随机变量的数字特征课件.ppt

1、第七章第七章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 前面讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布前面讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律。然而在许函数能够完整地描述随机变量的统计规律。然而在许多实际问题中，随机变量的分布并不容易求得，并且多实际问题中，随机变量的分布并不容易求得，并且有时不需要去完全考察随机变量的变化情况，而只需有时不需要去完全考察随机变量的变化情况，而只需要知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分要知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数。布函数。例如例如 1 1、在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只、在评定某一地区粮

2、食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产量；要知道该地区的平均产量；2 2、在研究水稻的品种优劣时，时常是关心稻穗的平均、在研究水稻的品种优劣时，时常是关心稻穗的平均稻谷粒数；稻谷粒数；3 3、在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均、在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在

3、某然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。随机变量的数字特征就是用数字些方面的重要特征。随机变量的数字特征就是用数字表示随机变量的分布特点，在理论和实践上都具有重表示随机变量的分布特点，在理论和实践上都具有重要的意义。要的意义。第七章第七章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第七章第七章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 数学期望数学期望 方差和标准差方差和标准差 协方差和相关系数协方差和相关系数 切比雪夫不等式及大数定理切比雪夫不等式及大数定理 中心极限定理中心极限定理7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机

4、变量的数学期望从平均数说起，设以数据集从平均数说起，设以数据集 2，3，2，4，2，3，4，5，3，2为总体，求其平均数（设为为总体，求其平均数（设为）=（2+3+2+4+2+3+4+5+3+22+3+2+4+2+3+4+5+3+2）/10/10 =（2 24+34+33 3+4+42 2+5+51 1）/10/10 =2 =24/10+34/10+33/103/10+4+42/102/10+5+51 1/10/10 =3 =3概括得：概括得：1iiifx7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望下面我们逐步分析如何由分布来求下

5、面我们逐步分析如何由分布来求“均值均值”：（1 1）算术平均：如果有）算术平均：如果有n n个数个数x x1 1,x,x2 2,x,xn n ，那么求这，那么求这n n个数个数的算术平均，只需将此的算术平均，只需将此n n个数相加后除以个数相加后除以n n，即，即 （2 2）加权平均：如果这）加权平均：如果这n n个数中有相同的，不妨设其中有个数中有相同的，不妨设其中有n ni i 个取值为个取值为x xi i(i(i=1,2,=1,2,k),k)，列表为，列表为 1211111.ninixxxxxnnnn1x2xkx1n2nkn1nn2nnknn 频率频率频数频数取值取值1212111kki

6、kiiikiinnnnn xxxxxnnnnn7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望其实，这个其实，这个“加权加权”平均的权数平均的权数n ni i/n/n 就是出现数值就是出现数值 x xi i的频率，而频率在的频率，而频率在 n n 很大时，就稳定在其概率附近。很大时，就稳定在其概率附近。（3 3）对于一个离散随机变量）对于一个离散随机变量 X X，如果其可能取值为，如果其可能取值为x x1 1,x,x2 2,x,xn n ，若将这，若将这n n个数相加后除以个数相加后除以n n作为作为“均值均值”，则肯定是不妥的，原因

7、在于则肯定是不妥的，原因在于X X 取各个值的概率是不同取各个值的概率是不同的，概率大的出现的机会就大，在计算中其权数就应的，概率大的出现的机会就大，在计算中其权数就应该大。该大。用取值的概率作为一种用取值的概率作为一种“权数权数”作加权平均是十分合理作加权平均是十分合理的。的。7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.1.定义定义 设离散随机变量设离散随机变量X X的分布律为的分布律为 1|iiipx一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望()(),1,2,iiip xP Xxpin为随机变量为随机变量X X的的数学期望数学期望，或称为该分布的数学期望，或称为该

8、分布的数学期望，简称期望或均值。简称期望或均值。1|iiipx若级数若级数 不收敛不收敛,则称则称X X的期望不存在。的期望不存在。如果如果则称则称XPx1 x2 xn p1 p2 pn 1 12 2()kkkkkE Xpxp xp xp x7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望(1)X(1)X的期望的期望E(X)E(X)是一个数，它形式上是是一个数，它形式上是X X的可能值的的可能值的加权平均，其权重是其相应的概率，实质上它体现了加权平均，其权重是其相应的概率，实质上它体现了X X取值的真正平均，为此我们又称它为取值的真正

