Copula函数及其应用课件.ppt

1、第第14章章 Copula函数及其应用函数及其应用组合信用风险可以分为两部分：一部分是各个资产本身的信用风险，另一部分则是由各个资产之间的相关结构引起的风险。要很好地度量组合的整体风险，就要找到一个能将单个违约分布和多元违约联合分布联系起来的方法。Copula是这样一个函数，它能将单个边缘分布和多元联合分布联系起来。Copula函数函数定义定义1 n维Copula函数 ，满足：(1)，若中至少有一个分量为0，则 ；若中除 外的分量均为1，则 ；(2)，若 ，则 ，其中：(14.1):0,10,1nC0,1nu()0C u uku()kC uu,0,1na bab(,)0CVa b1211211

2、11111(,)()()()(,)(,)nnnnkkbbbbbCaaaaabakkknkkknVa bC tC tC tC ttb ttC tta tt 定义定义2 n维函数 为Copula函数，若对n个服从均匀分布的随机变量 ，满足：(14.2)即Copula函数是一组均匀分布随机变量的联合分布函数。:0,10,1nC12,nU UU121122(,),nnnC u uuP Uu UuUuCopula函数的性质函数的性质引理引理1 随机变量有连续分布函数F，则Z=F(X)在0,1上均匀分布。定理定理2（Sklar定理）定理）设随机变量 的边际分布函数为 ，联合分布函数为F。则有n维Copul

3、a函数，使得对于所有 ，有：(14.3)1,nXX1,nFFRnx11()(),()nnF xC F xF xCopula函数的一些其他性质：函数的一些其他性质：性质性质1 C为n维Copula函数，对于任何自变量，C非递减，即，若 ，则：(14.4)性质性质2（Frechet-Hoeffding约束）约束）C为n维Copula函数，则对于每个 ，有：(14.5)其中 (14.6)0,1nv()(,),1,jjjjC vC vvvvjI 0,1nv()()()nnWvC vMv1212()max(1,0)()min(,)nnnnWvvvvnMvv vv性质性质3（递增变化不变性）（递增变化不变

4、性）随机变量向量 有Copula函数 。为一族严格递增函数。则 仍是 的Copula函数。1(,)nXXX()C u:RRif()C u11(),()nnXf XfX 常见常见Copula函数函数乘积Copula函数 定义定义3 满足 的Copula函数称为乘积Copula函数。乘积Copula函数是独立随机变量的Copula函数。定理定理3 令 为连续随机变量，则 彼此独立当且仅当这些变量的Copula函数 。12()nnvv vv12,nU UU12,nU UUnC 正态正态Copula函数函数 定义定义4 正态分布随机变量 的均值分别为 ，方差分别为 ，协方差矩阵为R，则随机变量 的分布

5、函数 为Copula函数，称为协方差矩阵为的正态（Gauss）Copula函数。（为标准正态分布函数）1,nXX1,n1,n:(),iiiiXUiI 1(,)RnCuu t-分布分布Copula函数函数 t-分布Copula函数是正态Copula函数的变形。定义定义5 正态分布随机变量 的均值分别为0，方差分别为1，协方差矩阵为R。Y为 分布随机变量，自由度为 ，与 独立。则随机变量 的分布函数 为Copula函数，称为自由度为 ，协方差矩阵为R的t-分布Copula函数。1,nXX21(,)nXX(),iiUtXiIY,1(,)RnCuuArchimedean Copula函数函数 定义定义

6、6 Archimedean Copula函数 可表述为如下形式：(14.7)其中函数 ，函数 称为Copula函数的生成元。生成元并非任意，必须满足 的导数随维数n的增加而收敛。如果 是在任何维数下的可容许生成元，必须是一个Laplace变换。:0,10,1nC 11()()IiiC xx:0,1R,(1)0,(0)1(R)1(R)定义定义8（Laplace变换）Y为非负随机变量，分布函数为 ，密度函数 ，则有：（1）Y的Laplace变换定义为：(14.9)（2）令 ，若解存在，的Laplace逆变换 定义为函数 满足：(14.10)（3）Y的分布由Laplace变换唯一确定。()G y()

7、g y00():()():(),0tYtytyYgL tE eedG yeg y dyL tt:R0,11L:R0,10():()(),0tyL tey dytt 几种不同生成元的几种不同生成元的Copula函数：函数：定义定义9（1）Clayton Copula:(14.11)（2）Gumbel Copula:(14.12)（3）Frank Copula:(14.13)(14.14)1 1()(1),()(1),0ttss 1 1()(ln),(),1sttse 1()ln,1tete 11()ln1(1),0ssee 运用运用Copula函数的相关性度量函数的相关性度量运用Copula函数

