(完整版)中等职业数学(第六版下册)课件-2-3-1-组合.ppt

1、组合组合生活中的数学与组合有关的生活问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？236A 生活中的数学与组合有关的生活问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙甲、乙；甲甲、丙、丙；乙乙、丙、丙 3 3生活中的数学与组合有关的生活从已知的从已知的3

2、个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 ,并成一组并成一组问题问题2从已知的从已知的3 个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 ,按照一定按照一定的顺序排的顺序排成一列成一列.问题问题1排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序一一组合与组合数组合与组合数的概念的概念组合与组合数概念 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合 排列与组合的排列与组合的概念有什么共概念有什么共同点与不同点？同点与不同点？一、组合一、组合定义定义:组

3、合与组合数概念组合定义组合定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个个元素元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个元素的一个个组合组合排列定义排列定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个个元素，元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不同元素个不同元素中取出中取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列.共同点共同点:都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素”不同点不同点:排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关，而组合而组合则与元素

4、的顺序无关则与元素的顺序无关.组合与组合数概念思考一思考一:ab b与与b ba是相同的排列还是相同的组合是相同的排列还是相同的组合?为什么为什么?思考二思考二:两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢两个相同的组合呢?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同.元素相同元素相同 构造构造排列分成两步完成，先取后排排列分成两步完成，先取后排；而而构造组合就是其中一个步骤构造组合就是其中一个步骤.思考三思考三:组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗?组合与组合数概念判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)(1)设集合设

5、集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3 3个元素的子集有个元素的子集有多少个多少个?(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票车票?有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有共有多少种分法多少种分法?组合问题组合问题(4)10(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手共需握手多少次多少次?组合问题组合

6、问题(5)(5)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个游览个游览,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?组合问题组合问题(6)(6)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个个,并确定这并确定这2 2个风景点的游览顺序个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列问题排列问题组合问题组合问题组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.组合与组合数概念1.1.从从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是合分别是:ab,ac,bc 2.2.已知已知4 4个元素个元素a,b,c,

7、d ,写出每次取出两个元素的写出每次取出两个元素的所有组合所有组合.ab c d b c d cd ab,ac,ad,bc,bd,cd(3(3个个)(6(6个个)组合与组合数概念 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的个元素的所有组合的个数，叫做从所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.mnC如如:从从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是有组合个数是:如如:已知已知4 4个元素个元素a、b、c、d,写出每次取出两个写出每次取出两个元素的所有组合个数是：

8、元素的所有组合个数是：是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 mnC233C 246C 二、组合数定义二、组合数定义:组合与组合数例题例例 把下列问题归结为组合问题，并写出相把下列问题归结为组合问题，并写出相应的组合数的符号应的组合数的符号：（1 1）在人数为）在人数为6060人的班级中，选出人的班级中，选出5 5人参人参加专业知识竞赛，有多少种选法？加专业知识竞赛，有多少种选法？（2 2）在）在2020人组成的足球队中，除守门员外，人组成的足球队中，除守门员外，还须选还须选1010人作为首发阵容，可组成多少种人作为首发阵容，可组成多少种不同的首发阵容？又要在不同

9、的首发阵容？又要在5050名拉拉队员中名拉拉队员中挑选挑选2020人前往助阵，有多少种挑选方案？人前往助阵，有多少种挑选方案？组合与组合数例题例例 把下列问题归结为组合问题，并写出相把下列问题归结为组合问题，并写出相应的组合数的符号应的组合数的符号：（1 1）在人数为）在人数为6060人的班级中，选出人的班级中，选出5 5人参人参加专业知识竞赛，有多少种选法？加专业知识竞赛，有多少种选法？解（解（1 1）一般来说，专业知识竞赛的选手之间无分）一般来说，专业知识竞赛的选手之间无分工问题，所以选择过程与顺序无关，是组合问题，工问题，所以选择过程与顺序无关，是组合问题，共有共有C C60605 5

10、种选法。种选法。组合与组合数例题例例 把下列问题归结为组合问题，并写出相把下列问题归结为组合问题，并写出相应的组合数的符号应的组合数的符号：（2 2）在）在2020人组成的足球队中，除守门员外，人组成的足球队中，除守门员外，还须选还须选1010人作为首发阵容，可组成多少种人作为首发阵容，可组成多少种不同的首发阵容？又要在不同的首发阵容？又要在5050名拉拉队员中名拉拉队员中挑选挑选2020人前往助阵，有多少种挑选方案？人前往助阵，有多少种挑选方案？解（解（2 2）除去守门员，从除去守门员，从1919位球员中选位球员中选1010人出阵，人出阵，因为因为1010人将分别担当左后卫、做前锋等不同职责

