11-平稳随机过程课件.ppt

1、第第1111章章 平稳平稳随机随机过程过程11.1 平稳过程的概念平稳过程的概念 11.2 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质 11.3 各态历经性各态历经性11.4 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度引言引言 平稳过程是应用广泛的一类随机过程，工程领平稳过程是应用广泛的一类随机过程，工程领域中所遇到的许多过程可以认为是平稳的，因此，域中所遇到的许多过程可以认为是平稳的，因此，平稳过程是随机过程的重要内容之一。本章主要讨平稳过程是随机过程的重要内容之一。本章主要讨论在相关理论范围内论在相关理论范围内平稳过程的数字特征、各态历平稳过程的数字特征、各态历经性、相关函数的性质、功率谱

2、密度经性、相关函数的性质、功率谱密度和随机过程通和随机过程通过线性系统分析等。过线性系统分析等。11.1 平稳过程的概念平稳过程的概念 11.1.1 严平稳随机过程及其数字特征严平稳随机过程及其数字特征 11.1.2 宽平稳随机过程宽平稳随机过程11.1 平稳过程的概念平稳过程的概念 在实际中在实际中,有相当多的随机过程有相当多的随机过程,不仅它现不仅它现在的状态在的状态,而且它过去的状态而且它过去的状态,都对未来状态的都对未来状态的发生有着很强的影响发生有着很强的影响.如果过程的统计特性不随时间的推移而变如果过程的统计特性不随时间的推移而变化化,则称之为平稳随机过程则称之为平稳随机过程.用数

3、学语言描述即为：用数学语言描述即为：11.1.1 严平稳过程及其数字特征严平稳过程及其数字特征12121122(1,2,),(),(),()11.,(),1(),(),()nnnnX tXnt ttThth ththTntXX th X thXTttX tht 如如果果对对于于任任意意的的和和任任意意实实数数当当时时维维随随机机变变量量和和具具有有相相同同的的分分布布函函数数 则则称称随随机机过过程程为为严严定定义义平平稳稳随随机机过过程程。1112122,;,;,1,2,nnnnnnFxxth thFxtxthxttn 即即，(),X ttT 严严平平则则称称为为稳稳过过程程。严平稳的含义：

4、严平稳的含义：过程的统计特性与所选取的过程的统计特性与所选取的时间起点无关时间起点无关。换句话说，整个过程的统计特征。换句话说，整个过程的统计特征不随时间的推移而变化。不随时间的推移而变化。平稳过程的参数集平稳过程的参数集 T,一般为一般为:(,),0,),0,1,2,0,1,2,.或或 ,nTX当当 为为离离散散情情况况 称称平平稳稳过过程程为为平平稳稳随随机机序序列列,或或者者平平稳稳时时间间序序列列。说明说明(1)将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有重重要的实际意义。要的实际意义。过程若是平稳的可使问题的过程若是平稳的可使问题的分析尤为简化。分析尤

5、为简化。(2)平稳过程的数字特征有很好的性质。平稳过程的数字特征有很好的性质。下面来考虑严平稳过程的数字特征下面来考虑严平稳过程的数字特征1,()(0)X tnhtX 取取由由平平稳稳性性的的定定义义和和知知同同分分布布，于于是是即即均值函数均值函数，均方值函数和方差函数为均方值函数和方差函数为常数常数。()E X t2()E Xt()D X t()()X tE X t设设平平稳稳过过程程的的均均值值函函数数存存在在 11,0,nnFFxx t(0)E X,X 2(0)E X 2,X 2()()XEX tt 2(0)XEX 2X 于是于是 下面下面考虑平稳过程的考虑平稳过程的自相关函数和自协方

6、差函数自相关函数和自协方差函数11221(),()2,(0),(),)X tX tXnhttX t 取取由由平平稳稳性性的的定定义义知知：和和同同分分布布，1212(,)()()XRt tE X tX t 212112()(0)(),XE XX ttttRtt 只只与与有有关关 记记为为1221(,)()XXRt tRtt即即有有21tt 令令(,)XRt t 有有21(0)()E XX tt()()E X t X t()XR 严平稳过程的自相关函数及协方差函数严平稳过程的自相关函数及协方差函数只依只依赖于参数间距赖于参数间距 而与起点无关。而与起点无关。协方差函数可以表示为协方差函数可以表示