9、平均，为此我们又称它为X X的均值。因为它的均值。因为它完全由完全由X X的分布所决定，所以又称为分布的平均值。的分布所决定，所以又称为分布的平均值。(2)E(X)(2)E(X)作为刻划作为刻划X X的某种特性的数值，不应与各项的的某种特性的数值，不应与各项的排列次序有关。所以，定义中要求级数绝对收敛。排列次序有关。所以，定义中要求级数绝对收敛。注释注释所以所以A A 的射击技术较的射击技术较B B的好的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称3.96.0101.093.081.93.0105.092.08例例:有有A A，B B 两射手，他们的射击技术

10、如表所示，试问哪一两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？个射手本领较好？解解 A A射击平均击中环数为射击平均击中环数为B B射击平均击中环数为射击平均击中环数为例例:设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三种情况：按定价销售出去，打折销售出去，销售不出种情况：按定价销售出去，打折销售出去，销售不出去而回收。根据市场分析，这三种情况发生的概率分去而回收。根据市场分析，这三种情况发生的概率分别为别为0.60.6，0.30.3，0.10.1。在这三种情况下每件产品的利润。在这三种情况下每件产品的利润分别为分别为1010元，元，0 0

11、元，元，1515元（即亏损元（即亏损1515元）。问厂家对元）。问厂家对每件产品可期望获利多少？每件产品可期望获利多少？解解:设设X X表示一件产品的利润（单位元），表示一件产品的利润（单位元），X X是随机变量，是随机变量，且且X X的分布律为的分布律为 X 10 0 -15 P 0.6 0.3 0.1 依题意，所要求的是依题意，所要求的是X X的数学期望的数学期望 E(X)=10E(X)=100.6+00.6+00.3+(-15)0.3+(-15)0.1=4.5(0.1=4.5(元元)7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望2.2.几种典型的离散型随机变量的数学期望几种典型的离

12、散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望i.Xi.X服从参数为服从参数为p p的的(0,1)(0,1)分布：分布：ii.ii.若若X X B(n,pB(n,p),),则则E(X)=npE(X)=np；证明：证明：X X的分布律为的分布律为.,.,2,1,0nkqpCkXPknkkn nkknknkknkknqpknknkqpCkXE10)!(!)(nkknkqpknknnp11)!(!1!1.)(11111npqpnpqpCnpnnkknkkn E(X)=0E(X)=0(1-p)+1(1-p)+1p=pp=p；X 0 1 P q p 7.1 7.1 随机变

13、量的数学期望随机变量的数学期望2.2.几种典型的离散型随机变量的数学期望几种典型的离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望iii.iii.若若X X P(P()，则，则E(X)=E(X)=。证明：证明：X X的分布律为的分布律为 ,.2,1,0!kkekXPk !1!)(10 kekekXEkkkk eekekk11!17.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 1.1.定义定义 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为f(x)f(x)，如果如果 则称则称 为随为随机

14、变量机变量X X的数学期望，记为的数学期望，记为E(X).E(X).dxxfx)(|其他,010,2)(xxxf dxxxfXE)()(例例:设随机变量设随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为试求试求X X的数学期望的数学期望解解32322103102xdxx102xdxx7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望2.2.几种典型的连续型随机变量的数学期望几种典型的连续型随机变量的数学期望 i.i.若若X X R(a,bR(a,b),),则则 E(X)=(a+b)/2E(X)=(a+b)/2.),(0),(1)(baxb

15、axabxf21)()(badxabxdxxxfXEba 证：证：X X的概率密度为的概率密度为7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望2.2.几种典型的连续型随机变量的数学期望几种典型的连续型随机变量的数学期望证：证：X X的概率密度为的概率密度为ii.ii.若若X X N(N(,2 2)，则，则 E(X)=E(X)=.22221)(xexf dxexdxxxfXEx22221)()(，tx 令令 .221)(2222 dtedtetXEtt特别地，若特别地，若X X N(0,1)N(0,1)，则，则E(X)=0.E(X)=

16、0.7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望2.2.几种典型的连续型随机变量的数学期望几种典型的连续型随机变量的数学期望。1)()(0 dxedxxxfXEx二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望证：证：X X的概率密度为的概率密度为iii.iii.若若X X服从参数为服从参数为的的指数分布，则指数分布，则 E(X)=1/E(X)=1/.000)(xxexfx7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望三、随机变量的函数的数学期望三、随机变量的函数的数学期望定理定理 设设Y Y是随机变量是随机变量X X的函数的函数:Y=g(X)(g:Y=g(X)(g是连续

