-高阶导数解析课件.ppt

1、1/23-37._)()1()1(.12 xfxxxf，则则若若._1)2(arcsin3 .2223 yxxxxy则则，若若._)(.32 yyxfy，则则若若._)0(4arctan .42 yyxy，则则 32(1)x 29arcsinxx2222()1()xyfx yx fx y -2-22/23-37,1xt 令令tx1 则则2)111()(tttf3)1(2x 2)1(1t 2)1(1)(xxf 4)1()1()1(2)(xxxf 3)1(2x ._)()1()1(.12 xfxxxf，则则若若3/23-37._1)2(arcsin3 .2223 yxxxxy则则，若若222232

2、1)2(12 113arcsin9xxxxxxxxxy xx arcsin92 xx arcsin924/23-37._)(.32 yyxfy，则则若若)()(22 yxyxfy)2()(22yxxyyxf )(1)(2 222yxfxyxfxyy )(1)(2222yxfxyxfxy 5/23-37._)0(4arctan .42 yyxy，则则 1)0(y011222 yyyxyy代代入入上上式式1)0(,0 yx2)0(y则则2 一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、高阶导数的求法举例二、高阶导数的求法举例7/23-371.11.1、引例、引例 函数函数6xy 566)(xx 430)

3、(xy 则则一个函数的导数的导数与原来这个函数的关一个函数的导数的导数与原来这个函数的关系是什么？系是什么？4530)6(xx 即即8/23-370()()()(),()lim,()()().xf xfxxfxxfxfxxfxfxf xx 若若的的导导数数存存在在，它它仍仍然然是是 的的函函数数，若若它它还还可可导导 即即存存在在 则则称称的的导导数数为为在在点点 处处的的二二阶阶导导数数1.21.2、二阶导数定义、二阶导数定义记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 9/23-37三阶导数的导数称为三阶导数的导数称为四阶导数四阶导数,记为记为3333(),.d ydffxy

4、dxdx 二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为三阶导数三阶导数,记为记为44(4)(4)44(),d y d ffxydxdx1.31.3、三、四阶导数定义、三、四阶导数定义记记作作阶阶导导数数的的阶阶导导数数的的导导数数称称为为函函数数的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或1.41.4、n 阶导数定义阶导数定义10/23-37二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf 例如例如322(4)(5)(),3,(3)6

5、(6)6,0,0,.,0,(4)nyx yx yxxyxyyyn ()!0nmmmnxmn 一一般般()()：11/23-37例例1 1arctan,(0),(0).yxff 设设求求解解1.1.直接法直接法(1)由高阶导数的定义逐阶求高阶导数由高阶导数的定义逐阶求高阶导数.211xy 22)1(2xx )11(2 xy求高阶导数求高阶导数类型类型：1.求具体阶导数求具体阶导数2.求求n阶导数阶导数一般函数高阶导一般函数高阶导隐函数高阶导隐函数高阶导抽象函数高阶导抽象函数高阶导)1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0(xxxf;0 0322)1()13(2)0(xx

6、xf.2 12/23-37解解例例2.求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数21)cos,2)1xyexyx (cossin)(sincos)2sinxxxyexxexxxe ,1)22xxy 2221)1(1xxxxy ),sin(cossincos)1xxexexeyxxx 222223/21/111(1)xxxxx1）题若改为证明）题若改为证明:220?yyy呢呢13/23-37例例3.已知已知sinyxyy 求求解：解：1）方程两边对）方程两边对 x 求导求导yyy cos1yycos11 上式两边对上式两边对 x 求导，得求导，得22)cos1(sin)cos1()cos1(yyy

7、yyy 3)cos1(sinyy 隐函数求高阶导数，隐函数求高阶导数，一阶导数一阶导数用隐函数求导法，用隐函数求导法，二阶导数二阶导数直接对一阶导数求导，然后将一阶导数直接对一阶导数求导，然后将一阶导数代入即可。代入即可。将将 代入代入y 14/23-37)2(02)(2 yxyyeyeyy101,(0)xyye 代代入入(1 1)式式得得202110,1,(0)xxyyyee 将将代代入入（）式式得得隐函数求高阶导数，如果只计算某一点处的隐函数求高阶导数，如果只计算某一点处的导数，则有两种方法。导数，则有两种方法。（1）式两边对）式两边对 x 求导，得求导，得)1(0 yxyyey解：解：方