7、为()()()XXXCEX tX t2()XXR0,若若令令22(0)(0)XXXXCR则则。平稳过程数字特征的特点平稳过程数字特征的特点:()()X tE X t设设平平稳稳过过程程的的均均值值函函数数存存在在(1)(),.XXx t 平平稳稳过过程程上上下下波波的的所所有有样样本本曲曲线线都都在在水水平平直直线线平平均均偏偏离离度度为为动动(2)()X t设设平平稳稳过过程程的的自自相相关关函函数数1212(,)()()xRt tE X tX t存存在在。21tt 那那么么平平稳稳过过程程的的自自相相关关函函数数仅仅是是的的单单变变函函数数.(即不随时间的推移而变化即不随时间的推移而变化)

8、.(3)协方差函数可以表示为协方差函数可以表示为 2()()XXXCR。说明说明 要确定一个随机过程的分布函数要确定一个随机过程的分布函数,并进而并进而判定其平稳性在实际中不易办到判定其平稳性在实际中不易办到.()XR 要确定一个随机过程的概率分布函数族，要确定一个随机过程的概率分布函数族，并且判定并且判定严平稳条件式严平稳条件式对一切对一切 n 成立，这在实成立，这在实际上是很困难的，而了解它的某些数字特却是际上是很困难的，而了解它的某些数字特却是可能的，因而工程上根据实际需要往往可能的，因而工程上根据实际需要往往通过通过研研究随机过程一、究随机过程一、二阶矩的理论二阶矩的理论而考虑平稳过程

9、而考虑平稳过程问题问题。11.1.2 宽平稳随机过程宽平稳随机过程2(),11.(2:)X ttTtEtTXt 二二阶阶矩矩给给定定二二阶阶矩矩过过程程，即即。如如果果对对任任意意定定存存在在义义()()XE X t 常常数数()()()XE X t X tR(),X ttT 宽宽则则称称为为或或广广义义平平平平稳稳过过程程稳稳过过程程。仅依赖仅依赖，而与而与 t 无关；无关；顺便指出：今后凡是提到顺便指出：今后凡是提到“平稳过程平稳过程”除特别指除特别指明外，通常都是指明外，通常都是指宽平稳过程宽平稳过程。,(),0,1,2,X n n 特特别别 若若对对任任意意整整数数有有仅依赖仅依赖，而

10、与而与 n 无关无关。()()XE X t 常常数数 XE X n X nR()X n则则称称为为平平稳稳序序列列。但正态过程例外，因为它的概率密度函数但正态过程例外，因为它的概率密度函数可由均值和协方差矩阵完全确定。可由均值和协方差矩阵完全确定。由于宽平稳过程的定义只涉及到一、二由于宽平稳过程的定义只涉及到一、二维维分布分布有关的数字特征，所以有关的数字特征，所以一一个严平稳过程个严平稳过程只要均方值有界，就是宽平稳的。但反之则不只要均方值有界，就是宽平稳的。但反之则不一定。一定。所以，如果均值，自相关函数不随时间的所以，如果均值，自相关函数不随时间的推移而变化，则概率密度函数也不随时间的推

11、推移而变化，则概率密度函数也不随时间的推移而变化。移而变化。因此，宽平稳的因此，宽平稳的正态过程正态过程也一定是严平稳的。也一定是严平稳的。(,()()XXYYE X tRttYtR (),(),X ttTY ttT设设随随机机过过程程和和都都是是平平稳稳过过程程,且且其其互互相相关关函函数数也也只只是是时时间间差差的的单单变变量量函函数数定定义义,即即满满足足,()(),X tY t那那么么 称称和和是是平平稳稳相相联联关关的的合合宽宽或或两两过过程程是是平平稳稳的的。例例11.1 设设Xn,n=0,1,2,是实的互不相关的是实的互不相关的随机变量序列，且随机变量序列，且E(Xn)=0,D(

12、Xn)=2.讨论随机讨论随机序列的平稳性。序列的平稳性。解解 由于由于E(Xn)=0,D(Xn)=2，而相关函数，而相关函数其中其中 为整数，随机序列的均值为常数，相关函数为整数，随机序列的均值为常数，相关函数仅与仅与 有关，因此它是平稳过程。有关，因此它是平稳过程。(,)XnnERnX Xn 20 0nnnE XE XE X ，2(),00,0nnD XE X 20,00 00()cos(),(0,2),1()1.2X tattaX t 设设随随机机过过程程其其中中都都是是常常数数,是是在在上上服服从从均均匀匀分分布布的的随随机机变变量量 证证明明是是平平例例稳稳过过程程。证证明明 由于由于

