高等代数课程试验设计课件.ppt

1、 数数 学学 实实 验验 用数学软件解决高等代数问题主讲 张力宏、张洪刚 数数 学学 实实 验验一 多项式运算二 矩阵和行列式计算三 线性方程组的解一一 多项式运算多项式运算l 多项式排版与显示的相关函数1、expand(e)对表达式对表达式e进行展开进行展开2、factor(e)对表达式对表达式e(正整数正整数)进行因式进行因式(因子因子)分解分解3、horner(e)把表达式把表达式e分解成嵌套形式分解成嵌套形式4、simplify(e)运用多种恒等式转换对运用多种恒等式转换对e进行综合化简进行综合化简5、simple(e)运用包括运用包括simplify的各种指令化简的各种指令化简6、p

2、retty(e)以习惯的以习惯的“书写书写”方式显示表达式方式显示表达式e7、collect(e,x)对表达式对表达式e中指定的符号对象中指定的符号对象x的合并同类项的合并同类项8、n,d=numden(e)对分式对分式e进行通分，提取分子进行通分，提取分子n和分母和分母d0111)(axaxaxaxPnnnn l 用系数矩阵 P=an,a1,a0 表示多项式一一 多项式运算多项式运算l 多项式运算的相关函数1、r=roots(p)求多项式求多项式p的根的根2、p=conv(p1,p2)多项式相乘，多项式相乘，p是多项式是多项式p1和和p2的乘积多项式的乘积多项式3、q,r=deconv(p1

3、,p2)多项式相除，多项式相除，p1/p2的商多项式为的商多项式为q，余多项式为，余多项式为r4、p=poly(AR)矩阵的特征多项式，矩阵的特征多项式，p为矩阵为矩阵AR的特征多项式的特征多项式5、dp=polyder(p)导数多向式，导数多向式，dp为为p的导数多项式的导数多项式6、dp=polyder(p1,p2)dp为为p1,p2乘积的导数多项式乘积的导数多项式8、n,d=polyder(p1,p2)对有理分式对有理分式(p1/p2)求导所得的分式求导所得的分式(n/d)9、p=polyfit(x,y,n)求求x,y向量给定数据的向量给定数据的n阶多项式拟合阶多项式拟合l验证多项式 的

4、根122 xx一一 多项式运算多项式运算p=1,-2,1%p为多项式为多项式x=roots(p)%x为解向量为解向量l验证多项式)(2233yxyxyxyx syms x y%x,y为符号变量为符号变量法一法一expand(x-y)*(x2+x*y+y2)%展开展开(x-y)*(x2+x*y+y2)法二法二factor(x3-y3)%对对x3-y3进行因式分解进行因式分解法三法三horner(x3-y3)%对对x3-y3进行因式分解进行因式分解一一 多项式运算多项式运算l计算 分子和分母，并化简分子)(4yxyxxyyxyx syms x y%x,y为符号变量为符号变量n,d=numden(x

5、+y)/(x-y)-4*x*y/(x-y)*(x+y)%通分计算分子通分计算分子n和分母和分母dsimple(n)%化简分子化简分子n年份年份1790179018001800181018101820182018301830184018401850185018601860187018701880188018901890人口人口3.93.95.35.37.27.29.69.612.912.917.117.123.223.231.431.438.638.650.250.262.962.9年份年份19001900191019101920192019301930194019401950195019601

6、96019701970198019801990199020002000人口人口76.076.092.092.0106.5106.5123.2123.2131.7131.7150.7150.7179.3179.3204.0204.0226.5226.5251.4251.4281.4281.4l假设人口服从指数增长模型，即 ，其中 表示初始人口数，表示人口增长率，表示时间，表示时刻时人口数，请根据以下数据采用最小二乘拟合法(1次多项式拟合)估计出人口增长率 和初始人口rtextx0)(0 xrt)(txtr0 x一一 多项式运算多项式运算l首先根据 变形，两边取对数，得 令 则变为rtextx0)

7、(,ln)(ln0rtxtx ,ln),(ln0 xatxy rtay t=0:10:210;%从0到210年p=3.9,5.3,7.2,281.4;%人口数logp=log(p);%y=lnxa,s=polyfit(t,logp,1)%最小二乘法p2=polyval(a,t);%拟合yplot(1790:10:2000),p,b+)%实际人口hold on%继续绘图plot(1790:10:2000),exp(p2),r-);%拟合人口一一 多项式运算多项式运算一一 多项式运算多项式运算l计算 的商、余多项式和导数多项式1)1)(4)(2(32 sssssp1=conv(1,0,2,conv

