D56多元函数微分学在几何上的简单应用课件.ppt
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- D56 多元 函数 微分学 几何 简单 应用 课件
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1、目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的弧长二、曲线的弧长第六节一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学在几何上的简单应用 第五章 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面 1、空间曲线、空间曲线 的参数方程的参数方程:可以看作是从区间可以看作是从区间MrxzyO的一个连续映射的一个连续映射3R,r 的像的像,的轨迹就是曲线的轨迹就是曲线。:x=x(t),y=y(t),z=z(t),t.=(t),t,rr r(t)的像就是向径的像就是向径 OM 当当 t 在区间在区间上变化时向径上
2、变化时向径的终点的终点M,OM()()()()t=x t,y t,z tt.r 曲线也可以写为曲线也可以写为目录 上页 下页 返回 结束 zyxO例如例如,圆柱螺旋线圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为的参数方程为上升高度上升高度,称为称为螺距螺距.M目录 上页 下页 返回 结束 设空间曲线设空间曲线 的方程为的方程为2.简单曲线和有向曲线简单曲线和有向曲线上连续,上连续,为连续曲线;为连续曲线;()tt.(rr 如果向量值函数如果向量值函数r(t)在区间在区间,如果如果 为连续曲线,为连续曲线,且任取且任取1212,(,
3、),t ttt 都有都有 ,12()()ttrr即在即在,上上r(t)为单射,为单射,则称则称 为简单曲线。为简单曲线。如果如果 为简单曲线为简单曲线,且且()()rr则称则称 为简单为简单闭曲线。闭曲线。则称则称目录 上页 下页 返回 结束 对于选定了参数对于选定了参数t的曲线的曲线,我们规定我们规定t增大的增大的的方向为曲线的的方向为曲线的正方向正方向。对于规定了方向的曲线,。对于规定了方向的曲线,我们称为我们称为有向曲线有向曲线。一般讨论的曲线均为。一般讨论的曲线均为有向曲线有向曲线。3.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面设空间曲线设空间曲线 的方程为的方程为()()()()t
4、=x t,y t,z tt.r ()()()()t=x t,y t,z tt.0,r 其中向量值函数其中向量值函数r(t)在在,上可导上可导目录 上页 下页 返回 结束 切线方程。切线方程。我们来讨论我们来讨论 在点在点处的处的()()()x t,y t,z t0000P与平面曲线的切线一样,与平面曲线的切线一样,空间曲线上点空间曲线上点0P处的切线也定义为曲线处的切线也定义为曲线当点当点P沿曲线趋向于点沿曲线趋向于点0P时的极限位置时的极限位置0P T0P处的割线处的割线0P P上过点上过点目录 上页 下页 返回 结束 要求此切线方程。关键在于求出一个方向向量。要求此切线方程。关键在于求出一
5、个方向向量。ttt00(),()rr。从而向量。从而向量为此在为此在0P的临近取点的临近取点(+)(+)(+)x tt,y tt,z tt000P与与P对应的向径分别为对应的向径分别为0P000()()rrrp pttt为割线为割线0P P的一个方向向量的一个方向向量.易知易知0r p ptt也是割线也是割线0P P的一个方向向量。的一个方向向量。对上式取极限有对上式取极限有目录 上页 下页 返回 结束 从而割线变为曲线从而割线变为曲线 的的切线,切线,由此可见向径由此可见向径r(t)的导数的导数limlim0000()rr ttp pttt相应的方向向量变为切线的相应的方向向量变为切线的方向
6、向量方向向量t0().r 表示曲线表示曲线 在相应点在相应点t0()r 的的切线的方向向量。切线的方向向量。t00()P r处切线的向量方程为处切线的向量方程为曲线曲线 在相应点在相应点切向量切向量目录 上页 下页 返回 结束 其中其中为切线上动点为切线上动点M(x,y,z)的向径,的向径,t参数。参数。tt00()()rtr 时,时,曲线曲线 上都存在切线。上都存在切线。()=x,y,z000000()()():.()()()xx tyy tzz tx ty tz t 0P消去参数消去参数 处的切线方程为处的切线方程为 t0()0r 若切线方向连续变化,若切线方向连续变化,此时称曲线为光滑曲
7、线。此时称曲线为光滑曲线。如果如果 不是不是光滑曲线,光滑曲线,但将但将 分成若干段后,如果每分成若干段后,如果每目录 上页 下页 返回 结束 段都是光滑曲线,则称为分段光段都是光滑曲线,则称为分段光滑曲线。滑曲线。过点过点 且垂直于且垂直于 处切线处切线 的直线的直线,称为称为0P0P曲线曲线 的法线,的法线,这些法线显然位于一个平面内,这些法线显然位于一个平面内,此平面为此平面为在点在点 处的处的法平面法平面0P000000()()()()()()0.x txxy tyyz tzz法法平面平面 的方程为的方程为目录 上页 下页 返回 结束 例例 求曲线求曲线32,tztytx在点在点 M(
