D第二章-一元函数微分学课件.ppt

1、第一节 导数的概念一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、求导数举例三、求导数举例四、导数的几何意义四、导数的几何意义五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题0tt,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图如图,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于,t 运运动动时时间间tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2t)(tlimv00 gtt瞬时速度瞬时速度.0gt 一、引例2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放 T0 xxoxy)(xfy CN

2、M如图如图,如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即.0,0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx ,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为处的导数处的导数在点在点数数并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可

3、导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果得增量得增量取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数定义定义二、导数的定义.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即.,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了它它处的变化率处的变化率点导

4、数是因变量在点点导数是因变量在点 x.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数IxfIxfy 关于导数的说明：关于导数的说明：.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意:.)()(.100 xxxfxf 步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2

5、(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0.0)(C即即三、求导数举例例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x.cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0!2)1(

6、lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )(x例如例如,12121 x.21x)(1 x11)1(x.12x 例例4 4.)1,0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax.ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例5 5.)1,0(log的的导导数数求求函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .l

7、og1exa oxy)(xfy T0 xM几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 四、导数的几何意义例例6 6.,)2,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1(xx2121 xx.4 所求切线方程为所

8、求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy.044 yx即即.01582 yx即即定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0.)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 五、可导与连续的关系连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(.1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例

9、如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角点的角点为为处不可导处不可导在在xfxx 注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.31xyxy01)(.)(,)()(limlim,)(.2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如,1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x.,)()(.30点不可导点不可导则则指摆动不定指摆动不定不存在不存在在连续点的左右导数都在连续点的左右导数都函数函数xxf,0,00,1sin)(xxxxxf例如例如,.0处不可导处不可导在在 x011/1/x

10、y2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.例例7 7.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001s

11、in)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;2.axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.

12、六、小结第二节 求导法则一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则三、反函数求导法则三、反函数求导法则四、初等函数的导数四、初等函数的导数第三节 高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、高阶导数的求法二、高阶导数的求法问题问题:变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的变化率的变化率对时间对时间是速度是速度加速度加速度tva.)()()(tftvta定义定义.)()(,)()(lim)(,)()(0处的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在

13、点的导数的导数如果函数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 一、高阶导数的定义记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称为一阶导数称为一阶导数称为零阶导数称为零阶导数相应地相应地xfxf.,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称

14、为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0(xxxf0322)1()13(2)0(xxxf;0.2 由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.二、高阶导数的求法例例2 2.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1(x3)2)(1(x)1(2 xy)1()1()1()(nxnynn则则为为自自然然数数若若,n)()()(nnnxy,!n)!()1(nyn.0 例例3 3.)

15、,1ln()(nyxy求求设设 解解注意注意:xy 112)1(1xy 3)1(!2xy 4)4()1(!3xy )1!0,1()1()!1()1(1)(nxnynnn 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法证明数学归纳法证明)第四节 隐函数及参数方程所 确定的函数的导数一、隐函数求导法一、隐函数求导法二、由参数方程所确定的函数的求导法二、由参数方程所确定的函数的求导法定义定义:.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形式称为显函数形式称为显函数x

16、fy 0),(yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.一、隐函数求导法例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy ,0,0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy.1 例例2 2.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法

17、在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy .1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy.03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法

18、消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t三、由参数方程所确定的函数的导数),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ,0)(,)(),(ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx第五节第五节 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用一、微分概念一、微分概念二、微分的运算法则二、微分的运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用引例引例:正方形金属

19、薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax .,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)(x xx 0 xx 0一、微分概念再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x.

20、320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分相应于自变量增量相应于自变量增量在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如

21、果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy(微分的实质微分的实质)微分的定义微分的定义由定义知由定义知:;)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的改改变变量量xdy;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy ;,0)3(是等价无穷小是等价无穷小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA).(,)5(线线性性主主部部很很小小时时当当dyyx ).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导

22、在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1)必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),(xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数可微的条件可微的条件 39 曲曲 率率一、弧微分弧微分二、曲率及其计算公式曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径有向弧段的值、弧微分公式曲率、曲率的计算公式曲率圆曲率半径一、弧微分 s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s0，相反时s0 xyOM0 x0Mxs0,dxds21y21ydx

23、)M1M2N1N2 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：二、曲率及其计算公式 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度，M0MM s xyO+)sC 设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧为s，切线的转角为 平均曲率：曲率：sK我们称为弧段 的平均曲率MM）sKs0lim 我们称为曲线C在点M处的曲率 在 存在的条件下dsdss0limdsdK曲率的计算公式：设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数于是从而，有因为tan y ，所以dsdKsec 2 dxdy，dxd2tan1 y21yy dxd2tan1 y21yy，d 21yy dx又知 ds

24、21ydx K232)1(|yy 例例1 计算等双曲线计算等双曲线x y 1在在点点(1，1)处的曲率处的曲率解因此，y|x11，y|x12曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为x1由y ，得 y21x，y21x，y32x K232)1(|yy 232)1(1(22221232)1(|yy 232)1(1(22221232)1(|yy 232)1(1(22221 K232)1(|yy 例例2 抛物线抛物线y ax2 bx c 上哪一上哪一点处的曲率最大？点处的曲率最大？解 由yax2bxc，得 y2axb，y2a，代入曲率公式，得要使K 最大，只须2axb0，抛物线的顶点因此，抛物线在顶点处的