17、函数是连续函数)，(1)X(1)X是离散型随机变量，它的分布律为是离散型随机变量，它的分布律为PX=PX=x xk k=p=pk k ，k=1k=1，2 2，若若 绝对收敛，绝对收敛，则有则有 1kkkpxg 1)()(kkkpxgXgEYE(2)X(2)X是连续型随机变量，它的概率密度为是连续型随机变量，它的概率密度为f f(x x)，若若 绝对收敛，绝对收敛，则有则有 dxxfxgXgEYE)()()()(dxxfxg)()(例例 已知随机变量已知随机变量X X的分布律如下的分布律如下求求解解2YX2YXXP0.2 0.1 0.1 0.3 0.30.2 0.1 0.1 0.3 0.3-2

18、-1 0 1 2-2 -1 0 1 2 2X2(2)2(1)202122P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1 0.3 0.32XP0.1 0.4 0.5 0 1 4对相同的值合并，并把对应的概率相加，可得对相同的值合并，并把对应的概率相加，可得2.4()E Y2()E X0 0.1 1 0.44 0.5 2.422222(2)0.2(1)0.1 00.1 10.320.3 2()E X()E Y所以所以或或的数学期望。的数学期望。的分布律为的分布律为例：某公司生产的机器其无故障工作时间例：某公司生产的机器其无故障工作时间X X有密度函数有密度函数公司每出售一台机器

19、可获利公司每出售一台机器可获利16001600元元,若机器售出后使用若机器售出后使用1.21.2万万小时之内出故障小时之内出故障,则应予以更换则应予以更换,这时每台亏损这时每台亏损12001200元元;若在若在1.21.2到到2 2万小时之间出故障万小时之间出故障,则予以维修则予以维修,由公司负担维修费由公司负担维修费400400元元;在使用在使用2 2万小时以后出故障万小时以后出故障,则用户自己负责则用户自己负责.求该公司售出每求该公司售出每台机器的平均获利台机器的平均获利.2,1600;21,1200;2.10,1200 xxxg(x)Y .2 dxxdxxdxx 2222.122.112

20、116001120011200 其其他他.1 1 ,0,1)(2；xxxf)()(xgEYE 解解:设设Y Y表示售出一台机器的获利表示售出一台机器的获利.则则1000 7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望三、随机变量的函数的数学期望三、随机变量的函数的数学期望,.2,1,jipyYxXPijji ijjijipyxg|),(|jiijjipyxgYXgEZE),(),()(dxdyyxfyxg),(|),(|dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(定理定理:设设Z Z是随机变量是随机变量X,YX,Y的函数的函数Z=g(X,YZ=g(X,Y)(g)(g是连续函数是

21、连续函数).).(1)(1)设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布律为的分布律为(2)(2)设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布密度为的分布密度为f(f(x x,y y),),若若若若则则则则例例:设（设（X,YX,Y）的联合分布律如下，）的联合分布律如下，Z=XYZ=XY，求，求E(Z).E(Z).解解 ()1 0 0.1 1 1 0.252 0 0.152 1 0.15 E Z3 0 0.253 1 0.10.85 XY 1 2 3 010.1 0.15 0.25 0.25 0.15 0.1 例：设例：设(X(X，Y)Y)服从服从A A上的均匀分布上的均匀

22、分布,其中其中A A为由为由x x轴，轴，y y轴及直线轴及直线x+y/2=1x+y/2=1围成的平面三角形区域围成的平面三角形区域,求求E(XY)E(XY)x+y/2=1x+y/2=12 20 01 1x xy y解：解：AxydxdyXYE)()1(2010 xydydxxdxxx210)1(2 61 7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望四、数学期望的性质四、数学期望的性质1.1.若若C C是常数是常数,则则 E(C)=C.E(C)=C.2.2.设设X,YX,Y是两个随机变量是两个随机变量,若若E(X),E(Y)E(X),E(Y)存在存在,则对任意的则对任意的实数实数a a

23、、b,E(b,E(a aX+bYX+bY)存在存在,且有且有 E(E(a aX+bYX+bY)=)=a aE(X)+bE(YE(X)+bE(Y)3.3.设设X,YX,Y是互相独立的随机变量是互相独立的随机变量,则有则有 E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)性质性质2 2、3 3都可推广到有限个互相独立的随机变量之积都可推广到有限个互相独立的随机变量之积 的情况的情况.7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望四、数学期望的性质四、数学期望的性质性质性质2 2 E(E(a aX+bYX+bY)=)=a aE(X)+bE(YE(X)+bE(Y)证明证明 (1)(1)设