13、(0,2)U 其密度函数为：其密度函数为：1(0,2)()20f 其其它它（常数）（常数）2001()cos()02E X tatd (,)XRt t 000 cos()cos()E atat 2200001cos()cos()2attd 22000011cos()cos(22)222atd 20cos()2a ()仅仅依依赖赖于于()X t所所以以是是平平稳稳过过程程。例例11.3(),(0,),()().s tTTX ts t 设设是是一一周周期期为为 的的函函数数是是在在上上服服从从均均匀匀分分布布的的随随机机变变量量 称称为为随随机机相相位位周周期期过过程程试试讨讨论论它它的的平平稳稳

14、性性。解解 的的概概率率密密度度为为1/,0,()0,TTf 其其他他。X(t)的均值函数为的均值函数为()()E X tE s t 01()dTs tT 1()dt TtsT 01()dTsT 。()s 利利用用的的周周期期性性01()()dTE X tsT 知知常常数数。而自相关函数而自相关函数(,)()()XRt tE s ts t 01()()dTs ts tT ()XR 。1()()dt TtssT ()()ss 利利用用的的周周期期性性，可可得得01(,)()()TXRt tssdT 因为因为RX()仅与仅与 有关，所以随机相位周期过有关，所以随机相位周期过程是程是平稳平稳的。的。

15、特别特别,随机相位正弦波是平稳的。随机相位正弦波是平稳的。01(,)()()()TXXRt tssdRT 11.2 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质 11.2.1 自相关函数的性质自相关函数的性质11.2.2 互相关函数的性质互相关函数的性质 前面已经指出，作为随机过程的基本数前面已经指出，作为随机过程的基本数字特字特征征是是均值均值函数和相关函数。对平稳过程函数和相关函数。对平稳过程而言，由于它的而言，由于它的均值均值函数是常数，经中心化函数是常数，经中心化后为零，所以基本特征实际就是相关函数。后为零，所以基本特征实际就是相关函数。下面下面我们我们专门研究一下平稳过程相关函数专门

16、研究一下平稳过程相关函数的性质。的性质。假设假设 X(t)平稳过程平稳过程,RX()是它们的自相关函数是它们的自相关函数.2(0)1()XRE Xt 性性质质 即平稳过程的均方值可以由自相关函数，即平稳过程的均方值可以由自相关函数，令令 0得到，后面我们将指出得到，后面我们将指出RX(0)代表了平代表了平稳过程的稳过程的“平均功率平均功率”。自相关函数的性质自相关函数的性质20.X2()()(),XXXRRR 是是的的偶偶函函数数 即即满满足足性性质质。这是因为相关函数具有对称性这是因为相关函数具有对称性。()()()XRE X t X t 依据这个性质，在实际问题中只需计算依据这个性质，在实

17、际问题中只需计算或测量或测量RX()在在 0 的值的值.()()E X tX t().XR 性质性质3 关于自相关函数和自协方差函数有不等式关于自相关函数和自协方差函数有不等式 22()(0()()0XXXXXXCCRR 和和.2220E XtX t X tXt对于平稳过程对于平稳过程X(t)，有，有 20E X tX t 证证由由明明：220XE XtE XtR 222 0E XtE X t X tE Xt代入上述不等式得：代入上述不等式得：2(0)2()0XXRR()(0)XXRR 0 自自相相关关函函数数在在处处取取到到最最大大值值。0 即即自自协协方方差差函函数数也也在在处处取取到到最

18、最大大值值。()(0):XXRR 表表明明|0XXCC 2|XXC。或或对对协协方差函数，不难得到相同的结论：方差函数，不难得到相同的结论：,1nXijiji jRttg tg t ,1nijiji jE X tX tg tg t 210niiiEX tg t ()4XR 是是性性质质非非负负定定的的。1,12,()()()()0nXijijni jRttg tt tttggTt 即即对对于于任任意意数数组组和和任任意意实实值值函函数数都都有有。证明证明根据自相关函数的定义和均值运算性质有根据自相关函数的定义和均值运算性质有,1()()()()nijiji jEX t X tg t g t 说