25、曲率最大，最大曲率为K|2a|K232)1(|yy K232)1(|yy 232)2(1|2|baxa即 xab2而 xab2对应的点为 2若曲线由参数方程给出，那么曲率如何计算？1直线上任一点的曲率等于什么？讨论：提示：设直线方程为y=ax+b，则y=a，y=0于是)()(tytx.0)1(|232 yyK 提示：2322)()(|)()()()(|ttttttK 曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r 有如下关系：曲线在M点的曲率中心三、曲率圆与曲率半径M y=f(x)xyOD r曲线在M点的曲率半径曲线在M点的曲率圆 r K1，K r1|DM|K1r 例例3 设工件表

26、面的截线为抛物线设工件表面的截线为抛物线y 04x 2现在要用砂轮现在要用砂轮磨削其内表面问用直径多大的砂轮磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？才比较合适？42O2xy y=04 x2 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 例例3 设工件表面的截线为抛物线设工件表面的截线为抛物线y 04x 2现在要用砂轮现在要用砂轮磨削其内表面问用直径多大的砂轮磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？才比较合适？y08x，y08，y|x00，y|x008抛物线顶点处的曲率半径为所以选用砂轮的半径不得超过125单位长，即直径不得超过250单位长08把它们代入曲率公式，得 K232)1(|yy 2

27、32)1(1(22221 r K1 125(2)充分性充分性),()(0 xxxfy 从而从而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfA 可可微微可可导导.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记作记作微分微分称为函数的称为函数的的微分的微分在任意点在任意点函数函数例例1 1解解.02.0,23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02.02202.023 xxxxxxdy.24.0.

28、,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分dxdy)(xfy 0 xMNTdyy)(xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P.,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 dxxfdy)(求法求法:计算函数的

29、导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 二、微分的运算法则dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2

30、)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex ;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),(,)2(txtx ),()(x

31、fxfy 有有导导数数设设函函数数dttxfdy)()(,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)(微分形式的不变性例例5 5解解.,sindybxeyax求求设设 )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例4 4解解.),12sin(dyxy求求设设 .12,sin xuuyududycos)12()12cos(xdxdxx2)12

32、cos(.)12cos(2dxx 例例6 6解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22,cos42xxx).()cos4()(sin22xdxxxxd,0)()(00很小时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若xxfxxfy 例例7 7?,05.0,10问面积增大了多少问面积增大了多少厘米厘米半径伸

33、长了半径伸长了厘米的金属圆片加热后厘米的金属圆片加热后半径半径解解,2rA 设设.05.0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdAA 205.0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值三、微分在近似计算中的应用;)(.10附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 例例8 8.0360coso的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)(,sin)(为为弧弧度度xxxf ,360,30 xx计算函数的近似值计算函数的

34、近似值.23)3(,21)3(ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924.0;0)(.2附附近近的的近近似似值值在在点点求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf .,00 xxx 令令常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(,1)0(nff xffxf)0()0()(.1nx 例例9 9.计计算算下

35、下列列各各数数的的近近似似值值解解.)2(;5.998)1(03.03 e335.110005.998)1(3)10005.11(1000 30015.0110 )0015.0311(10 .995.9 03.01)2(03.0 e.97.0,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()()(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即例例3 3解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy.1.方方程程处的切线处的切线在在求摆线求

36、摆线2)cos1()sin(ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12(axay)22(axy即即例例4 4解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 例例4 4.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin(x)2cos(xy)22sin(x)22sin(x)22cos(xy)23sin(

37、x)2sin()(nxyn)2cos()(cos)(nxxn同理可得同理可得定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()()()()2();()()()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则一、导数的四则运算法则证证(3)(3),0)(,)()()(xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhx

38、vhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略.hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf推论推论;)()()1(11 niiniixfxf);()()2(xfCxCf ;)()()()()()()()()()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf例例1 1

39、.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x.2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec x

40、xyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin.cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)二、复合函数的求导法则证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00

41、 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例5 5.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例6 6.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例7 7.arcsin

42、22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0(a例例8 8.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例9 9.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 定理定理.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数

43、那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.三、反函数的导数证证,xIx 任取任取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy ,0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连续连续xf),0(0 xy0)(y 又知又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即),0(xIxxx 例例1010.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx,0cos)(sin yy且且内有内有在在)1,1(

44、xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc例例1111.log的的导导数数求求函函数数xya,0ln)(aaayy且且,),0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1.ln1ax 解解,),(内单调、可导内单调、可导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(cs

45、ccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(四、初等函数的求导问题2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1）vuvu )(,（2）uccu )(（3）vuvuuv )(,（4）)0()(2 vvvuvuvu.(是常数是常数)C 3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意:初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.例例1212.的导数的导数求函数求函数xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx