2.取整函数强基练习题汇编.docx

1、2.取整函数强基练习题汇编例1. 解方程：解： 由于，故对区间，逐一讨论知仅有一解。例2. 已知，且，求。解： 左式共73项，由于均小于1，故每一项均为或，由于，故必有，又由于，故左式为，从而知，即，从而，故。例3. 证明：当时，交错地取偶数与奇数值。证明： 为偶数，由于，故，证毕。点评： 本例的证明采用了对偶式，这一结构近些年时有题目需使用，在复数部分的使用率也较高。 由，故为奇数时，从而而为偶数时，从而例4. 证明瑞利定理（Beatty定理）设为正无理数，且满足，则数列，均严格递增，且，证明： 显然均大于1，故与均严格递增。 再任取亦自然数，设在区间内，有项，有项，则 同理：，由于，故两式

2、相加有：，从而知：，故在区间中，数列，共有项，由于的任意性，故在区间中，数列，共有项，从而知在区间中，数列，仅有1项，当然这一项就是。从而对，且只属于两个数列之一，从而结论得证。练习： （1）设，求证： （2）若，求。 （3）若，任取四个其和组成的集合为，求这五个数。 （4）对数列，即正奇数有个，是否存在整数，使得对，都有恒成立。 （5）求正整数区间（）中，不能被3整除的数之和。 （6）设且为奇数，求证：一定存在正整数，使得 （7）证明：若是大于2的质数，则 （8）证明： （9）求证：，其中，即 （10）证明：若，则 （11）若，求 （12）证明：对每个正整数，都存在无理数，使得 （13）证明：，其中，将其中换成正实数，等式是否依然成立？ （14）已知，解方程 （15）证明：，其中 （16）若，证明：，其中