19、明说明 由于任一连续函数由于任一连续函数,只要具有非负定性只要具有非负定性,那么该函数必是某平衡过程的自相关函数。所以那么该函数必是某平衡过程的自相关函数。所以对于平稳过程而言对于平稳过程而言,自相关函数的非负定性是最自相关函数的非负定性是最本质的。本质的。性质性质5 如果平稳过程如果平稳过程 X(t)满足条件满足条件 0()()X tTX t 则称它为周期是则称它为周期是T0的平稳过程。的平稳过程。周期平稳过程的自相关函数周期平稳过程的自相关函数RX()必是周期必是周期函数函数,且其周期也是且其周期也是T0.证证明明00()()()XRTE X t X tT必要性必要性=()()E X t

20、X t =().XR 即即自相关函数自相关函数RX()必是周期函数必是周期函数,且其周期也是且其周期也是T0.02200()()=()()()()D X tTX tEX tTX tE X tTX t充分性充分性2200=()()2()()0E XtTE XtE X t X tT0=(0)(0)2()XXXRRRT0=2(0)2()=0.XXRRT 00()()=()()0X tTX tCE X tTX t0()=()X tTX t性质性质6 设平稳过程设平稳过程X(t)，若若当当|时，过程时，过程的状态的状态X(t)与与X(t )互不相关互不相关，则有：，则有：2lim()XXR 这是因为：从

21、物理意义上说，当这是因为：从物理意义上说，当 增大时增大时X(t)与与X(t+)之间相关性会减弱，在之间相关性会减弱，在|的的极限情况下，两者极限情况下，两者互不相关互不相关。limlimXRE X t X t于是有：于是有：2limXE X tE X t 若若()0E X t 则则 lim0.XR 这一性质很有趣，对于平稳过程的相关这一性质很有趣，对于平稳过程的相关函数函数RX()，只要知道在只要知道在 0处连续，就可以处连续，就可以得出对任意得出对任意 处都连续，这对于一般连续函数处都连续，这对于一般连续函数是不具备这样的性质的。是不具备这样的性质的。()()7,(0XXRR 在在上上连连

22、续续的的充充分分性性必必要要条条件件是是在在质质处处连连续续。解解 由性质由性质6得：得：例例11.4 已知平稳过程已知平稳过程X(t)，当当 的绝对值充的绝对值充分大时，分大时，过程的状态过程的状态X(t)与与X(t+)相互独立，相互独立，其其相关函数为：相关函数为：求求X(t)的均值。的均值。5X 。24()2516XR 2lim()25XXR 11.3 各态历经性各态历经性 11.3.1 时间平均的概念时间平均的概念11.3.2 平稳过程各态历经的定义平稳过程各态历经的定义11.3.3 平稳过程各态历经性的条件平稳过程各态历经性的条件 随机过程的各态历经性，可以理解为随机随机过程的各态历

23、经性，可以理解为随机过程的各样本函数都同样的经历了随机过程过程的各样本函数都同样的经历了随机过程 的的各种可能状态。各种可能状态。因此，从随机过程的任何一个样本函数都因此，从随机过程的任何一个样本函数都可以得到随机过程的全部统计信息，任何一个可以得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都可以代表整个随机过程的特样本函数的特性都可以代表整个随机过程的特性。性。11.3.1 时间平均的概念时间平均的概念1、积分积分 (),(),X ttTa bTX ta b 给给定定二二阶阶矩矩过过程程如如果果它它的的每每一一个个样样本本函函数数在在上上的的积积分分都都存存在在 我我们们就就 称称随随机

24、机过过程程在在上上的的积积分分存存在在 记记为为()dbaYX tt 。Y是是一一随随机机变变量量说明说明 对于随机过程的所有样本函数来说对于随机过程的所有样本函数来说,a,b上的积分未必全都存在。上的积分未必全都存在。在某些情形下，对于随机过程的所有样本在某些情形下，对于随机过程的所有样本函数来说，在函数来说，在 a,b 上的积分未必全都存在，上的积分未必全都存在，此时可引入所谓均方意义下的积分，即考虑此时可引入所谓均方意义下的积分，即考虑 a,b 内的一组分点：内的一组分点：012nattttb11,1,2,iiiiiitttttin 且且记记,Y如如果果存存在在随随机机变变量量使使得得我

