高数(1)[复习]课件.ppt
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1、第一章第一章 函数与极限函数与极限基 本 要 求1.理解函数概念及函数的几种特性;2.理解反函数和复合函数概念;3.理解数列极限与函数极限(左、右极限)概念;4.理解无穷小的定义及运算性质;5.掌握极限运算法则及变量代换法则;6.理解极限存在准则,会用两个重要极限求其它极限;7.理解函数连续的概念,了解初等函数的连续性,闭区间上函数连续的性质.一、函数 1、概念(P.7)设 x 和 y 为两个变量,D 是一给定的非空数集.如果按照一定法则 f,对于 D 中每个数 x,变量 y 都有唯一确定的值和它相对应,则称该法则 f 为 D 上的函数.记作:其中,x 为自变量,y 为因变量,D 为函数的定义
2、域,全体函数值所组成的集合 Rf 称为函数的值域.构成函数的两要素:定义域与对应法则.自然定义域 分式,偶次根式,对数,反正(余)弦.Dxxfy)(xo)(xfy 2.函数的图象 以自变量 x 为横坐标,对应的 y 值为纵坐标,所得曲线为函数的图象.3.函数的特性(P.11)有界性:单调性:奇偶性:周期性:Mxf)()(2121xfxfxx单调增加)()(2121xfxfxx单调减少奇函数)()(xfxf偶函数)()(xfxf)()(xflxf 4.反函数(P.14)5.复合函数(P.15),(ufy),(xu)(xfyu 为中间变量,注意弄清函数的复合过程.若)(xfy)(1yfxfRy6.
3、初等函数(P.17)基本初等函数:幂、指数、对数、三角、反三角函数 初等函数:常数、基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合步骤所构成且可用一个解析式子表示的函数.二、极限 1、极限概念 数列的极限(P.26)axnnlim或 xna(n)时,有|xn-a|则称常数 a 是数列 xn 的极限(或称数列 xn 收敛于a),记为:如果这样的常数不存在,则称数列 xn 是发散的.设xn为一数列,如果 存在 N,使得当 n N,0 函数的极限(P.32-35)设函数 f(x)在点 x0 的某一去心邻域内有定义,若 存在 使得当 时,有,000,xx|f(x)-A|则称常数 A 是函数 f(x)当 x
4、x0 时的极限,记为:或 f(x)A(x x0)Axfxx)(lim0 设函数 f(x)在|x|M 时有定义,如果存在常数 A,|f(x)-A|则称常数 A 是函数 f(x)当 x 时的极限,记为:Axfx)(lim或 f(x)A(x)存在正数 使得当 时,有,0XxX,2、极限的性质 极限存在的唯一性 有界性(或局部有界性)保号性(或局部保号性)3、极限的运算法则(P.44)若 lim f(x)=A,lim g(x)=B,则 limf(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB limf(x).g(x)=lim f(x).lim g(x)=A.B 若 lim g(x)=B0,则 B
5、Axgxfxgxflimlimlim 特别 limc f(x)=clim f(x)=c A 若 f(x)g(x),则lim f(x)lim g(x),即 A B4、极限存在准则(P.50)准则(夹逼准则)如果数列 xn,yn,zn(n=1,2,)满足:准则 单调有界数列必有极限.5、两个重要极限ennn11lim 1sinlim0 xxx ynxnzn (n=1,2,),yna,zna,(n),则 xna (n)exxx11limexxx101lim6、无穷小与无穷大 无穷小(极限为 0 的量)有限个无穷小的和、差、积仍为无穷小 无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小 lim f(x)=A f(x)
6、=A+(为无穷小)无穷小的阶:与 为同一过程的无穷小,若 无穷大(极限为的量)无穷大与无穷小互为倒数lim0 高阶 低阶1 等价c0 同阶)(o7、函数的连续性 函数的连续性 00limxfxfxx 函数 f(x)在点 x0 连续 函数 f(x)在区间上连续 函数的间断点(不连续的点)连续性函数的四则运算 连续函数的和、差、积、商(分母不为零)反函数、复合函数、初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 有界性、最大值最小值、介值定理仍为连续函数.练习:P.21 4.(3)14.(1)(5)P.56 1.(5)2.(1)(4)P.60 4.(3)P.70 3.(4)4.(3)P.74 总习题一、