8、1,1,1)处的切线处的切线 方程与法平面方程方程与法平面方程.,3,2,12tztyx解:解:,10t点点(1,1,1)对应于对应于故点故点M 处的切向量为处的切向量为)3,2,1(T因此所求切线方程为因此所求切线方程为 111zyx123法平面方程为法平面方程为)1(x)1(2y0)1(3z即即632zyx)()(:xzxy思考思考:光滑曲线光滑曲线的切向量有何特点的切向量有何特点?),1(T答答:)()(:xzxyxx切向量切向量目录 上页 下页 返回 结束 时,当0),(),(zyGFJ曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF)()(xzx
9、yxydd曲线上一点曲线上一点),(000zyxM,且有且有xzdd,),(),(1xzGFJ,),(),(1yxGFJ 可表示为可表示为处的切向量为处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(,)(,100 xxT目录 上页 下页 返回 结束 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)(0 zz或或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),
10、(,),(),(xyz目录 上页 下页 返回 结束 0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyxGF(自己验证自己验证)目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求曲线求曲线0,6222zyxzyx在点在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程.MzyGF),(),(切线方程切线方程121zyx解法解法1 令令,6222zyxGzyxF则则即即0202yzx切向量切向量;0),(),(MxzGFMzy1122
11、Mzy)(2;606xyz66),(),(MyxGF)6,0,6(T目录 上页 下页 返回 结束 06222zyxzyx法平面方程法平面方程0)1(6)2(0)1(6zyx即即0 zxxxzzxyydddd解法解法2 方程组两边对方程组两边对 x 求导求导,得得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点曲线在点 M(1,2,1)处有处有:切向量切向量解得解得11zx,zyxzzyyx)1,0,1(MMxzxyTdd,dd,1目录 上页 下页 返回 结束 切线方程切线方程121zyx即即0202yzx法平面方程法平面方程0)1()1()2(0)1(1zyx即即0 zx点点
12、 M(1,2,1)处的处的切向量切向量011)1,0,1(T目录 上页 下页 返回 结束 6.2 6.2 曲线的弧长曲线的弧长弧长弧长折线的极限折线的极限对于空间简单曲线对于空间简单曲线 :()(),(),()rr tx ty tz tt 的两个端点的两个端点A,BA,B分别对应分别对应 ,(),()rr 在在 上介于上介于A,BA,B之间之间分别沿分别沿t t增大的方向依次取增大的方向依次取n n-1-1个分点个分点,1,21,nP PP 他们把他们把 分成了分成了n n段。用直线段把相邻分点连接起来段。用直线段把相邻分点连接起来得得到一折线,它的长度为到一折线,它的长度为目录 上页 下页
13、返回 结束 定理定理6.1 6.1 弧长计算公式:弧长计算公式:222()()()()sr t dtx ty tz tdt 101limniidisP P 11nniiisP P 如果不论分点怎么选取,最大长度如果不论分点怎么选取,最大长度折线长度有确定的极限折线长度有确定的极限s,11max0iii ndP P 线弧为可求长的线弧为可求长的.并称此极限为曲线的长并称此极限为曲线的长,则称此曲则称此曲即即目录 上页 下页 返回 结束 01,nP PP证明:设分点 对应的参数分别为,这样便有首先来求01,nt tt01,nttt1iiP P 22211()()()()(),iiiiiiiP Pt
14、txyz rr利用拉格朗日中值公式得2221()()(),iiiiiiP Pxyzt 其中11,(,)iiiiiiiitttt t 目录 上页 下页 返回 结束 为使上式右端根式中的函数在 同一点处取值,将其变形得到于是有其中令2221()()(),iiiiiiiiP PxyztR t (),iiiitR t r222()()()iiiiRxyz222()()().(6.12)iiixyz1111(),(6.13)nnnniiiiiiiiisP PtR t r1maxii nt,由定积分的定义和存在定理可知目录 上页 下页 返回 结束 利用不等式利用不等式这样,这样,由由(6.13)(6.14
15、)两式可知,要想证明弧长两式可知,要想证明弧长因为因为222222123123112233 aaabbbababab公式,只需要证明公式,只需要证明01lim()()(6.14)rrniiitt dt 01lim0niiiR t 由由(6.12)可知可知|()()()()iiiiiRyyzz(),()y tz t在在,上连续,从而一致连续,上连续,从而一致连续,目录 上页 下页 返回 结束 证毕。证毕。于是于是只要只要 便有便有故故0,0,t ttt ()(),()()y ty tz tz t2iR特别当特别当 时有时有1maxii nt 12()niiiR t 01lim0niiiR t 目
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