11、，人将分别担当左后卫、做前锋等不同职责，因此与顺序有关，是排列问题，共有因此与顺序有关，是排列问题，共有A A191910 10 种不同种不同的首发阵容；选助阵拉拉队员与的首发阵容；选助阵拉拉队员与顺序无关，是组顺序无关，是组合问题，共有合问题，共有C C5 50 02020 种挑选方案。种挑选方案。练习练习*完成课本第46页的知识巩固1的第1、2题二二组合组合数数公式公式组合数公式概念组合组合排列排列abcabdacdbcdabc、bac、cab、acb、bca、cbaabd、bad、dab、adb、bda、dbaacd、cad、dac、adc、cda、dcabcd、cbd、dbc、bdc、

12、cdb、dcb 写出从写出从 四个元素中取出三个元素的所四个元素中取出三个元素的所有组合和排列。有组合和排列。a b c d、你能得到求排列数你能得到求排列数 的一种方法吗？的一种方法吗？34A组组合合数数公公式式的的推推导导示示例例组合数公式概念34A求可分两步考虑：34 4C第一步，（）个；33 6A第二步，（）个；333.434 CAA根据分步计数原理，334343ACA从而如何计算如何计算:mnC组合数公式概念组合数公式组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：因此：因此：一般地，求从一般地，求从

13、 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的排个元素的排列数，可以分为以下列数，可以分为以下2步：步：nm 第第1步，先求出从这步，先求出从这 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素个元素的组合数的组合数 mnCnm第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中 个元素的全排列数个元素的全排列数 mnAmmmmnmnACA!121mmnnnnAACmmmnmn 这里 ，且 ，这个公式叫做*Nnm、nm 组合数公式概念组合数公式组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm 从从 n 个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数 mmmnmnCAA!()!mnnCm

14、 nm01.nC我们规定：组合数公式例题例例1计算：计算：28C 710C解：解：288 7=282 1C 71010 9 8 76 5 4=12076 5 4 3 2 1C 练习练习*完成课本第49页的知识巩固2的第1题组合数公式例题例例2 平面内有平面内有1212个点，任何个点，任何3 3个点不在同一直线上，个点不在同一直线上，以每以每3 3个点为顶点画一个三角形，一共可画多少个个点为顶点画一个三角形，一共可画多少个三角形？三角形？解：因为解：因为1212个点中任何个点中任何3 3个点都不在同一直线上，个点都不在同一直线上，所以任取所以任取3 3个点都可以画出一个三角形，个点都可以画出一个

15、三角形，因此，所求三角形的个数就是从因此，所求三角形的个数就是从1212个不同个不同的元素中取出的元素中取出3 3个元素的组合数，即个元素的组合数，即 31212 11 10=2203 2 1C（个）所以，一共可画所以，一共可画220220个三角形。个三角形。练习练习*完成课本第49页的知识巩固2的第2题组合数公式例题例例3 一次小型聚会，每一个与会者都和其他与会一次小型聚会，每一个与会者都和其他与会者握一次手，共有者握一次手，共有1515次握手，问有多少人参加这次握手，问有多少人参加这次聚会？次聚会？解：设与会的人数为解：设与会的人数为n n，根据题意，互相握手的，根据题意，互相握手的次数为

16、，次数为，2(1)=152 1nnnC所以，一共可有所以，一共可有6 6人参加这次聚会。人参加这次聚会。2300(6)(5)065nnnnnn 或（舍去）练习练习*完成课本第49页的知识巩固2的第3题三三组合组合数的性质数的性质组合数的性质性质 计算：计算：47C 37C解：解：4776 54=354 3 2 1C 3776 5=353 2 1C 试验算：试验算：3255=10CC？82101045?CC 性质：性质：=mn mnnCC组合数的性质例题例例1计算：计算：4850C 198200C解：解：48250505049=C=12252 1C 1982200200200 199=19900

17、2 1CC组合数的性质例题例例2 2 已知已知 ，求，求n 321010nnCC解：解：为使为使321010=nnCC可令可令n=3=3n-2-2 ，即，即n=1=1又因为又因为101010=nnCC所以所以 10321010=nnCC因此因此 1032nn,即即n=3=3 所以所以n=1或或n=3=3 练习练习*完成课本第50页的知识巩固3的第1、2题组合数公式与性质例题例例4 100 100件商品中含有件商品中含有3 3件次品，其余都是正品，从件次品，其余都是正品，从中任取中任取3 3件：件：（1 1）3 3件都是正品，有多少种不同的取法？件都是正品，有多少种不同的取法？（2 2）3 3件

18、中恰有件中恰有1 1件次品，有多少种不同的取法？件次品，有多少种不同的取法？（3 3）3 3件中最多件中最多有有1 1件次品，有多少种不同的取法件次品，有多少种不同的取法？（4 4）3 3件件中至少有中至少有1 1件次品，有多少种不同的取法？件次品，有多少种不同的取法？解解：（：（1 1）因为）因为3 3件都是正品，所以应从件都是正品，所以应从9797件正件正品中取品中取，所有不同的取法的种数是，所有不同的取法的种数是 3979796 95=1474403 2 1C 组合数公式与性质例题例例4 100 100件商品中含有件商品中含有3 3件次品，其余都是正品，从件次品，其余都是正品，从中任取中