25、们就称我们就称 Y 为为a,b上的均方积分。上的均方积分。()dbaYX tt 仍仍记记为为。2max01lim()0iniitiE YXt 2、均方积分均方积分(),X ta b二二阶阶过过程程在在上上均均方方积积分分存存在在的的充充要要条条件件(,)d dbbxaaRs ts t 存存在在。()X t过过程程的的积积分分的的均均值值等等于于过过程程均均值值函函数数的的积积分分()dabE YE X tt 。自相关函数的二重积分自相关函数的二重积分2、时间均值和时间相关函数时间均值和时间相关函数()()1lim()d2TTTX tXX tTtt 随随机机过过程程沿沿整整个个时时间间轴轴上上的

26、的两两种种时时间间平平均均1lim()()d2()()TTTX t X tX t X tTt ()X t称称为为随随机机过过程程的的时时间间相相关关函函数数。()X t称称为为随随机机过过程程的的时时间间均均值值。11.3.1 时间平均的概念时间平均的概念例例11.5 ()cos()()()()X tatX tX t X t 计计算算随随机机相相位位正正经经弦弦的的时时间间平平均均和和。解解1limcos()d2TTTtatT cossinlimTaTT limsin()|2TTatTT limsin()sin()2TaTTT 0 。1lim()d)2(TTTtttXTX ()()X t X

27、t 21limcos()cos()d2TTTatttT 2cos2a。21limsin(22)cos()42TTattTT 21limcos(22)cos()22TTTatdtT 1lim()()d2TTTX t X ttT 201()cos()02XE X tatd 由由()()()XRE X t X t结论结论 对于随机相位正弦波对于随机相位正弦波,用时间平均和集平均用时间平均和集平均（均值函数）分别算得的均值和自相关函数是相等（均值函数）分别算得的均值和自相关函数是相等的。的。这一特性并不是随机相位正弦波所独有的。这一特性并不是随机相位正弦波所独有的。)t(X)t(X)(R,)t(X)t

28、(XX 2201cos()cos()2attd 2cos2a 11.3.2 各态历经性的概念各态历经性的概念 ()()(),(1)1,(11.3)XX tE X tX tX t 设设是是一一平平稳稳过过程程如如果果以以概概率率成成立立则则定定义义均均值值具具有有各各称称随随机机过过程程的的态态历历经经性性。(2),如如果果对对于于实实数数()()()()()XX t X tE X t X tR1,()X t自自相相以以概概率率成成立立 则则关关函函数数具具有有各各称称态态随随机机过过程程的的历历经经性性。(3)(),()()()X tX tX t如如果果的的各各态态历历经经过过程程均均值值和和

29、自自相相关关函函数数都都具具有有各各态态历历经经性性则则称称是是 宽宽。或或者者说说是是各各态态历历经经的的。说明说明(1)“以概率以概率 1 成立成立”是对是对 X(t)的所有样本函数的所有样本函数而言。而言。(2)各态历经性有时也称作各态历经性有时也称作遍历性遍历性或或埃尔古德性埃尔古德性(ergodicity)。(3)并不是任意一个平稳过程都是各态历经的。并不是任意一个平稳过程都是各态历经的。例例11.6 设平稳过程设平稳过程 X(t)=Y，其中，其中 Y是随机变是随机变量，量，D(Y)0 研究它的各态历经性。研究它的各态历经性。解解 E(X(t)=E(Y)=常数常数()()X tE X

30、 t于是于是1()lim2TTTX tYYdtYT ，不是常数不是常数所以均值不具有各态历经性。所以均值不具有各态历经性。()cossin,(0,1),(0,111.)8,()X tAtBtABANBNX t 设设是是常常数数与与 为为相相互互独独立立的的随随机机变变量量,且且证证明明随随机机过过程程具具有有平平稳稳性性,且且对对均均值值具具有有各各例例态态历历经经性性。(cos()(s)n)iE AtEttBXE证明证明(cos)()(sin)()t E At E B0（常数）（常数）(0,1),(0,1)ABANBN 与与 为为相相互互独独立立,22()0,()1,()1;()0,()1,

31、()1;()()()0E AD AE AE BD BE BE ABE A E Bcos()()仅仅依依赖赖于于()X t所所以以是是平平稳稳过过程程。(,)XRt t ()()E X tX t 22coscos()sinsin()cossin()cos()si()()(nE AE BttttttttE ABcoscos()sinsin()tttt22(coscos()sinsin()cossin()cos()sinEAttBttABttttcos(cossin)()si()n)AtBtEAtBt 1limcossin2TTTAtBtdtT 0()E X t()X t所所以以均均值值具具有有各各

