D9-61第二次习题课暨复习课(改)课件.ppt

1、 第九章 第九章第二次习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 暨复习课一一.二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 20rprq1212r xr xyC eC e112()r xyCC x e12(cossin)xyeCxCx通解通解:特征方程 给定初始条件下的特解特解:,()yy(),y0ypyqy特征根21,242ppqr当1212,rr r r为实数(C1,C2为任意常数)当12,rr(C1,C2为任意常数)当1,2(0),ri(C1,C2为任意常数)求将条件代入中确定常数12,.C C二二.二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐

2、次微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束()kmyx Qx()kxmyx e Qx12(cossin)kxyx eAxAx待定系数法待定系数法特解形式特解形式:通解通解:,yyyy()ypyqyf x特征根21,242ppqr当()(),mf xP x当当()(),xmf xe P x12()(cossin)xf xeaxax在给定初始条件下的特解特解:求将条件代入,.y y当0不是特征根当0是二重特征根当0是单特征根当不是特征根当是二重特征根当是单特征根当i不是特征根当i是特征根k=0,k=1,k=2,k=0,k=1,k=2,k=0,k=1,例例1解解:(2)60yyy2212(1)44

3、(2)0,2rrrrr221,244 134(3)4130,232irrri机动 目录 上页 下页 返回 结束 求下列微分方程的通解.(1)440yyy212()xyCC x e(3)4130yyy212(2)6(2)(3)0,3,2rrrrrr 3212xxyC eC e212(cos3sin3)xyeCx Cx(C1,C2为任意常数)(C1,C2为任意常数)(C1,C2为任意常数)例例2解解:212(1)230,1,3,rrrr 机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)cos2xyyex写出下列方程特解的一般形式212(2)440,2,rrrr1212,(cos2sin2)xiiyeAxA

4、x(1)23xyyye2(2)44(2)xyyyex21,2(3)10,1,rr 2(4)2yyx1,xyAxe 22012,()xyx eAAx212(4)0,0,1,rrrr2012()yx AAxA x机动 目录 上页 下页 返回 结束()xyf x1(0,1,2,.)xxxyyyx三三.差分差分差分差分二阶差分二阶差分21()xxxxyyyy 212xxxyyy例例3 设log2tayt求2.ty解解:log(1)2log2taaytt2121logloglog1taaatttyttt 11loglog(1)aattt22(2)1loglog(1)(1)(1)aat ttt解解:例例4

5、 求下列方程的通解(1)ln0 xyyy机动 目录 上页 下页 返回 结束(C为任意常数)(1)ln0,lndydydxxyydxyyxcoscos(2)sinsinyxdydxyx lnsinlnsinlnyxC sin sinxyClnlnlnlnyxCCxye(2)cos sinsin cos0 xydxxydy(C为任意常数)所求通解为所求通解为四四.可分离变量方程可分离变量方程1122()()()()0f x g y dxfx gy dy1122()()()()dyf x g yfx gydx或解解:例例5 求方程特解20cossincos,1tdxtxttxdt机动 目录 上页 下

6、页 返回 结束 sinsincos,(),()cos,coscosdxttxtp tq ttdttt()lncos2()coscosp t dttq t edtt edttdt111(1 cos2)sin2224t dttt1sin2()cos24ttxCtsin()lncoscostp t dtdtttlncos11(sin2)24txettC由 得C=1,01tx故特解为1sin2(1)cos24ttxt五五.一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程()()yp x yq x步骤步骤:六六.微分方程在经济管理中的应用微分方程在经济管理中的应用机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)明确关于函数

7、变化率的假设或规律,列微分方程(4)判明方程类型,求通解(1)明确未知函数(因变量,自变量)(3)明确初始条件和其他已知数值条件,列初始条件等(5)由通解和初始条件求特解,并确定其解中待定系数例例6 某林区现有木材10万立方米，如果在每一瞬时木材的变化率与当时的木材数成正比，假设10年内该林区有木材20万立方米，试确定木材数P与时间t的关系。解：解：由题意得，分离变量dPkdtP两边积分lnlnPktCktPCe代入初始条件得dPkPdt1010 2tP 010,tp1020,tp(k为正常数)110,ln210Ck所求函数关系是机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回

8、 结束 例例7 在某池塘内养鱼,该池塘最多能养鱼1000条.在时刻t,鱼数y是时间t的函数y=y(t),其变化率与鱼数 y 及1000y成正比，已知在池塘内放养鱼100条，三个月后池塘内有鱼250条，求放养t月后池塘内鱼数y(t)的公式.解：解：由题意得，(1000)dykyydt分离变量(1000)dykdtyy两边积分lnln(1000)1000lnyyktC10001000ktyCey由初始条件得331000 393tty03100,250ttyy(k为正常数)ln3,P dQPQ dP 例例8 某商品的需求量Q对价格P的弹性01200PQln3dQdPQ lnln3ln,QPC ln3

9、3PpQCeC该商品需求量与价格的关系为已知该商品的最大需求量为1200(即当P=0时,Q=1200),求需求量Q对价格P的函数关系.题目 目录 上页 下页 返回 结束,ln3P为解解:由需求弹性的定义,有且已知分离变量两边积分由初始条件得 C=1200.1200 3PQ()P dQQ dP机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9()()D PS P各自对价格P的lim().tP t解解:()(),dPk D PS Pdt设某商品的需求量D和供应量S,解解:函数为2(),(),aD PS PbPP且P是时间t的函数,并满足方程其中a,b,k为正常数,求:(1)需求量与供给量相等时的均衡价格P

10、e;(2)当t=0,P=1时的价格函数P(t);(3)(1)令即2,abPP则3.eaPb(2)将D(P),S(P)代入方程得2()adPdtkbPP32()k abPP01tp机动 目录 上页 下页 返回 结束 分离变量并两边积分得311ln()3abPktCb32()dpk abPdtP13()33b kt CbktabPeCe,Cab23P dpkdtabP(3)333333()(1)(1)bktbkteeaaP tePP ebb解得3333lim()lim(1)bkteeettP tPP eP将t=0,P=1代入得第九章的重点题型第九章的重点题型机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.求解可分离变量的微分方程 p解微分方程包括会求通解或给定初始条件下的特解4.二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式5.计算一阶差分,二阶差分6.微分方程的应用问题(简单的经济、管理应用)3.求解二阶常系数线性齐次微分方程2.求解一阶线性微分方程 7.微分方程、差分方程解的概念、阶的概念，线性微分方程解的结构.p微分方程的解,差分等的计算结果都可验算.