7、1.(1)(4)3.(2)第二章第二章 导导数与微分数与微分基 本 要 求1.理解导数的概念,导数的几何意义,会求切线方程;2.了解左、右导数的概念及函数可导的充要条件;3.理解函数的可导性与连续性的关系;4.掌握基本初等函数的导数公式;5.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;6.了解高阶导数的概念,会求简单函数的二阶导数;7.理解函数微分的概念,函数可导与可微的关系;8.了解函数微分的运算法则和微分形式的不变性,会求函数的微分.一、导数一、导数 1 1、导数概念:、导数概念:),(0 xf,)(0 xxdxxdf.0 xxdxdy在点在点 x0 处的导数处的导数 (P.79)xxfx
8、xfyxxx)()(lim0000或记为或记为导函数导函数 xxfxxfxfx)()(lim0),(xy,)(dxxdf.dxdy或记为或记为 2 2、导数的几何意义、导数的几何意义 (P.84)曲线曲线)(xfy在点在点),(00yxM处的切线的斜率处的切线的斜率.注注 函数函数 f(x)在点在点 x0 可导的充分必要条件是可导的充分必要条件是函数在点函数在点 x0 的左导数与右导数存在且相等;的左导数与右导数存在且相等;函数函数 f(x)在点在点 x0 可导的必要条件是可导的必要条件是函数在点函数在点 x0 连续连续.3 3、函数的和、差、积商的求导数法则、函数的和、差、积商的求导数法则
9、(P.88)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu)()()()(xvxuxvxu)()()()()()(xvxuxvxuxvxu 4 4、反函数的导数、反函数的导数 (P.90)yfxf11 5 5、复合函数求导数法则、复合函数求导数法则 (P.92)(),(xguufy 则:则:)()(xgufdxdydxdududydxdy 或:或:设:设:dydxdxdy1 或:或:6 6、基本求导公式、基本求导公式 (P.95)0c1xxaaaxxlnxxee axxaln1logxx1ln211arcsinxx211arccosxx211arctanxx211cotxxarcxx
10、cossinxxsincosxx2sectanxx2csccotxxxtansecsecxxxcotcsccsc)()(1xfdxddxxfdnnn 7 7、高阶导数、高阶导数 (P.99)n 阶导数:1nnyy或 8 8、隐函数的导数、隐函数的导数 (P.104)9 9、参数方程的导数、参数方程的导数 (P.107)0)(,0),(xyxFyxF)()(tytxdxdtdtdydxdydtdxdtdy1.)()(tt二、微分二、微分 1、微分概念(P.113)若)(xoxAy)(xf0 x则称函数在点是可微的,且称 Ax 为函数)(xf0 x在点的微分,记为 dy,即 xAdy 2、微分的几
11、何意义(P.116)3、微分与导数的关系 函数 f(x)在点 x0 可微分的充分必要条件是函数F(x)在点 x0 可导.dxxfdy)(4 4、基本微分公式(P.116)5、函数的和、差积、商的微分法则 2vudvvduvuddvduvud)(udvvdudvd)(6、复合函数的微分法则)(),(xuufy 则:dxdxdududydy 设:duuf)(duufdy)(这一性质称为微分形式的不变性.即:练习:P.98 6.(1)(6)(9)7.(3)(8)8.(6)P.103 1.(5)(12)P.111 1.(3)2.3.(1)7.(1)8.(2)P.123 3.(1)(5)总习题二 P.1
12、25 1.(1)(3)12.(1)第三章第三章 微分中值定理微分中值定理与导数的应用与导数的应用基 本 要 求1.理解拉格朗日中值定理;2.掌握用洛必达法则求各类未定式的极限的方法;3.掌握用导数判断函数的单调性的方法;4.理解函数的极值的概念,掌握求极值的方法;5.掌握函数的最大值和最小值的求法.一、一、微分中值定理 1.拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)满足:在闭区间a,b上连续;在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)内至少有一点(a 0时,函数 y=f(x)在a,b上单调增加;在(a,b)内 f(x)0时,函数 y=f(x)在a,b上单调减少.2、函数的极值 f(x)f(x0),则称
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