32、态态历历经经性性。sinlimTATT limsin()sin()2TATTT lim cos()cos()2TBTTT 1lim()d)2(TTTtttXTX 11.3.3 各态历经性的条件各态历经性的条件()X t平平稳稳过过程程的的具具有有各各态态历历经经性性均均值值的的充充要要条条件件是是定理定理11.3(均值各态历经定理均值各态历经定理)2201lim(1)()d02TXXTRTT 。得得()lim()dTXTTEX tEE X tt 。的方差的方差2()()XDX tEX t 221lim()d2TXTTEX ttT 2112221lim()d()d4TTXTTTEX ttX tt

33、T。2121221lim()()d d4TTXTTTE X tX tttT 证明证明先计算先计算 的均值和方差。的均值和方差。1()lim()d2TTTEX tEX ttT 。交换运算顺序交换运算顺序,并且并且(),XE X t 2211221()lim()d d4TTXXTTTDX tRttttT 。112tt 212tt 积分区域积分区域),(TT1to2t由由的平稳性的平稳性,1221()()(),XE X tX tRtt1 o2)0,2(T积分区域积分区域 G22121lim()dd2XXTR 。2211221()lim()d d4TTXXTTTDX tRttttT 。1 o2(2,0

34、)TG221(),XR是是的的偶偶函函数数 且且与与无无关关。221214 lim()dd2XXTDR 22222202 limd()dTTXXTR 2202 lim(2)()dTXXTTR 2201()lim1()d2TXXTDX tRTT 所所以以2201lim1()d 2TXXTRTT 。()()X tEX t由由于于。以概率以概率1成立的充要条件是成立的充要条件是()0DX t 。但现已算得但现已算得()(),EX tE X t 故故()()X tE X t。因此以概率因此以概率 1 成立的充要条件即成立的充要条件即 2201lim1()d02TXXTRTT 。推论推论2lim(),l

35、im()XXXRR 在在存存在在条条件件下下 若若2201lim1()d02TXXTRTT 均均值值则则有有。具具有有各各态态历历经经性性。定理定理11.2 (自相关函数各态历经定理自相关函数各态历经定理)()()XX tR 平平稳稳过过程程的的具具有有各各态态历历经经性性的的充充自自相相关关函函数数要要条条件件是是2211101lim1()()d02TxTBRTT 111()()()()()BE X t X tX tX t其其中中。说明说明(1)0,令令即即得得具具有有各各态态历历经经性性的的充充均均方方值值要要条条件件.(2)在实际应用中通常只考虑定义在在实际应用中通常只考虑定义在0 t

36、上的上的 平稳过程。此时上面的所有时间平均都应以平稳过程。此时上面的所有时间平均都应以 0 t上的时间平均来代替。上的时间平均来代替。相应的各态历经定理可表示为下述形式相应的各态历经定理可表示为下述形式:定理定理11.301lim()d()TXTX ttE X tT 以概率以概率 1 成立的充要条件是成立的充要条件是201lim1()d0TXXTRTT 。定理定理11.401lim()()dTTX t X ttT ()()()XE X t X tR以概率以概率1成立的充要条件是成立的充要条件是211101lim1()()d0TXTBRTT 。各态历经定理的重要价值各态历经定理的重要价值 从理论

37、上给出了如下保证从理论上给出了如下保证:一个平稳过程一个平稳过程X(t),只要它满足定理只要它满足定理11.3和定理和定理11.4,便可以根据便可以根据“以概率以概率1成立成立”的的含义含义,从一次试验所得到的样本函数从一次试验所得到的样本函数x(t)来确来确定出该过程的均值和自相关函数定出该过程的均值和自相关函数,即即01lim()dTXTx ttT 和和 01lim()()d()TXTx t x ttRT。说明说明1说明说明2 如果试验记录如果试验记录x(t)只在时间区间只在时间区间0,T给给出出,则有下以无偏估计式则有下以无偏估计式01()d,TXXx ttT 01()()()()dTX

38、XRRx t x ttT 1()()d,0Tx t x ttTT 。在实际中一般不可能给出在实际中一般不可能给出x(t)表达式表达式,因而因而通常通通常通过过模拟方法模拟方法或或数字方法数字方法来测量或计算估来测量或计算估计式的值。计式的值。11.4 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度11.4.1 平稳过程的功率谱密度概念平稳过程的功率谱密度概念 11.4.2 功率谱密度的性质功率谱密度的性质 11.4.3 白噪声过程白噪声过程 在很多理论和应用问题中，常利用傅立叶变换在很多理论和应用问题中，常利用傅立叶变换这一有效工具来确定时间函数的频率结构。这一有效工具来确定时间函数的频率结