8、能对非线性相关性进行度量，其思想主要是度量变量的一致性，其中常用的度量指标为Kendalls tau和Spearmans rho。定义定义10（一致性）令 为向量X，Y的两组观测。若 ，则称 与 一致。若 ，则称为不一致。(,),(,)iijjx yxy)()0ijijxxyy(,)iix y(,)jjxy)()0ijijxxyyKendalls tau定义定义11 令 为连续随机变量(X，Y)n组观测的随机样本，则有 对不同的数组对 设c表示一致的数组对对数，d表示不一致的数组对对数，则 。Kendalls tau定义为:(14.15)根据上述定义，t即为数组对 一致与不一致的概率之差。11

9、22(,),(,),(,)nnx yxyxyn2(,),(,)iijjx yxy2()ncd2()/()ncdtcdcd(,),(,)iijjx yxy将Kendalls tau引入Copula函数：定理定理4 连续随机变量(X，Y)，其Copula函数为C，则(X，Y)的Kendalls tau为：(14.16)若U,V为0,1上均匀分布的随机变量，其联合分布函数恰为C，则：(14.17)2,0,14(,)(,)1X YCC u v dC u v2,0,14(,)(,)14 (,)1X YC u v dC u vE C U V 下面讨论如何计算Kendalls tau：22110,10021

10、10011000(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)uuC u vC u v dC u vC u vdudvu vC u vC u vdu dvu vC u vC u vC u vC u vdu dvvuv 111001100(,)(,)()1(,)(,)2C u vC u vvdu dvuvC u vC u vdudvuv Spearmans rho 定义定义12 设连续随机变量 彼此独立，且每组 之间的联合分布均为H，的边际分布均分别为F,G。则Spearmans rho定义为：(14.21)112233(,),(,),(,)X YXYX Y,1,2,3iiX Y

11、i ,iiX Y,121312133()()0()()0)X YP XXYYP XXYY定理定理5 连续随机变量(X.Y)，其Copula函数为C，则X,Y的Spearmans rho为：(14.22)若U,V为0,1上均匀分布的随机变量，其联合分布函数恰为C，则：(14.23)这与线性相关性中的相关系数有着极为相似的形式。此外，即可将 理解为X,Y联合分布与独立时分布之间的平均距离。22,0,10,112(,)312(,)3X YCuvdC u vC u v dudv2,0,1()()()12(,)312()3()()X YE UVE U E VuvdC u vE UVVar UVar V2

12、2,0,10,112(,)312(,)3X YCuvdC u vC u v dudv,X YKendalls tau及及Spearmans rho作为度量相关性指标的合理性作为度量相关性指标的合理性定义定义13 对于两个连续变量X,Y之间相关性的度量 ，必须满足：（1）对 有定义；（2）（3）（4）若X,Y独立，则（5）（6）若 满足 ，则（7）若 是一列连续随机变量，有Copula函数 ，则(,)X Y,11,1,1X YX XXX ,X YY X,0X Y,X YXYX Y 12,C C12CC12CC(,)nnXYnCClimnCCn定理定理6 若为连续随机变量，Copula函数为，则K

13、endalls tau和Spearmans rho满足定义13所述要求。Kendalls tau与与Spearmans rho的关系的关系 定理定理7 X,Y为连续随机变量，分别为Kendalls tau与Spearmans rho，则有：,223112,022211 3,022 Copula函数与尾部相关性函数与尾部相关性设X,Y在0,1上均匀分布，联合分布函数为C，由对称性，不妨设 。如下定义C相应的条件Copula函数：定义定义14 对于一个Copula函数C，。定义：(14.31)表示X,Y均小于u的条件下u的分布，即 。由于对称性，同时也是y在条件下 的分布。(,)(,)C x yC

14、 y x(0,1),.(,)0ust C u u(,)():,01(,)uC xu uF xxC u u()uF x()|,uF xP Xx Xu YuuF,Xu Yu定义定义15 设 为定义14中所定义的条件分布函数，则在u水平对应于C的极限尾部相关Copula函数为：(14.32)根据该定义，有这意味着当u很小的时候，描绘了两个有Copula函数的随机变量的尾部条件相关性结构。uF11(),()(,):,01,01(,)uuuC FxFyC x yxyC u u 11(,)(),()|,uuuCx yP XFx YFyXu YuuC定义定义16 把在零点以指数 的速度变化的函数集合记为 ，

15、即 ，有：(14.33)定理定理8 令C为Archimedean Cpula函数，有可微生成元 ，则：(14.34)当 时，当 时，,f 0()lim(),0,0()uf uxxxyf uyy,0 1,00,1,lim(,)(,)(1)Cluux yCx yCx yxy 00lim(,)uuCx yxy0lim(,)uuCx yxy定义定义17 随机变量分别由分布函数，则其上尾部和下尾部相关性系数定义为：(14.35)上述定义的可以有另一种写法：(14.36)其中 为C的生存Copula函数，即若 存在且为正，则X,Y是下（上）尾部相关的；若 为0，则X,Y关于下（上）尾部独立。1100111