8、程两边对方程两边对 x 求导求导0yxexyey 求求例例4.已知已知15/23-37例例5 5.,),1(yfxxfy 求求二二阶阶可可导导其其中中已已知知解解)1()1()1(2xxfxxfy )1(1)1(xfxxf )1)(1(1)1(1)1()1(222xxfxxfxxxfy )1(13xfx 16/23-37例例6 6()ln(1),.nyxy设设求求解解xy 112)1(1xy 3)1(!2xy 4)4()1(!3xy )1!0,1()1()!1()1(1)(nxnynnn求求n阶导数时阶导数时,先求出先求出1-3或或4阶导数阶导数,将他们当作数列的将他们当作数列的前若干项，分析

9、结果的规律性前若干项，分析结果的规律性,写出通项公式即为写出通项公式即为n阶阶导数公式导数公式.（2）推导法（）推导法（n 阶导数的计算）阶导数的计算）直接法直接法17/23-37例如：例如：()ln(),.nyaxby设设求求解解1()yaxba 22(1)()yaaxb 33(1)(2)()yaaxb (4)44(1)(2)(3)()yaaxb ()1(1)!ln()(1)(1,0!1)()nnnnnaaxbnaxb 注意注意:求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-31-3或或4 4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n 阶导数阶导数.18/23-3

10、7例例7 72()ln(2),.nyxxy设设求求解解ln(1)(2)ln(1)ln(2)yxxxx()1(1)!(1)ln(1)(1)(1)nnnnnxx ()1(1)!ln(2)(1)(1)nnnnxx ()111(1)(1)!(1)(2)nnnnynxx 1(1)!(1)(1)nnnx 19/23-37例例8 8.,)(nxyay求求设设 解解aayxln 2)(lnaayx 3)(lnaayx nxnaay)(ln)(如：如：._,2)10(8 yxyx则则10)2(ln2xxnxee)()(y=ex 的任何阶导数仍为的任何阶导数仍为ex本身本身.特别：特别：20/23-37例例9 9

11、()sin,.nyxy 设设求求解解xycos xysin )sin(x)22sin(xxycos )23sin(x)2sin()(nxyn)2cos()(cos)(nxxn同理可得同理可得_)(cos_,)(sin)()(nnkxkx,.)1,0(n,.)1,0(n看出结看出结论了吗论了吗?)2sin(xxysin)4()2sin(x)24sin(x21/23-372.2.间接法间接法:常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkx

12、nn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()(利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则通过四则 运算运算,变量代换等方法变量代换等方法,求出求出n阶导数阶导数.1)(!)1()1(nnnxnx，22/23-37解解例例101066()sincos,.nyxxy 设设求求3232)(cos)(sinxxy x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)(nxynn)coscossin(sin4224xxxx (n=1,2,)利用立方利用立方和公式和公式23/23-37作业作业:第第9292页页 3(1,2),5(1),8,9(

13、3)3(1,2),5(1),8,9(3)24/23-372)/()()(vvuvuvuvuvuuvvuvu 1.1.导数的四则运算法则导数的四则运算法则 u,v 都可导都可导,方可用法则方可用法则 熟记积商导，莫与极限淆熟记积商导，莫与极限淆.2.2.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式常数函数常数函数 幂函数幂函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数 三角函数三角函数 反三角函数反三角函数 公式记不熟，公式记不熟，必将吃苦头必将吃苦头 用用定定义义求求导导数数函函数数求求导导用用公公式式与与法法则则尤其是分段尤其是分段函数在分段函数在分段点的导数点的导数.25/23-374.幂指函数

14、求导法幂指函数求导法-取对数求导法取对数求导法3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则反函数求导法反函数求导法隐函数求导法隐函数求导法取对数求导法取对数求导法参数方程求导法参数方程求导法5.高阶导数高阶导数26/23-37（1）导数的概念）导数的概念0000()()()limxf xxf xfxx 0000()()()lim.xxf xf xfxxx 自变量从自变量从 变到变到0 xxx 0自变量从自变量从 变到变到0 xx27/23-37例例1.f(x)在在 x=1 处可导，则处可导，则1(32)(1)lim1xfxfx 从从1变到变到 3-2x,自变量的改变量自变量的改变量 2(1-x)1