39、构。本节主要讨论如何运用傅立叶变换这一有效工本节主要讨论如何运用傅立叶变换这一有效工具来确立平稳过程的频率结构具来确立平稳过程的频率结构功率谱密度。功率谱密度。11.4 功率谱密度的概念功率谱密度的概念11.4.1 确定性信号函数的功率谱密度确定性信号函数的功率谱密度 ()i txFx t edt ，是是频频率率1()()2i txx tFed 同时有傅立叶逆变换同时有傅立叶逆变换(),()d,()x ttx txtx t 设设确确定定性性信信号号函函数数假假如如满满足足狄狄利利克克雷雷条条件件,且且绝绝对对可可积积,即即那那么么的的傅傅立立叶叶变变换换存存在在或或者者说说具具有有频频谱谱()

40、()edi txFx tt *()()xxFF 一般是复数量一般是复数量,其共轭函数其共轭函数x(t)的傅立叶变换的傅立叶变换()()(Parseval)xx tF 在在和和之之间间成成立立帕帕塞塞伐伐有有等式等式:()(,)x t 在在上上的的总总能能量量称为称为x(t)的能量谱密度的能量谱密度帕塞伐等式又可理解为总能量的谱表示式。帕塞伐等式又可理解为总能量的谱表示式。221()d()d2xxttF 对随机过程对随机过程 X(t)作截尾随机过程作截尾随机过程则存在傅里叶变换则存在傅里叶变换 (),0,TX ttTXttT ,Ti ti tXTTFTXt edtX t edt 其傅里叶反变换为

41、其傅里叶反变换为 1,2i tTXXtFT ed 另有另有 *,i tXTXFTXt edtFT 11.4.2 平稳随机过程的平均功率与功率谱密度平稳随机过程的平均功率与功率谱密度 22*21,21,21,21,2TTTi tTXi tXTXXXXt dtXt dtXtFT eddtFTXt edt dFT FT dFTd 代入傅里叶反变换代入傅里叶反变换代入傅里叶变换性质代入傅里叶变换性质交换积分次序交换积分次序得到得到ParsevalParseval等式等式我们得到我们得到：因为因为X(t)是随机过程，故上式两边都是随机变是随机过程，故上式两边都是随机变量，要求取平均值，这时不仅要对时间区

42、间量，要求取平均值，这时不仅要对时间区间T,T 取平均，还要求概率意义下的统计平均，于是有：取平均，还要求概率意义下的统计平均，于是有：221,2TXTXt dtFTd 211lim,22XTEFTdT 211lim,22XTEFTdT 上上式就是随机过程式就是随机过程 X(t)的的平均功率平均功率和和功率谱功率谱密度密度关系的表达式关系的表达式。21lim2TTTEXt dtT 我们称我们称为为 X(t)的的平均功率平均功率。21lim,2XXTSE FTT 而称而称为为 X(t)的的功率谱密度功率谱密度，简称，简称自谱密度自谱密度或或谱密度谱密度。即即 21lim2TTTQEXt dtT

43、1()2XQSd 当当 X(t)是平稳过程时，由于是平稳过程时，由于 EX 2(t)是与是与 t 无关的常数。无关的常数。此时此时平均功率平均功率可简化为：可简化为：220XXE XtR 21lim2TTTQEXt dtT 21lim2TTTE XtdtT 平稳过程的平均功率等于该过程的均方值平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或等于它的谱密度在频域上的积分。或等于它的谱密度在频域上的积分。上上式是平稳过程式是平稳过程 X(t)的平均功率的的平均功率的谱表示式谱表示式。212XXSd 即：即：11.4.2 随机信号过程的功率谱密度随机信号过程的功率谱密度 2()(,1lim2)TTTxt dx

44、 ttT 称称为为时时间间函函数数在在上上定定义义的的平平均均功功率率。21()lim(,)2()xxTSFTTx t 称称为为时时间间函函数数的的平平均均功功率率谱谱函函功功率率数数,简简称称谱谱函函数数。,()()Ti txTx tdFetT 其其中中22111lim()dlim(,)d222TxTTTxttFTTT。:它它们们的的关关系系是是-(,),(XTi tTX t eTtFd 记记则则22111lim()dlim(,)d222TTTTXttFTXTT 注注意意到到上上述述两两端端的的积积分分都都是是随随机机的的。22111limlim(,)d222TTXTTEXt dtE FTT