8、(1,4,1,1)%p1为分子多项式为分子多项式p2=1,0,1,1%p2为分母多项式为分母多项式q,r=deconv(p1,p2)%计算出商多项式和余多项式计算出商多项式和余多项式cq=商多项式商多项式;cr=余多项式余多项式;%cq,cr为字符串为字符串disp(cq,poly2str(q,s)%输出商多项式输出商多项式disp(cr,poly2str(r,s)%输出余多项式输出余多项式n,d=polyder(p1,p2)%计算计算(p1/p2)的导数多项式的导数多项式disp(poly2str(n,s);poly2str(d,s)%输出分子输出分子,分母的导数多项式分母的导数多项式 数数

9、 学学 实实 验验一 多项式运算二 矩阵和行列式计算三 线性方程组的解二二 矩阵和行列式计算矩阵和行列式计算l 常用的矩阵生成函数1、magic(n)生成生成nn的魔方矩阵的魔方矩阵2、ones(n)生成生成nn的全的全1矩阵矩阵 ones(m,n)生成生成mn的全的全1矩阵矩阵3、zeros(n)生成生成nn的全的全0矩阵矩阵 zeros(m,n)生成生成mn的全的全0矩阵矩阵4、rand(n)生成生成nn的均分布随机矩阵的均分布随机矩阵 rand(m,n)生成生成mn的均分布随机矩阵的均分布随机矩阵5、randn(n)生成生成nn的正态分布随机矩阵的正态分布随机矩阵 randn(m,n)生

10、成生成mn的正态分布随机矩阵的正态分布随机矩阵6、eye(n)生成生成nn的单位矩阵的单位矩阵7、diag(v)根据向量根据向量v生成生成dim(v)阶的对角形矩阵或提取对角元阶的对角形矩阵或提取对角元二二 矩阵和行列式计算矩阵和行列式计算l 常用的矩阵或行列式运算函数1、AB矩阵或数组的加法矩阵或数组的加法(减法减法)2、A*B (A.*B)矩阵的乘法矩阵的乘法(数组乘数组乘)3、AB (A/B)矩阵的左除矩阵的左除(右除右除)4、A (A.)矩阵的转置矩阵的转置(数组的转置数组的转置)5、inv(A)计算矩阵计算矩阵A的逆矩阵的逆矩阵A-16、det(A)计算方阵计算方阵A的行列式的值的行

11、列式的值7、rank(A)计算矩阵计算矩阵A的秩的秩8、eig(A)计算矩阵计算矩阵A的特征值和特征向量的特征值和特征向量9、lu(A)将方阵将方阵A分解成准上三角形矩阵分解成准上三角形矩阵L上三角形矩阵上三角形矩阵U10、qr(n)将矩阵将矩阵A分解成正交矩阵分解成正交矩阵Q上三角形矩阵上三角形矩阵R11、svd(m,n)将矩阵将矩阵A进行进行svd分解分解二二 矩阵和行列式计算矩阵和行列式计算l试比较矩阵的乘法与数组乘法的区别A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;%矩阵矩阵AB=3,1,2;6,4,5;9,7,8;%矩阵矩阵BA*B%矩阵的乘法矩阵的乘法得到得到A*B=42 30 36

12、96 66 81 150 102 126A.*B%数组的乘法数组的乘法得到得到A.*B=3 2 6 24 20 30 63 56 72二二 矩阵和行列式计算矩阵和行列式计算l试对比矩阵和数组的转置的共轭性R=1 2;3 4;%矩阵矩阵A的实部的实部RV=eye(2);%矩阵矩阵A的虚部的虚部VA=R+V*i;%矩阵矩阵AA%矩阵的转置矩阵的转置(共轭转置共轭转置)得到得到A=1.0000-1.0000i 3.0000 2.0000 4.0000-1.0000iA.%数组的转置数组的转置(非共轭转置非共轭转置)得到得到A.=1.0000+1.0000i 3.0000 2.0000 4.0000+

13、1.0000i二二 矩阵和行列式计算矩阵和行列式计算l计算矩阵的逆矩阵、矩阵的秩和特征值A=3 3-4-3;0 6 1 1;5 4 2 1;2 3 3 2%矩阵矩阵A的实部的实部RAinv=inv(A);%矩阵矩阵A的逆矩阵的逆矩阵Ainv得到得到Ainv=-7.0000 5.0000 12.0000 -19.0000 3.0000 -2.0000 -5.0000 8.0000 41.0000 -30.0000 -69.0000 111.0000 -59.0000 43.0000 99.0000-159.0000k=rank(A)%计算矩阵计算矩阵A的秩的秩k得到得到k=4d=eig(A)%计

