CAD技术应用-3--精品课件.ppt
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1、宗子安谌霖霖第三章 几何构型与几何变换一、概述一、概述1.几何构型的基本概念几何构型的基本概念 内部模型:存放在计算机系统内进行内部模型:存放在计算机系统内进行各种处理的几何模型。各种处理的几何模型。外部模型:实际中存在的或是设计人外部模型:实际中存在的或是设计人员构思的几何模型。员构思的几何模型。两者关系两者关系:以内部模型模拟外部模型。两者:以内部模型模拟外部模型。两者之间完全相符是理想状态,但实之间完全相符是理想状态,但实际上做不到,很多情况下也无必际上做不到,很多情况下也无必要完全相同。要完全相同。几何构型:研究如何将空间形体以计算机几何构型:研究如何将空间形体以计算机能够理解的形式定
2、义,应用适当的数据结能够理解的形式定义,应用适当的数据结构对形状定义进行描述。以文件的形式存构对形状定义进行描述。以文件的形式存放在计算机中,要求尽可能真实、全面、放在计算机中,要求尽可能真实、全面、准确地描述空间形体,并可通过不同的处准确地描述空间形体,并可通过不同的处理或运算产生各种所需的信息,为设计、理或运算产生各种所需的信息,为设计、制造阶段所运用。制造阶段所运用。点、线、面、体是构造空间形体的基本元素。点、线、面、体是构造空间形体的基本元素。目前目前CAD系统中最常用的几何模型有线系统中最常用的几何模型有线架架(框框)模型、表面模型,实体模型。模型、表面模型,实体模型。2.三维形体的
3、几何模型三维形体的几何模型(1)线架线架(框框)模型模型用点、线、线框表示实际的三维形用点、线、线框表示实际的三维形体。其数据结构主要描述每一构架棱边,体。其数据结构主要描述每一构架棱边,通常包括顶点的坐标与编号;各棱边起通常包括顶点的坐标与编号;各棱边起点、终点的编号。点、终点的编号。特点:为最简单的几何模型,所占内存少,特点:为最简单的几何模型,所占内存少,易于处理,应用十分广泛。易于处理,应用十分广泛。缺点:虽然描述了缺点:虽然描述了实际形体表面不连续处实际形体表面不连续处的的准确信息,但几乎不包含实际形体表准确信息,但几乎不包含实际形体表面的信息及内部特征信息,对实际形面的信息及内部特
4、征信息,对实际形体的描述不完全,对它的理解有时也体的描述不完全,对它的理解有时也会产生歧义。会产生歧义。(a)(c)(b)例如下面三个模型是不同的。但它们的例如下面三个模型是不同的。但它们的线架模型却相同。线架模型不能作为工程分析线架模型却相同。线架模型不能作为工程分析时用的几何模型,也不能用于数控加工,通常时用的几何模型,也不能用于数控加工,通常用于图形处理。用于图形处理。(2)表面模型表面模型表面模型是比线框模型更为复杂的几表面模型是比线框模型更为复杂的几何模型,可以在线框模型的基础上定义表何模型,可以在线框模型的基础上定义表面生成,也可以通过定义多个截面用导线面生成,也可以通过定义多个截
5、面用导线生成如下面图例所示。生成如下面图例所示。表面模型的数据结构在线框模型的基础表面模型的数据结构在线框模型的基础上增加了面的有关信息,其中表面特征码用上增加了面的有关信息,其中表面特征码用于表示面的类型,如可以用特征码于表示面的类型,如可以用特征码“0”表示表示平面,特征码平面,特征码“1”表示球面等,同时每条棱表示球面等,同时每条棱边还用向量表示,边还用向量表示,表面的有形部分定义在有表面的有形部分定义在有向棱边的左边向棱边的左边,见下面图例。,见下面图例。特点特点:消除了线框模型上许多模糊的地方,更:消除了线框模型上许多模糊的地方,更为精确地定义了实际形体的形状,如较为精确地定义了实际
