()0 xxyf xxf x )(xfy 0 x)(xfy xOy0 xxxy设0,xxx则00()()yf xxf x 0()()f xf x即0()()f xf xy00,xxx 000lim()()xxyf xf x()f x0()f x目录 上页 下页 返回 结

3、束 可见,函数)(xf在点0 x定义定义:)(xfy 在0 x的某一邻域内有定义,)()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1)(xf在点0 x即)(0 xf(2)极限)(lim0 xfxx(3).)()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;前提条件目录 上页 下页 返回 结束 左连续与右连续左连续与右连续)()(lim00 xfxfxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续右连续函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:如果 存在且等于 即如果存在且等于 即00lim()()xxf xf x0(),f x00lim()(

4、)xxf xf x0(),f x00()()f xf x00()()f xf x左连续左连续:右连续右连续:目录 上页 下页 返回 结束 例例 12,0,()02,0,.xxf xxxx 讨论函数在处的讨论函数在处的连续性连续性解解00lim()lim(2)xxf xx2(0),f 00lim()lim(2)xxf xx2 (0),f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,()0.f xx 故故函函数数在在点点处处不不连连续续连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.目录 上页 下页 返回 结束 例例 2.0 0 ,0 0,1sin)(处处的的连连续续性性在在

5、，讨讨论论 xxxxxxf解解因为因为，)0(01sinlim)(lim00fxxxfxx 所以所以 f(x)在在 x=0 处连续处连续.目录 上页 下页 返回 结束 若)(xf在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.,baC在闭区间,ba上的连续函数的集合记作如果函数在开区间 内连续,并且在左端点处右连续,在右端点 处左连续,则称函数 在闭区间 上连续.(,)a b,baxbxa简单地说，连续函数的图形能一笔画成。简单地说，连续函数的图形能一笔画成。目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明函数xysin在),(内连续.证证:),(xxxxysin)

6、sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122xx0 x即0lim0yx这说明xysin在),(内连续.同样可证:函数xycos在),(内连续.0目录 上页 下页 返回 结束 导致函数图象断导致函数图象断开的原因？开的原因？目录 上页 下页 返回 结束 11)(2xxxfoxy12.1处没有定义在 x)1(1xx1、目录 上页 下页 返回 结束、221)(xxxf11xx(1)在x=1处有定义5.2)(lim)2(1xfx2)(lim1xfx(3)函数 f(x)的极限不存在。12oxy2.5目录 上页 下页 返回 结束 yxo12、5.01)(xxf11xx(1)在x

7、=1处有定义；(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f(1)1(5.02)(lim1fxfx目录 上页 下页 返回 结束 导致函数图象断开的原因：导致函数图象断开的原因：1、函数在函数在 处没有定义处没有定义1x2、函数在函数在 时极限不存在时极限不存在1x函数值不等函数值不等3、函数在函数在 处的极限值和处的极限值和1xoxy1212oxy2.5yxo12目录 上页 下页 返回 结束 在在二、二、函数的间断点函数的间断点(1)函数)(xf0 x(2)函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3)函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在,

8、但)()(lim00 xfxfxx不连续:0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点0 x之一,函数 f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为不连续点不连续点或间断点间断点.在无定义;目录 上页 下页 返回 结束 xytan)1(2x为其无穷间断点.0 x为其振荡间断点.xy1sin)2(1x为可去间断点.11)3(2xxy例如例如:xytan2xyOxyxy1sinOxy1O目录 上页 下页 返回 结束 1)1(1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点.1,1,)(21xxxxfy(4)xOy211(5)0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11,1)0(f

9、1)0(f0 x为其跳跃间断点.目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在,)()(00 xfxf若称0 x,)()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在,称0 x若其中有一个为振荡,称0 x若其中有一个为,为可去间断点可去间断点.为跳跃间断点跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 讨论函数讨论函数 0,0,0,sin)(xxxxxf的间断点的间断点.因此因此 x=0 是该函数的是该函数的可去间断点可去间断点.

10、解解.1sinlim0 xxx因因为为即该函数在即该函数在 x=0 处的左、处的左、,0)0(1)(lim0 fxfx但是由于但是由于xyO1 2 3 2 3 右极限存在，右极限存在，目录 上页 下页 返回 结束 0,1,0,sin)(xxxxxf因为，如果修改定义因为，如果修改定义 f(0)=1，在在 x=0 连续连续.则函数则函数xyO1 2 3 2 3 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(.2xf0 x第一类间断点可去间断点:跳跃间断点:左右极限不相等第二类间断点

11、无穷间断点:振荡间断点:函数值在 的去心邻域(左右极限至少有一个不存在)在点间断的类型)(.1xf0 x在点连续的等价形式(左右极限都存在)0lim()xxf x 内变动无限多次0 x左右极限相等,但不等于函数值或无定义y目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.讨论函数231)(22xxxxfx=2 是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf在x=0 连续.答案答案:x=1 是第一类可去间断点,目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P49 2(1)(2)(4);3;4(2)第九节 目录

12、 上页 下页 返回 结束 求函数求函数 的间断点，并指出间断点的类型。的间断点，并指出间断点的类型。23122 xxxy解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为)1)(2(1231222 xxxxxxy所以所以 为间断点。为间断点。1,2 xx而而 )1)(2(1lim231lim22222xxxxxxxx所以所以 为第二类无穷间断点。为第二类无穷间断点。2 x2)1)(2(1lim231lim21221 xxxxxxxx 所以所以 为第一类可去间断点。为第一类可去间断点。1 x目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题间断点的类型.

13、xxxf1e11)(解解:间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故1x为跳跃间断点.,1,0处在x.)(连续xf1.P49 题 52.确定函数目录 上页 下页 返回 结束 分析分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。断点及其类型。求函数求函数 的所有间断点，并指出类型。的所有间断点，并指出类型。xxxxfnnn2211lim)(当当 时，时，1|x221()lim1nnnxf xxx当当 时，时，1|x当当 时，时，1|x()0f x 解解:x2211()lim11nnnxf xxxx 目录 上页 下页 返回 结束 1lim)(lim11 xxfxx1)(lim)(lim11 xxfxx故故 是是 的跳跃间断点的跳跃间断点;1 x)(xf 故故 也是也是 的跳跃间断点的跳跃间断点;1 x)(xf1)(lim)(lim11 xxfxx因为因为1lim)(lim11 xxfxx因为因为 1,01,1,)(xxxxxxf所以所以