14、算矩阵计算矩阵A的特征值的特征值d得到得到d=7.3156;2.8443+4.9345i;2.8443-4.9345i;-0.0042二二 矩阵和行列式计算矩阵和行列式计算l用符号计算验证矩阵 的行列式的值、逆矩阵和特征值 22211211aaaaAsyms a11 a12 a21 a22;%定义符号变量定义符号变量A=a11 a12;a21 a22;%定义符号矩阵定义符号矩阵det(A)%计算符号矩阵的行列式的值计算符号矩阵的行列式的值得到得到 a11*a22-a12*a21inv(A)%计算符号矩阵的逆矩阵计算符号矩阵的逆矩阵得到得到 a22/(a11*a22-a12*a21),-a12/

15、(a11*a22-a12*a21)-a21/(a11*a22-a12*a21),a11/(a11*a22-a12*a21)eig(A)%计算符号矩阵的特征值计算符号矩阵的特征值得到得到 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2)1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2)二二 矩阵和行列式计算矩阵和行列式计算l试验证三阶行列式的计算公式，并推导出四级行列式的计算公式syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33;%定义符号变

16、量定义符号变量A=a11 a12 a13;a21 a22 a23;a31 a32 a33;%定义符号矩阵定义符号矩阵det(A)%计算三阶符号矩阵的行列式的值计算三阶符号矩阵的行列式的值得到得到 a11*a22*a33-a11*a23*a32-a21*a12*a33+a21*a13*a32+a31*a12*a23-a31*a13*a22syms a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44;A=a11 a12 a13 a14;a21 a22 a23 a24;a31 a32 a33 a34;a41 a42 a43

17、a44;dt=det(A)%计算四阶符号矩阵的行列式的值计算四阶符号矩阵的行列式的值simple(dt)%进行化简进行化简结果略结果略二二 矩阵和行列式计算矩阵和行列式计算l求矩阵的特征值和特征向量A=3 2 2;2 3 2;2 2 3%矩阵矩阵A的实部的实部Rv,d=eig(A)%计算矩阵计算矩阵A的特征向量的特征向量v和特征值和特征值d得到得到v=-0.5397 0.6127 0.5774 -0.2607 -0.7738 0.5774 0.8004 0.1611 0.5774d=1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 7.0000注：各特征值对应的特征向量为注：各特征值对应的特

18、征向量为v中所对应的特征列向量，但仅为近似值。中所对应的特征列向量，但仅为近似值。数数 学学 实实 验验一 多项式运算二 矩阵和行列式计算三 线性方程组的解三三 线性方程组的解线性方程组的解l主要有左除法和函数法解线性方程组A=10 3 1;2-10 3;1 3 10;%系数矩阵系数矩阵Ab=14;-5;14;%常数项常数项x=Ab%左除法求线性方程组左除法求线性方程组得到得到x=-(a12*b2-b1*a22)/(a11*a22-a12*a21)(a11*b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21)l左除法解线性方程组 141035310214310321321321xxxxxx

19、xxx三三 线性方程组的解线性方程组的解l左除法解符号线性方程组 22221211212111bxaxabxaxa syms a11 a12 a21 a22 b1 b2;%符号变量符号变量A=a11 a12;a21 a22;%系数矩阵系数矩阵Ab=b1;b2;%常数项常数项x=Ab%左除法求线性方程组左除法求线性方程组得到得到x=-(a12*b2-b1*a22)/(a11*a22-a12*a21)(a11*b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21)三三 线性方程组的解线性方程组的解l利用solve函数解线性方程%solve函数求解线性方程组函数求解线性方程组s=solve(x1+

20、2*x2+x3=0,2*x1-x2+x3=1,x1-x2+2*x3=3得到得到s.x1=-1/2s.x2=-1/2s.x3=3/2 321202321321321xxxxxxxxx三三 线性方程组的解线性方程组的解lsolve 函数解线性方程组 53474274232zyxzyxzyx%solve函数求解线性方程组函数求解线性方程组s=solve(x+2*y+3*z=0,4*x+7*y+2*z=4,7*x+4*y+3*z=5)得到得到s.x=61/82s.y=11/41s.z=-35/82 数数 学学 实实 验验 作业 P99 T14、T16(2)(2)、(4)(4)P201 T20(8)(8)、(10)(10)、T21