16、1(,):lim()|()lim1 2(,):lim()|()lim1louuupuuC u uP YGuXFuuuC u uP YGuXFuu1112(,)(1,1)limlim11upuuuC u uCuuuuC(1,1),CxyP Xx Yy()loup()loup定理定理9 令C为Archimedean Copula函数，生成元 则下尾部相关系数为,0 12loCopula函数是一组均匀分布随机变量的联合分布函数。对于n个服从0,1均匀分布的随机变量：，Copula函数定义为：设 为随机变量 的边缘分布，于是联合分布可以表示为：由此可以看出，Copula函数可以用作边缘分布函数和多元分

17、布函数之间的连接函数。12NUUU，121122(,.,)Pr,.,NNNC u uuUu UuUu1,.NFF1,.NXX111111111(,.,),.,()(),.,()()(),.,()NNNNNNNNNF xxP XxXxP F XF xFXFxC F xFxCopula函数的密度函数c的表达如下：111(,.,)(,.,).NNNC uuc uuuu如果多元分布函数的密度函数存在，则有下列的分解成立：1111111111(,.,)(,.,).(,.,).(),.,()*()NNNNNNNNNNiiiF xxf xxxxC uuuuuuxxc F xFxf xCopula函数的性质主

18、要有一下几点：1.2.连接函数对于随机变量的严格单调递增变换是不变的；3.如果每个一维边际分布 都是连续的，则连接边缘分布和多元分布函数的Copula函数是唯一的。12(),(),.,(),.,()()iiNiiC FFF xFF xiF利用利用Copula函数度量违约相关性函数度量违约相关性在度量资产组合的信用风险时，可以采用违约概率作为衡量资产信用的指标。在此基础上，可以采用Copula函数来度量违约概率之间的相关性，并进一步计算组合的信用风险。构建信用曲线构建信用曲线连续随机变量生存时间T（survival time），它表示从现在到违约(default)事件发生时的时间长度。F(t)表

19、示在t时刻已经违约的概率S(t)表示在t时刻还没有违约的概率，它也被称为生存函数（survival function）。根据函数的定义，可以得到：可以看出，F(t)其实就是生存时间T的累积分布函数。()Pr(),()1()Pr()F tTtS tF tTt 资产在时刻没有违约的情况下，在时段 内违约的概率：x()()()Pr|1()1()F xxF xf xxxTxx TxF xF x定义 可以称之为危险率函数，它表示条件违约概率密度。有下列等式成立：从而可以得到：而()()1()f xh xF x()()()1()()f xS xh xF xS x tdsshetS0)()(0()()()(

20、1()()()()th s dsf th xF xh x S th x e现在定义信用曲线（credit curve），它是危险率函数的图形表示，代表信用资产在不同时刻的条件违约概率密度。有了信用曲线，就可以计算不同资产的违约相关性。获得信用曲线的方法一般有三种：第一，从评级机构的历史数据中获得。第二，使用布莱克舒尔茨方法，将股票看作一个公司的看涨期权，用这个架构可以获得n期的违约概率，然后将其转换为危险率函数。第三，从现有的市场信息中获得公司一系列不同期限债券的到期收益率，并将它与国债的到期收益率作比较，获得收益率价差曲线（Yield Spread Curve），然后假设一个外生的恢复率（R

21、ecovery Rate），就可以推算出信用曲线。布莱克舒尔茨方法布莱克舒尔茨方法 假设公司的资产市值服从几何布朗运动，并假设其资本结构可简单地分为债务和股权，那么，股权就可以看作是以资产市值为标的物、执行价格为债务面值的看涨期权。弱点：假设违约只在债务到期日才发生。First-Passage模型模型认为违约事件应该发生在公司资产价值第一次低于违约边界的时候，而不是债务到期日。根据First-Passage模型，假设公司资产价值 服从对数正态分布，违约边界为固定值D（它不必是债务总额），则从目前到时刻t这段时间，公司的生存概率S(t)可以用下列公式得到：其中由此可以计算出资产的信用曲线。tA0

22、0200()(0,0|)()()smXS tP Xst XXmtXmtNeNtt200loglog()(),(/2)/()1()()ADf tS tXmh tF tS t，而图14.1 由First-Passage模型构建的信用曲线公司资产的净收益率 ，资产波动率 ，违约边界D=70，公司初始资产 。1%5%080A 选择合适的选择合适的Copula函数函数一般采用正态Copula函数和学生氏Copula函数。根据正态Copula函数的定义，可以通过公式（1）得到其密度函数：11211(,.,)exp()2TNc uu其中，为gamma函数，为自由度。1()nntu其中11(,.,)()n1N