15、()1(2)1()23(lim1fxfxfx 1)1()23(lim1 xfxfx于是于是)1(2 f )1(2)1()23(lim)2(1xfxfx 28/23-37例例2.若若 则则0()2fx 000lim()(2)()xxf xxf x A.1/4 B.-1/4 C.4 D.-4000(2)()lim22xf xxf xx 2/1)()2(2lim000 xfxxfxxA应应选选00000012limlim(2)()2(2)()xxxxf xxf xf xxf x 11()22 29/23-37分段函数在分分段函数在分段点的导数必段点的导数必须用定义来做须用定义来做(2)分段函数的连续

16、性与可导性分段函数的连续性与可导性例例3.讨论函数讨论函数2sin210()1sin0 xexf xxxx 在在 x=0 处的连处的连续性和可导性续性和可导性解解：01sinlim)00(20 xxfx0)1(lim)00(sin20 xxef又又 f(0)=0,故故 f(x)在在 x=0 处连续处连续.2001sin(0)1(0)limlimsin00 xxxfxfxxx 30/23-37为什么？为什么？2sin002sin(0)lim(1)/lim2,xxxxfexx )0()0(ff故故 f(x)在在 x=0 处不可导处不可导若此题改为求函数的导数，如何计算？请练习若此题改为求函数的导数

17、，如何计算？请练习.)1sin()(02 xxxfx，解：解：)1(1cos1sin22 xxxxxxxx1cos1sin2 xxxxexeexfxsin2sin2sin2cos2)sin2()1()(,0 31/23-37,2sin2lim/)1(lim)0(0sin20 xxxefxxx)0()0(ff故故 f(x)在在 x=0 处不可导处不可导 0cos201cos1sin2)(sin2xxexxxxxfx01sinlim/1sinlim)0(020 xxxxxfxx32/23-372311xfxx 例例4.求求()fx 解解332/11/111xxxxxf 31)(xxxf 23323

18、23)1(21)1(31)(xxxxxxxf （3）求导数）求导数 (四则运算法则、复合函数求四则运算法则、复合函数求导、隐函数求导、对数求导法导、隐函数求导、对数求导法)33/23-37例例5.设设 求求22(1)ln(12)2yxxxxxxy 解：解：2222(12)1 ln(12)(1)12(2)xxxyxxxxxxxxx 222222(1)2 2ln(12)(1)12222 2xxxxxxxxxxxxx 2ln(12)xxx 34/23-37解：解：取对数取对数 先求出先求出 例例6.设设 求求xxyxy lnln(*)()xxyxxx xux 11()lnxxyxxxyx 令令lnl

19、nuxx 1ln1uxu ()(ln1)xxuxxx 对（对（*）式两端求导）式两端求导 21(lnln)xxxyxxxxx 35/23-37（4）导数的几何意义）导数的几何意义;)(,()()(000处处的的切切线线的的斜斜率率在在点点表表示示曲曲线线xfxMxfyxf 切线方程切线方程为为).)(000 xxxfyy 例例7.曲线曲线 与与 在（在（1，-1）处相切，求）处相切，求 a，b2312:21LyxaxbLyx y 21:2Lyxaxbyxa 解：解：对对112xkya 对对3322:2123Lyx yyyxy y 36/23-37211xky 由题意得：由题意得：3223yyx

20、y 211aa 另外（另外（1，-1）在曲线）在曲线 上，上，代入曲线方程可以得：代入曲线方程可以得：21:1Lyxaxbb （5）高阶导数）高阶导数例例8.已知已知 则则 (2)2()()ln2()_nnfxxxnfx (1)(2)2()()(ln)2lnnnfxfxxxxxx ()(1)()()(2ln)2ln3nnfxfxxxxx 37/23-37)(xg可导可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求)(af )(af axafxfax )()(lim()0fa axxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 思考题思考题2(),()()(),().gxf xxag xfa 设设一一阶阶导导函函数数连连续续 且且求求