24、离散型随机变量设离散型随机变量(X,Y)(X,Y)的联合分布律和边缘分的联合分布律和边缘分布律分别为布律分别为PX=PX=x xi i,Y=y,Y=yj j=p=pijij,i,j=1,2,i,j=1,2,PX=PX=x xi i=p=pi i.,i=1,2,.,i=1,2,PY=yPY=yj j=p.=p.j j,j=1,2,j=1,2,则则111111)()(jiijjijijiijijjipbypaxpbyaxbYaXE)()(1.1.YbEXaEpybpxajjjiii7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望四、数学期望的性质四、数学期望的性质性质性质2 2 E(E(a a

25、X+bYX+bY)=)=a aE(X)+bE(YE(X)+bE(Y)(2)(2)设连续型随机变量设连续型随机变量(X,Y)(X,Y)的联合概率密度和边缘概率的联合概率密度和边缘概率密度分别为密度分别为f(f(x,yx,y)和和f fX X(x x),f),fY Y(y y)则则 dxdyyxfbyaxbYaXE),()()(dxdyyxbyfdxdyyxaxf),(),(dydxyxfbydxdyyxfax),(),()()()()(YbEXaEdyybyfdxxaxfYX 7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望四、数学期望的性质四、数学期望的性质性质性质3 3 如如X,YX,Y

26、是互相独立是互相独立,则则 E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)证明证明 (1)(1)设离散型随机变量设离散型随机变量(X,Y)(X,Y)的联合分布律和边缘分的联合分布律和边缘分布律分别为布律分别为PX=PX=x xi i,Y=y,Y=yj j=p=pijij,i,j=1,2,i,j=1,2,PX=PX=x xi i=p=pi i.,i=1,2,.,i=1,2,PY=yPY=yj j=p.=p.j j,j=1,2,j=1,2,则则11.11)(ijjijiijijjippyxpyxXYE)()(1.1.YEXEpypxjjjiii7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的

27、数学期望四、数学期望的性质四、数学期望的性质性质性质3 3 如如X,YX,Y是互相独立是互相独立,则则 E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)(2)(2)设连续型随机变量设连续型随机变量(X,Y)(X,Y)的联合概率密度和边缘概率的联合概率密度和边缘概率密度分别为密度分别为f(f(x,yx,y)和和f fX X(x x),f),fY Y(y y)则则 dxdyyxxyfXYE),()(dxdyyfxxyfYX)()(dyyyfdxxxfYX)()()()(YEXE例：将例：将n n个球随机地放入个球随机地放入M M个盒子中去，设每个球放入各个盒子个盒子中去，设每个球放入各个盒

28、子是等可能的，求有球盒子数是等可能的，求有球盒子数X X的期望的期望解：解：)0(0)1(1)(iiiXPXPXE MiiXX1记记 个个盒盒无无球球.第第个个盒盒有有球球第第 iiXi ,0,1；i=1,2,=1,2,M,M,则则nnn)M11(M)1M()1(iXPnM)11(1 因而因而nM)11(1 MiiXEXE1)()()11(1(nMM )0X(Pi例例:抛掷抛掷6 6颗骰子，颗骰子，X X表示出现的点数之和，求表示出现的点数之和，求E(X).E(X).121()(126)66iE X从而由期望的性质可得从而由期望的性质可得 6611121()()()6(126)62166iii

29、iE XEXE X7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差引例引例 有两批钢筋有两批钢筋(每批每批1010根根)它们的抗拉强度为：它们的抗拉强度为：第一批第一批 110,120,120,125,125,125,130,130,135,140 110,120,120,125,125,125,130,130,135,140 第二批第二批 90,100,120,125,125,130,135,145,145,145 90,100,120,125,125,130,135,145,145,145 可以计算出两批数据的平均数都是可以计算出两批数据的平均数都是126,126,但直观上第二但直观上第二批数据与