6、形体的形状,如较为精确地描述了表面形状及结构的范围,为精确地描述了表面形状及结构的范围,可以作为数控加工中的几何模型。可以作为数控加工中的几何模型。缺点缺点:由于不包含:由于不包含实际形体内部特征信息实际形体内部特征信息,很,很多工程分析无法进行,如有限元分析等。多工程分析无法进行,如有限元分析等。(3)实体模型实体模型目前目前CAD系统中最高水平的几何模系统中最高水平的几何模型,其数据结构在表面模型的基础上又型,其数据结构在表面模型的基础上又增加了实体的内部特征信息增加了实体的内部特征信息,如材料类,如材料类型、体积、重心、质量、惯性矩、惯性型、体积、重心、质量、惯性矩、惯性积等。积等。特点
7、:最为全面地描述了实际形体,可以特点:最为全面地描述了实际形体,可以通过剖切了解其内部结构,可以进通过剖切了解其内部结构,可以进行各种工程分析和数控加工分析。行各种工程分析和数控加工分析。缺点:占用内存大,其数据结构及相应算缺点:占用内存大,其数据结构及相应算法十分复杂,通常处理速度要慢得法十分复杂,通常处理速度要慢得多。多。(4)实体模型构造法实体模型构造法建立一个实体模型主要有两种方法:建立一个实体模型主要有两种方法:边界法:确定实体模型边界,采用拓边界法:确定实体模型边界,采用拓扑变形方法产生实体模型。扑变形方法产生实体模型。体素法:下面介绍。体素法:下面介绍。体素法体素法:就是在系统中
8、预置若干种简单几何:就是在系统中预置若干种简单几何形状的实体基本元素,如立方体、形状的实体基本元素,如立方体、球体、圆柱体等,称之为体素,再球体、圆柱体等,称之为体素,再利用这些体素进行联接、去除、拼利用这些体素进行联接、去除、拼合等手段组合成复杂的实体模型。合等手段组合成复杂的实体模型。也可以用一个简单的数学公式表示:也可以用一个简单的数学公式表示:V=G,OPV:待构造的实体模型G:基本体素集合 G=GijOP:布尔运算符的集合,OP=(并)(交)(差)C(补)下面以一个实例说明这一过程。下面以一个实例说明这一过程。ac=abE=cdbd:复制c并旋转903.几何变换的基本概念几何变换的基
9、本概念(1)几何变换的基本问题:研究不同的几几何变换的基本问题:研究不同的几何变换所遵循的法则、变换的形式、何变换所遵循的法则、变换的形式、性质。性质。(2)基本图形变换:缩放、旋转、平移。基本图形变换:缩放、旋转、平移。(3)几何变换的实质是几何变换的实质是点的坐标变换点的坐标变换,通,通常采用线性代数中矩阵计算来求解。常采用线性代数中矩阵计算来求解。4.二维几何变换二维几何变换图形是空间点的集合,图形的几何图形是空间点的集合,图形的几何变换实质就是点集中点的坐标变换,为此变换实质就是点集中点的坐标变换,为此在研究图形的几何变换之前,先讨论平面在研究图形的几何变换之前,先讨论平面图形几何变换
10、中的点的坐标变换。图形几何变换中的点的坐标变换。(1)点的坐标变换点的坐标变换二维空间中的点二维空间中的点P可用向量可用向量(x,y)表示。表示。设设 A,B,T均为矩阵且满足:均为矩阵且满足:AT=B当当A为一个点或一组点的坐标矩阵,为一个点或一组点的坐标矩阵,T为为变换矩阵时,则上面运算完成了一次几何变换矩阵时,则上面运算完成了一次几何变换,变换,B为变换的结果也是坐标矩阵。为变换的结果也是坐标矩阵。下面分析某点下面分析某点P与一个与一个22阶变换矩阶变换矩阵相乘会产生什么结果。阵相乘会产生什么结果。y,xeydx by,axebday x,2221点点P(x,y)通过上面变换而产生了一个
11、通过上面变换而产生了一个新点新点P(x,y),且且x=ax+by,y=dx+ey下面分几种情况分析变换的意义:下面分几种情况分析变换的意义:当当a=e=1 b=d=0时时显然当显然当 为单位矩阵时,为单位矩阵时,P点位置不变。点位置不变。1001Ty ,xy x,1001 y x,当当e=1,d=b=0时时y ,xy ax,100a y x,此时此时p 的的x坐标分量按比例变化,而坐标分量按比例变化,而y坐坐标分量不变,变化情况如下图。标分量不变,变化情况如下图。p p p 0yx 当当d=b=0 时时又可以分以下几种情况讨论:又可以分以下几种情况讨论:y ,xey ax,e00a y x,有
