D21-2高阶导数课件.ppt
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- 关 键 词:
- D21 导数 课件
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1、1 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 导导 数数 第二章 1.4 高阶导数高阶导数1.3 参数式函数与隐函数的导数参数式函数与隐函数的导数二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则1.41.4一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)(sa引例引例:变速直线运动机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)(yy或)dd(dddd22xyxxy类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,1n
2、阶导数的导数称为 n 阶导数,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数二阶导数,记作y)(xf 的导数为依次类推,分别记作则称机动 目录 上页 下页 返回 结束 或)()(xfxf高阶导数高阶导数xxfxxfxfyx )()(lim)(0 xxfxxfxfynnxnn)()(lim)()1()1(0)()(统称为高阶导数.)(xf 称为一阶导数,)1()()(nxfn机动 目录 上页 下页 返回 结束 设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232)1(nnxann依次类推,nnany!)(23
3、3xa例例1.思考思考:设,)(为任意常数xy?)(nynnxnx)1()2)(1()()(问可得机动 目录 上页 下页 返回 结束!)()(nxnn特别地,3xaeay 例例2.设求解解:特别有:,xaey.)(ny,xaeay,2xaeay xanneay)(xnxee)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 xannxaeae)()(nx)1(例例3.解解:!)1(n规定 0!=1思考思考:设,)1(lnxy求.)(ny,11xy,)1(12xy,)1(21)1(32xy )(ny1)1(n,)1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1(!)1(2)1(1x,机动 目录 上页 下页 返
4、回 结束 nx)1(!)1(n)()1ln(nx1)1(n例例4.设,sin xy 求.)(ny解解:xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n机动 目录 上页 下页 返回 结束 几个常用的高阶求导公式几个常用的高阶求导公式 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 xannxaeae)()(xxnsin()(sin)()2nxxncos()(cos)()2nxnxee)()(nxnxaaa)(ln)()(几个常用的高阶求导公式几个常用的高阶求导
5、公式 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnxnx)1()2)(1()()(nx)1(!)1(n)()1ln(nx1)1(nnnxnx)1)(1()2)(1()1()(nx)1(!)1(n)()1ln(nx)(1nxa1)(!)1(nnxan)(1nxa1)(!nxan!)()(nxnn例例5.设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析:)(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x)0(f0)12(xx0)0(f0)24(xx0)(xf但是,12)0(f,24)0(f)0(f 不存
6、在._n2又0 x,24x0 x,12x阶数机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数,则)()(.1nvu)()(nnvu)()(.2nuC)(nuC(C为常数)()(.3nvuvun)(!2)1(nn!)1()1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz)公式公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn)1(推导 目录 上页 下页 返回 结束 vvuu)0()0(,其中vu 3)(vuvuvu)(vu)(vuvuvuvu 2vu )(vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证莱布尼兹公式莱布尼兹
7、公式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy1211)()1(!)1(2nnnxnyxxxy11123,)1(!1)(nxnynnxxy11)1(xxy1)2(3解解:解解:求下列函数的 n 阶导数.2312xxy(3)解解:1121xxy11)()1(1)2(1!)1(nnnnxxny)(1nxa1)(!nxan)(1nxa1)(!)1(nnxan不能直接用除法相比X3-1+1例例7.,22xexy 求.)20(y解解:设,22xveux则xkkeu2)(2,2xv,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式,得)20(yxe22022xxe21922
8、0 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k机动 目录 上页 下页 返回 结束 0!2)1()1(nynn)(nyn例例8.设,arctan xy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1(2yx用莱布尼兹公式求 n 阶导数)1(2xx22令,0 x得)0()1()0()1()1(nnynny),2,1(n由,0)0(y得,0)0(y,0)0()4(y,)0()12(my)0()12(2)12(mymm)0(!)2()1(ymm0)0()2(my)1(ny12,!)2()1(2,0)0()(mnmmnymn即),2,1,0(m由,1)0(
9、y得)0(!)2()1()0()12(ymymm机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法 利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法机动 目录 上页 下页 返回 结束.,cossin)(66nyxxy求3232)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba)(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题 1.cos(kx)(n
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