30、平均数批数据与平均数126126有较大的偏离有较大的偏离因此因此,欲描述一组数据的分布欲描述一组数据的分布,单单有中心位置的指标单单有中心位置的指标是不够的是不够的,尚需有一个描述相对于中心位置的偏离程度尚需有一个描述相对于中心位置的偏离程度的指标的指标.通常可用通常可用EX-E(X)EX-E(X)2 2描述相对于期望的偏离描述相对于期望的偏离7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差一、方差的定义一、方差的定义 定义定义 设设X X是一个随机变量，若是一个随机变量，若EX-E(X)EX-E(X)2 2存在，则称存在，则称 EX-E(X)EX-E(X)2 2 为为X X的方差，记为的方差，记为D

31、(X)D(X)，即即:D(X)=EX-E(X)D(X)=EX-E(X)2 2注释：注释：(1)(1)方差是随机变量方差是随机变量X X与其与其“中心中心”E(X)E(X)的偏差平方的平的偏差平方的平均。它表达了均。它表达了X X的取值与其期望值的取值与其期望值E(X)E(X)的偏离程度。的偏离程度。若若 X X 取值较集中，则取值较集中，则D(X)D(X)较小，反之，若取值较分较小，反之，若取值较分散，则散，则D(X)D(X)较大。较大。(2)(2)应用上，常用量应用上，常用量 ，称为，称为标准差标准差或均方差，记或均方差，记为为 (X)=(X)=。)(XD)(XD7.2 7.2 方差和标准差

32、方差和标准差二、二、方差的计算公式方差的计算公式 12)()(kkkpXExXD dxxfXExXD)()()(2 方差实际上是随机变量方差实际上是随机变量X X的函数的函数g(Y)=X-E(X)g(Y)=X-E(X)2 2的数学期的数学期望望.于是于是 (1)(1)对于离散型随机变量对于离散型随机变量X,X,若若PX=PX=x xk k=p=pk k,k=1,2,k=1,2,则则 (2)(2)对于连续型随机变量对于连续型随机变量X,X,若其概率密度为若其概率密度为f(f(x x),),则则7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差二、二、方差的计算公式方差的计算公式(3)(3)D(X)=E(X

33、D(X)=E(X2 2)-E(X)-E(X)2 2 证明：证明：D(X)=EX-E(X)D(X)=EX-E(X)2 2=E(X=E(X2 2-2X-2XE(X)+E(X)E(X)+E(X)2 2)=E(X=E(X2 2)-2E(X)-2E(X)E(X)+E(X)E(X)+E(X)2 2=E(X=E(X2 2)-E(X)-E(X)2 27.2 7.2 方差和标准差方差和标准差三、三、常见分布的方差常见分布的方差1.1.（0-10-1）分布的方差）分布的方差pqpXE22201)(定理：若定理：若PX=0=q,PX=1=p,PX=0=q,PX=1=p,则则 D(X)=pqD(X)=pq.证明证明p

34、qppppXEXEXD )1()()()(222故有故有pXE)(又又X 0 1 P q p 7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差三、三、常见分布的方差常见分布的方差2.2.二项分布的方差二项分布的方差定理定理:若随机变量若随机变量X X服从二项分布服从二项分布X XB(n,p),B(n,p),则则 D(X)=npqD(X)=npq.22)()()(XEXEXD证明证明nkknkknqpCkXE022)(nkknkqpknknkkk1)!(!)1(nppnn2)1(npqpnnppnn 222)1(7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差三、三、常见分布的方差常见分布的方差3.3.泊松分布

35、的方差泊松分布的方差ekkXEkk022!)(定理：设随机变量定理：设随机变量X X服从泊松分布服从泊松分布X XP(),P(),则则 D(X)=.D(X)=.证明证明2222)()()(XEXEXDekkkk1)!1()11(20110222)!1()!2(ekekkkkk7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差三、三、常见分布的方差常见分布的方差4.4.均匀分布的方差均匀分布的方差)(311)(2222aabbdxxabXEba定理定理:设随机变量设随机变量X X服从均匀分布服从均匀分布X XR(R(a a,b,b),),则则 D(X)=(b-D(X)=(b-a a)2 2/12/12.证

36、明证明222)(121)()()(abXEXEXD7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差三、三、常见分布的方差常见分布的方差5.5.指数分布的方差指数分布的方差21)(XD20222)(dxexXEx定理定理:设随机变量设随机变量X X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布,则则证明证明22222112)()()(XEXEXD7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差三、三、常见分布的方差常见分布的方差6.6.正态分布的方差正态分布的方差)()(2XEXD定理定理:设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布XN(,2),),则则 D(X)=D(X)=2 2证明证明dxxx2)(exp2

37、1)(222222222dtetxtt7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差常见分布的期望和方差表常见分布的期望和方差表7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差四、方差的性质四、方差的性质假定以下所遇到的随机变量的方差存在假定以下所遇到的随机变量的方差存在:(1)(1)设设C C是常数，则是常数，则 D(C)=0D(C)=0；(2)(2)设设X X是随机变量，是随机变量，a a是常数，则是常数，则D(D(a aX X)=)=a a2 2D(X),D(X),从而从而 D(D(a aX+bX+b)=)=a a2 2D(X)D(X)；(3)(3)设设X X，Y Y是两个相互独立的随机变量，则有是两

38、个相互独立的随机变量，则有 D(XD(X Y)=D(X)+D(Y)Y)=D(X)+D(Y)；(2)(2)证证:D(:D(a aX+bX+b)=E()=E(a aX+b)-E(X+b)-E(a aX+b)X+b)2 2 =E(=E(a aX+b)-E(X+b)-E(a aX)-bX)-b2 2 =E =Ea aX-E(X-E(a aX)X)2 2 =E =Ea a(X-E(X)(X-E(X)2 2 =a a2 2EX-E(X)EX-E(X)2 2 =a a2 2D(X)D(X)7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差 由于由于X X，Y Y相互独立，相互独立，X XE(X)E(X)与与Y YE(

39、Y)E(Y)也相互独立，由也相互独立，由数学期望的性质，数学期望的性质，2EX-E(X)Y-E(Y)=2EX-E(X)2EX-E(X)Y-E(Y)=2EX-E(X)EY-E(Y)=0 EY-E(Y)=0 于是得于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y).D(X+Y)=D(X)+D(Y).四、方差的性质四、方差的性质(3)(3)证证:D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y):D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2 2 =E(X-E(X)+(Y-E(Y)=E(X-E(X)+(Y-E(Y)2 2 =EX-E(X)=EX-E(X)2 2+EY-E(Y)+EY-E(Y)2 2 +2EX-E(X)Y-E

40、(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。之和的情况。7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差四、方差的性质四、方差的性质若若nXX,1相互独立，相互独立，nkkk,21为常数为常数则则 niiiniiiXDkXkD121)(若若X,Y X,Y 相互独立相互独立)()()(YDXDYXD)()()(YEXEXYE例例 设设X X1 1,X,X2 2,X,Xn n独立同分布，独立同分布，E(X)=E(X)=,D(X,D(X1 1)=)=2 2.记记 若用若用X X1 1,X,X2 2,X,Xn

41、n表示对某物件重量的表示对某物件重量的n n次重复测量的误差次重复测量的误差,而而2 2为测量误差大小的度量，公式为测量误差大小的度量，公式 表明表明n n次次重复测量的平均误差是单次测量误差的重复测量的平均误差是单次测量误差的1/n1/n，换言之，重，换言之，重复测量的平均精度比单次测量的精度高复测量的平均精度比单次测量的精度高.,11 niiXnX证明证明:,)(XE.)(2nXD 证证 nXEXEniinii )()(11,)(XE211)()(nXDXDniinii .)(2nXD 注注 .)(2nXD 已知已知 X X 的的 概率密度函数为概率密度函数为其它,0,10,)(2xBxA

42、xxf其中其中 A,BA,B 是常数，且是常数，且 E E(X X)=0.5.)=0.5.(1)(1)求求 A,B.A,B.(2)(2)设设 Y=X Y=X 2 2,求求 E E(Y Y),),D D(Y Y)解解 (1)(1)1)()(102dxBxAxdxxf21)()(102dxBxAxxdxxxf2134123BABA6,6BA(2)(2).10/3)66(1022dxxxx.7/1)66(1024dxxxx.70037)()()(22YEYEYDdxxfxXEYE)()()(22dxxfxXEYE)()()(442是两个相互独立的随机变量，其概率密度是两个相互独立的随机变量，其概率密

43、度12,XX分别为分别为.,10,0,2)(1其它xxxf.,5,0,)(52其它）（xexfx求求12()D XX.解解 因为因为 相互独立，所以相互独立，所以 12,XX1212()()()D XXD XD X而而 11()()E Xxf x dx10223xxdx22()()E Xyfy dy(5)56yy edy2211()()E Xx f x dx120122xxdx2222()()E Xy fy dy2(5)5yyedy2(5)(5)552yyyey edy(5)(5)552522yyy eedy(5)535237ye所以所以 21121()2318D X22()3761D X12