19、任取3 3件：件：（1 1）3 3件都是正品，有多少种不同的取法？件都是正品，有多少种不同的取法？（2 2）3 3件中恰有件中恰有1 1件次品，有多少种不同的取法？件次品，有多少种不同的取法？（3 3）3 3件中最多件中最多有有1 1件次品，有多少种不同的取法件次品，有多少种不同的取法？（4 4）3 3件件中至少有中至少有1 1件次品，有多少种不同的取法？件次品，有多少种不同的取法？解解：（：（2 2）从）从9797件正品中取件正品中取2 2件，有件，有C C2 29797种取法；从种取法；从3 3件件次品中取次品中取1 1件，有件，有C C1 13 3种取法。根据分步计数原理，任种取法。根据

20、分步计数原理，任取的取的3 3件中恰有件中恰有1 1件次品的不同件次品的不同取法的种数是取法的种数是 219739796C=3139682 1C组合数公式与性质例题例例4 100 100件商品中含有件商品中含有3 3件次品，其余都是正品，从件次品，其余都是正品，从中任取中任取3 3件：件：（1 1）3 3件都是正品，有多少种不同的取法？件都是正品，有多少种不同的取法？（2 2）3 3件中恰有件中恰有1 1件次品，有多少种不同的取法？件次品，有多少种不同的取法？（3 3）3 3件中最多件中最多有有1 1件次品，有多少种不同的取法件次品，有多少种不同的取法？（4 4）3 3件件中至少有中至少有1

21、1件次品，有多少种不同的取法？件次品，有多少种不同的取法？解解：（：（3 3）3 3件中最多有件中最多有1 1件次品的取法，包括只有件次品的取法，包括只有1 1件次件次品和没有次品两种，其中只有品和没有次品两种，其中只有1 1件次品的取法有件次品的取法有C C2 29797C C1 13 3种取法；没有次品种取法；没有次品的的取法有取法有C C3 39797种取法。根据分类计数种取法。根据分类计数原理，任取的原理，任取的3 3件中最多有件中最多有1 1件次品的不同件次品的不同取法的种数是取法的种数是 2139739797969796 95C+C=3139681474401614082 13 2

22、 1C 组合数公式与性质例题例例4 100 100件商品中含有件商品中含有3 3件次品，其余都是正品，从件次品，其余都是正品，从中任取中任取3 3件：件：（1 1）3 3件都是正品，有多少种不同的取法？件都是正品，有多少种不同的取法？（2 2）3 3件中恰有件中恰有1 1件次品，有多少种不同的取法？件次品，有多少种不同的取法？（3 3）3 3件中最多件中最多有有1 1件次品，有多少种不同的取法件次品，有多少种不同的取法？（4 4）3 3件件中至少有中至少有1 1件次品，有多少种不同的取法？件次品，有多少种不同的取法？解解：（：（4 4）3 3件中件中至少至少有有1 1件次品的取法，包括只有件次

23、品的取法，包括只有1 1件次件次品，品，2 2件次品和件次品和3 3件次品，因此任取的件次品，因此任取的3 3件中至少有件中至少有1 1件次件次品的不同品的不同取法的种数是取法的种数是 21123973973397 96C+C+C=3 97 3 1 13968291 1 142602 1CC 组合数公式与性质例题例例4 100 100件商品中含有件商品中含有3 3件次品，其余都是正品，从件次品，其余都是正品，从中任取中任取3 3件：件：（1 1）3 3件都是正品，有多少种不同的取法？件都是正品，有多少种不同的取法？（2 2）3 3件中恰有件中恰有1 1件次品，有多少种不同的取法？件次品，有多少

24、种不同的取法？（3 3）3 3件中最多件中最多有有1 1件次品，有多少种不同的取法件次品，有多少种不同的取法？（4 4）3 3件件中至少有中至少有1 1件次品，有多少种不同的取法？件次品，有多少种不同的取法？解解：（：（4 4）方法二：从）方法二：从100100件商品中任取件商品中任取3 3件的取法的种件的取法的种数是数是C C3 3100100，3 3件都是正品的取法种数是件都是正品的取法种数是C C3 397 97，因此任取，因此任取的的3 3件中至少有件中至少有1 1件次品的不同件次品的不同取法的种数是取法的种数是 3310097100 99 9897 96 95CC=161700 147440142603 2 13 2 1 小结小结*组合数计算公式组合数计算公式!)1()2)(1()1(mmnnnnAACnmmnmn)!(!)2(mnmnCmn组合数组合数性质：性质：mnmnnCC 作业作业*完成习题册第29页的习题2.3.1的A组的第1-2题谢谢观赏