9-4-2二阶常系数齐次线性微分方程1137课件.ppt
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- 关 键 词:
- 二阶常 系数 线性 微分方程 1137 课件
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1、三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性微分方程 第四节一、常系数线性微分方程的标准形式一、常系数线性微分方程的标准形式 第九九章 2 2一、常系数线性微分方程的标准形式一、常系数线性微分方程的标准形式)(1)1(1)(xfypypypynnnn n 阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式)1.4(0 yqypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)2.4()(xfyqypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式.),
2、2,1(均均为为实实常常数数其其中中nipi 3 3二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法欧拉待定指数法欧拉待定指数法(或特征方程法或特征方程法):),(为为待待定定常常数数设设reyrx 将其代入方程将其代入方程(4.1),得得0)(2 rxrxeqprreL,0 rxe.02的的根根 qprr yL)1.4(0 yqypy的的解解是是方方程程)1.4(rxey 是是方方程程r.,均均为为实实常常数数其其中中qp4 402 qprr)3.4(特征方程特征方程qprrrF 2)(特征多项式特征多项式,2422,1qppr 特征根:特征根:时,时,当当04.12 qp(4.
3、3)有两个不相等的实根有两个不相等的实根:,2421qppr ,2422qppr 5 5,11xrey ,22xrey 故齐次线性方程故齐次线性方程(4.1)的通解为的通解为;2121xrxreCeCy 的的两两个个解解:从从而而得得到到方方程程)1.4(常数常数 xrreyy)21(21线线性性无无关关与与21yy6 6(4.3)有两个相等的实根:有两个相等的实根:,11xrey ,221prr 得得(4.1)的一特解为的一特解为:并并化化简简,代代入入方方程程,将将)1.4(222yyy ,0)()2(1211211 uqprruprueueLyLxrxr,)(:12xrexuy 设另一特
4、解为设另一特解为是是特特征征根根,且且是是重重根根r00时,时,当当04.22 qp7 7得齐次线性方程得齐次线性方程(4.1)的通解为的通解为;)(121xrexCCy ,0 u从从而而,)(xxu 取取,12xrxey 则则8 8(4.3)有一对共轭复根有一对共轭复根:,1 ir )0(,2 ir,)(1xiey ,)(2xiey 时,时,当当04.32 qp得得(4.1)的两个复值特解的两个复值特解:xixxieeey )(1)sin(cosxixex )sin(cos)(2xixeeyxxi sincosiei 由由 欧拉公式欧拉公式,得,得9 9重新组合:重新组合:)(21211yy
5、y ,cos xex )(21212yyiy ,sin xex 故齐次线性方程故齐次线性方程(4.1)的通解为的通解为).sincos(21xCxCeyx 加加原原理理,知知由由齐齐次次线线性性方方程程解解的的叠叠又又因因的的解解仍仍是是方方程程.)1.4(,21yy常数,常数,xyy cot21线性无关线性无关与与21yy1010例例1是是的的微微分分方方程程通通解解为为xxeCeCy321 .解解3,121 rr特征根:特征根:,0)3)(1(rr特征方程:特征方程:.0342 rr即即034 yyy034 yyy所求微分方程是:所求微分方程是:1111二阶常系数齐次线性微分方程求通解的二
6、阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤一般步骤:(1)写出相应的特征方程)写出相应的特征方程;02 qprr0 qyypy21,rr(2)求出特征根)求出特征根;(3)根据特征根的不同情况)根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式21rr 实根实根;2121xrxreCeCy 21rr 实根实根;)(121xrexCCy )0(21 ir,复根复根).sincos(21xCxCeyx 1212.02的通解的通解求微分方程求微分方程 yyy解解例例2程程为为所所给给微微分分方方程程的的特特征征方方022 rr,特征根特征根21 r所以
7、方程的通解为所以方程的通解为xxeCeCy221 为为两两个个不不同同的的特特征征根根12 r1313.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例31414.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121ir ,故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例41515例例5解解的的特特解解满满足足初初始始条条件件求求微微分分方方程程5|,2|02500 xxyyyy,0252 r特征方程为特征方程为,52,1为
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