44、119()11818D XX 解解 X的密度函数为的密度函数为 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为1的指数分布，求的指数分布，求2XE Xe 22()()()XxE Xexef x dx,(0)()0,(0)xexf xx20()xxxee dx300 xxxe dxedx43所以所以 7.3 7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数引引 言言 对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y)(X,Y)来说来说,数学期望数学期望E(X)E(X)、E(Y)E(Y)只反映了只反映了X X与与Y Y各自的平均值各自的平均值,方差只反映了方差只反映了X X与与Y Y各自各自离开均值的偏离程度离开均值

45、的偏离程度,它们对它们对X X与与Y Y之间相互关系不提之间相互关系不提供任何信息供任何信息.但二维随机变量但二维随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度的概率密度f(f(x x,y,y)或分布律或分布律p pijij全面地描述了全面地描述了(X,Y)(X,Y)的统计规律的统计规律,也包含有也包含有X X与与Y Y之之间关系的信息间关系的信息.我们希望有一个数字特征能够在一定我们希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系程度上反映这种联系.7.3 7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数一、一、协方差协方差定义定义：设二随机变量：设二随机变量(X,Y)(X,Y)的数学期望的数学期望(E(X)

46、,E(Y)(E(X),E(Y)存在存在,若若E(X-E(X)(Y-E(Y)E(X-E(X)(Y-E(Y)存在存在,则称它为随机变量则称它为随机变量X X与与Y Y的的协方差协方差,记为记为cov(X,Ycov(X,Y),),即即cov(X,Ycov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)ijiijipYEyXExYXCov )()(),(11若若X X，Y Y为连续型随机变量为连续型随机变量 dydxyxfYEyXExYXCov),()()(),(1)(1)用定义求：若用定义求：若X X，Y Y为离散型随机变量为离散型随机变量 计算计算 7.3 7.3 协方差

47、与相关系数协方差与相关系数一、一、协方差协方差 协方差有协方差有计算公式计算公式Cov(X,YCov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(2)(2)用公式求用公式求证证 由协方差的定义及数学期望的性质，得由协方差的定义及数学期望的性质，得 (,)()()Cov X YEXE XYE Y()()()()E XYXE YY E XE XE Y()()()()()()()E XYE XE YE YE XE XE Y()()()E XYE XE Y7.3 7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数一、一、协方差协方差 任意两个随机变量任意两个随机变量X X与与Y Y的和

48、的方差的和的方差 D(XD(XY)=D(X)+D(Y)Y)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)2Cov(X,Y)(2)(2)用公式求用公式求证证 由方差公式及协方差的定义，得由方差公式及协方差的定义，得 2()()()D XYEXYE XY2()()EXEXYE Y22()()2()()EXE XYE YXE XYE Y22()()2()()E XE XE YE YE XE XYE Y()()2(,)D XD YCov X Y例例设（设（X X，Y Y）有联合分布律）有联合分布律YX01011/41/41/31/67/125/121/21/21求求 cov(Xcov(X，Y Y）.解解E E

49、（X X）=0=01/2+11/2+11/2=1/21/2=1/2E E（Y Y）=0=07/12+17/12+15/12=5/125/12=5/12E E（XYXY）=1=11/61/6=1/6=1/6cov(X,Ycov(X,Y)=E)=E（XYXY）-E-E（X X）E E（Y Y）=1/6-5/24=1/6-5/24=1/24=1/24例例:设设(X(X，Y)Y)N(N(1 1,2 2,1 12 2,2 22 2,),)，求，求cov(X,Ycov(X,Y)(),(21 YXEYXCov dydxeeyxyxy2221122222)1(212)(21221)(121Y YN(N(2 2

50、,2 22 2)，解解:X:XN(N(1 1,1 12 2),),E(X)=E(X)=1 1,D(X)=,D(X)=1 12 2；E(Y)=E(Y)=2 2,D(X)=,D(X)=2 22 2；dydxeuvevuv22222)1(21222112121 2211,yvxu令令7.3 7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数一、一、协方差协方差(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)；(3)Cov(3)Cov(a aX+b,X+b,c cY+dY+d)=)=acacCov(X,YCov(X,Y)，a,b,c,da,b,c,d为常数；为常数；(2)Cov(X