23、Nnnu，学生氏Copula函数的密度函数：2112112211122(,.,)1122NNTNNNnnNc uu Copula函数分布很适合利用蒙特卡罗模拟来实现。例如，模拟正态Copula函数的步骤如下：1.产生均值为0，相关系数矩阵为 的正态随机数向量2.将正态随机变量转换为均匀随机变量：3.根据所希望的边缘分布函数转换均匀随机变量：这里的Copula函数为：1,.,NZZ(),I1,NiiUZ 1(),I=1,N.iiiXFU1111(,.,)(),.,()NNC uuuu 图14.2 Copula函数的蒙特卡罗模拟结果计算联合违约概率分布计算联合违约概率分布假设有两种资产，第一种资产

24、的危险率（Hazard Rate）为h=0.1，第二种资产的危险率为h=0.2。于是 ,。假设这里采用二维正态分布Copula函数，于是有下列公式：0.11()1()11httF tS tee 0.22()1tF te 11121210.110.2Pr(,)(),()(1),(1)ttTt TtF tF tee 它表示两种资产从现在开始，到t时刻时都违约的概率。0.2(0.5红色），（蓝色）图14.3 两种资产同时违约的累积概率分布图14.4 两种资产同时违约的概率密度分布0.2(0.5红色），（蓝色）信用衍生品定价信用衍生品定价在度量资产组合的风险时，通常采用以下的过程来进行计算。第一步，计

25、算出资产组合中每种单一资产的风险。第二步，找到一个合适的方法来将组合中单一风险进行综合。最后，在确定了资产组合综合方式的基础上，可以进一步度量组合的风险。背景介绍背景介绍例例14.1(Measuring and Optimizing Portfolio Credit Risk:A Copula-based Approach):一个信用资产组合有10项信用资产，每项价值为100,000欧元，估计的危险率如表14.1所示。表14.1 债务人情况Obligor(i)Credit RatingNiRiri=ri+csihiNecchi(1)CCC1000000.53800.15050.266799Da

26、nieli(2)CCC1000000.51130.15050.250231Premuda(3)BBB1000000.38520.04100.008146Benetton(4)BBB1000000.32740.04100.007443FIAT(5)BB1000000.17090.05550.023567Ericsson(6)B1000000.53800.06050.053808Olivetti(7)B1000000.51130.06050.050792Merloni(8)A1000000.38520.03720.001953Impregilo(9)B1000000.32740.06050.036

27、647Edison(10)B1000000.17090.06050.029626计算步骤计算步骤设 的分布函数为 。可用Copula函数得生存时间的联合分布如下：如果使用正态Copula函数，即为：其中 为10维正态累积分布函数，其相关系数矩阵 可利用RiskMetrics Group的CreditManager得到。iT()iF t121011221010(,)(),(),()F t ttC F tF tFt11112101011221010(,)(),(),()F t ttF tF tFt 10表14.2 相关性矩阵1.00000.33670.34900.33430.38650.38040

28、.39930.37970.34330.1190,0.33671.00000.47250.50210.66860.48530.40560.50400.55190.3334,0.34900.47251.00000.31330.46210.41890.26940.35550.44560.2873,0.33430.50210.31331.00000.59450.49890.44220.48990.56050.2936,0.38650.66860.46210.59451.00000.59520.60210.47520.64570.4000,0.38040.48530.41890.49890.59521.

29、00000.54550.44570.50420.3455,0.39930.40560.26940.44220.60210.54551.00000.46930.55530.3876,0.37970.50400.35550.48990.47520.44570.46931.00000.41180.3297,0.34330.55190.44560.56050.64570.50420.55530.41181.00000.4728,0.11900.33340.28730.29360.40000.34550.38760.32970.47281.0000为模拟相关生存时间，引进另一列随即变量 ，使得：1210

30、,Y YY111111222101010(),(),()YF tYF tYFt 则Y与T之间一一映射。此时，模拟 等价于模拟 同时之间的相关性即为相关信用资产的相关性。|1,2,10iT i|1,2,10iY i 由此，有如下模拟机制：（1）模拟 满足n维正态分布，相关系数矩阵为 。（2）根据 得到 。因为每个信用资产的风险率为常数,所以生存时间T的密度函数为 。（3）违约时间即为（4）假设利率为常数 ，合同期限为2年。若 ，则合同的当前价值为根据上述步骤，可以得到该合约的价格应为57,843.504欧元。12,nY YY1()iiiTFN Y12,1,2,nT TT in hthe12min(,)nTT TT0.1r 2T 100000rTe