12、有当当a=e1时,时,p点坐标以原点为中心放大点坐标以原点为中心放大当当0a=e1时,时,p点坐标以原点为中心缩小点坐标以原点为中心缩小等比例等比例变换变换 当当a或或e中一个为中一个为1而另一个为而另一个为1时,则时,则产生镜面变换,变化情况如下图:产生镜面变换,变化情况如下图:p p y 0 1001T1001Ty 0 p p x 当当a和和e均为均为1时,则产生中心反射变换。时,则产生中心反射变换。如下图所示:如下图所示:1001Tp p y x 0 当 时,将产生旋转变换。cossinsincosT),(ycos xsin,ysin xcoscossin-sincos y x,yx此时
13、,此时,P点绕原点旋转点绕原点旋转 角且当角且当 0时,逆时针方向旋转,当时,逆时针方向旋转,当 0时顺时针方时顺时针方向旋转,示意图如下:向旋转,示意图如下:yxpp0以上分析中已介绍了缩放,旋转变换,以上分析中已介绍了缩放,旋转变换,但尚未解决平移变换的问题,科学家已证但尚未解决平移变换的问题,科学家已证明明在变换矩阵为在变换矩阵为22时是无法解决平移变时是无法解决平移变换的换的。为了解决这一问题有必要引入齐次。为了解决这一问题有必要引入齐次坐标及齐次变换的概念。坐标及齐次变换的概念。(2)齐次坐标变换齐次坐标变换22阶变换矩阵无法解决点的平移阶变换矩阵无法解决点的平移问题是因为在变换矩阵
14、中问题是因为在变换矩阵中无法引入平无法引入平移参数移参数 i、j,使,使P(x,y)点在平移后变为点在平移后变为P(x+i y+j)。为此须改造变换矩阵变为为此须改造变换矩阵变为32阶矩阵,即阶矩阵,即23j10i01 Ti:x方向的平移参数方向的平移参数j:y方向的平移参数方向的平移参数即完美地解决即完美地解决P点的平移问题。点的平移问题。相应地相应地P点坐标矩阵也要改为点坐标矩阵也要改为(x,y,1)。由:由:)y x(j)y i,(xj10i01 1)y (x 象这种以三维向量表示二维向量或象这种以三维向量表示二维向量或以以n+1 维向量表示维向量表示n维向量的方法称为齐次坐维向量的方法
15、称为齐次坐标表示法标表示法,以齐次坐标为基础的几何变换,以齐次坐标为基础的几何变换称为齐次坐标变换。称为齐次坐标变换。按以上思路我们还可改变变换矩阵按以上思路我们还可改变变换矩阵T为为33的满秩的矩阵的满秩的矩阵(所谓满秩的矩阵,即该所谓满秩的矩阵,即该矩阵的行列式之值不为矩阵的行列式之值不为0)则可以增加更多的则可以增加更多的变换功解。此时变换功解。此时T为:为:sjinebmdaT可以把可以把T分割成分割成4个分块子矩阵,其中个分块子矩阵,其中每一个子矩阵可以完成不同的变换。每一个子矩阵可以完成不同的变换。为为22阶子矩阵,使图形产生比例、阶子矩阵,使图形产生比例、旋转、反射变换。旋转、反
16、射变换。为为21阶子矩阵,使图形产生透视变换。阶子矩阵,使图形产生透视变换。为为12阶子矩阵,使图形产生平移变换。阶子矩阵,使图形产生平移变换。为为11阶子矩阵,使图形产生全比例变换。阶子矩阵,使图形产生全比例变换。S一般取值为一般取值为1。(3)二维图形的几何变换二维图形的几何变换任一图形均可视为一组特征点的集任一图形均可视为一组特征点的集合。因此二维图形的几何变换,就是该合。因此二维图形的几何变换,就是该点集的坐标变换。下面只介绍几种常见点集的坐标变换。下面只介绍几种常见的变换矩阵。的变换矩阵。图形以原点为中心的缩放图形以原点为中心的缩放1000k000kTk1 放大放大0k1 缩小缩小
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