45、T 11.4.3 平稳随机过程平稳随机过程X(t)的平均功率与功率谱密度的平均功率与功率谱密度考考虑虑将将上上式式两两端端的的均均值值的的极极限限,有有 21lim2()TTTX tEXt dtT 称称为为平平稳稳随随机机过过程程定定义义的的平平均均功功率率。21lim(,)(2)XXTE FSXTtT 称称为为平平稳稳功功率率谱谱函函数数随随机机过过程程或或的的或或谱谱密密度度。它是从频率这个角度描述它是从频率这个角度描述X(t)的统计规律的最的统计规律的最主要的数字特征。主要的数字特征。22111limlim(,)d222TTXTTEXt dtE FTTT ()XS 功功率率谱谱函函数数平

46、平均均功功率率 21lim2TTTEXt dtT 交换积分与均值的运算次序，注意到平稳过交换积分与均值的运算次序，注意到平稳过程的均方值函数是常数，于是程的均方值函数是常数，于是 21lim2TTTE Xt dtT ()(0)XX tR即即平平稳稳随随机机过过程程的的平平均均功功率率等等于于该该过过程程的的均均方方值值或或。22111limlim(,)d222TTXTTEXt dtE FTTT 2X (0)XR 21()d2XXS 称为平稳过程称为平稳过程X(t)的的平均功率的谱表示式。平均功率的谱表示式。00cos,()(1)(0,2)(2)(08)1.,21X tattRaX t 设设随随

47、机机过过程程其其中中为为常常数数 在在以以下下两两种种情情形形下下,求求的的平平均均功功率率.是是在在上上服服从从均均匀匀分分布布的的随随机机变变量量；是是在在上上服服从从均均匀匀分分布布的的例例随随机机变变量量.解解 (1)由前面例可知，此随机过程是平稳过程，由前面例可知，此随机过程是平稳过程，且相关函数为：且相关函数为：()()()XRE X t X t220001cos()cos()2attd 20cos2a 21()d02XXXSR 又又于是得于是得X(t)的平均功率为：的平均功率为：2202XXaR(2)因为因为)(cos)(0222 taEtXE dtaa2)22cos(22200

48、22 )22cos(22022 taaE)2sin(2022taa 故此时故此时 X(t)为非平稳过程。为非平稳过程。21lim()2TTTE Xt dtT X(t)的平均功率为：的平均功率为：2201=limsin(2)22TTTaatdtT 2=2a11.4.3 平稳随机过程平稳随机过程X(t)功率谱密度的性质功率谱密度的性质21(1)()lim(,)2XXTSE FTT 谱谱密密度度是是关关于于的的实实的的、非非负负的的偶偶函函数数。事实上，在式事实上，在式 21lim,2XXTSEFTT 中，中，是是的实的、非负的偶函数，所以它的均值的的实的、非负的偶函数，所以它的均值的极限也必是实的

49、，非负的偶函数。极限也必是实的，非负的偶函数。TFTFTFXXX,2 由于由于(2)SX()和自相关函数和自相关函数 RX()是一傅是一傅立叶立叶变换对变换对.12iXXiXXSRedRSed 维纳维纳辛钦公式辛钦公式当当X(t)是平稳过程时，是平稳过程时，由于由于 RX()和和 SX()均为偶均为偶函数，维纳函数，维纳-辛钦公式还可以写成如下形式：辛钦公式还可以写成如下形式：0cos2 dRSXX 01cosXXRSd 它揭示了从时间角度描述平稳过程它揭示了从时间角度描述平稳过程X(t)的统计规律和的统计规律和从频率角度描述平稳过程的统计规律之间的联系。从频率角度描述平稳过程的统计规律之间的

50、联系。1234567 XS XRae1T 1 0 NTRTTT1 t1 1XR0sin0()Rcost0aecost222aa0000()XS 1 1XS2 2XS 100001 0 XS00 222200XaaSaa2242sinTT表表11.1 自相关函数与谱密度对应表自相关函数与谱密度对应表0sin()()R ()1.9(),1aXXX tReS 已已知知平平稳稳过过程程的的自自相相关关函函数数为为求求功功率率谱谱密密度度例例。解解 iXXSRed aieed 00aiaie edeed11iaia222aa XR 0ae XS 00 0 222aa 例例11.10421(),54()X