A探索勾股定理证明演示教学课件.ppt

1、一、网格图证明法一、网格图证明法观察右边两观察右边两幅图：幅图：填表（每个小正方形的面积为单位填表（每个小正方形的面积为单位1）：）：A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积左图左图右图右图4 4？怎样计算怎样计算正方形正方形C的面积呢？的面积呢？9 9 1616 9 9 “割割”“补补”“拼拼”方法一：方法一：方法二：方法二：方法三：方法三：分分割割为四个直为四个直角三角形和一角三角形和一个小正方形个小正方形补补成大正方形，成大正方形，用大正方形的面用大正方形的面积减去四个直角积减去四个直角三角形的面积三角形的面积将几个小块将几个小块拼拼成成一个正方形，如一个正方形，如图中两块红色图中两块

2、红色（或绿色）可拼（或绿色）可拼成一个小正方形成一个小正方形分析表中数据，你发现了什么？分析表中数据，你发现了什么？A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积左图左图4913右图右图16925CBASSS结论 以直角三角形两直角边为以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积斜边为边长的正方形的面积.CABABC 正方形周边上正方形周边上的格点数的格点数a=12正方形内部的正方形内部的格点数格点数b=13利用皮克公式利用皮克公式112Sab所以，正方形所以，正方形C的的面积为：面积为：（单位面积）（单位面积）112 13 118

3、2 返回返回图图1-1图图1-2二、拼图法二、拼图法cab1、准备四个全等的直角三角形（设直角三、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为角形的两条直角边分别为a，b，斜边为斜边为c）；2、你能用这四个直角三角形拼成一个正、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看方形吗？拼一拼试试看3、你拼的正方形中是否含有以斜边、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正的正方形？方形？4、你能否就你拼出的图说明、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？cabcabcabcab(a+b)2=c2+4ab2a2+2ab+b2=c2+2aba2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面

4、积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为(a+b)2c2+4ab2cabcabcabcab c2=4ab2+(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为c24ab2-(b-a)2aabbcc三、三、“总统证法总统证法”.美国第二十任总统伽菲尔德的证法美国第二十任总统伽菲尔德的证法如图，梯形由三个直角三角形组合而如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式成，利用面积公式，列出代数关系式,得得化简化简,得得2111()()2.222ab baabc 222.abc四、青朱出

5、入图：四、青朱出入图：以刘徽的以刘徽的“青朱出入图青朱出入图”为代表，证明不需用为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证无字证明明”。约公元约公元 263 年，三国时代魏国的数学家年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍刘徽为古籍九章算术九章算术作注释时，用作注释时，用“出入相补法出入相补法”证明了勾股定理。证明了勾股定理。abc以刘徽的以刘徽的“青朱出入图青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学为代表

6、，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为称为“无字证明无字证明”。做法是将一条垂直线和一条水做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成平线，将较大直角边的正方形分成 4 4 分。之后依照图中的颜色分。之后依照图中的颜色,将两将两个直角边的正方形填入斜边正方形个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明。之中，便可完成定理的证明。单击图片打开单击图片打开五、五、在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼

7、图在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明证明abcABCDEFO意大利文艺复兴时意大利文艺复兴时代 的 著 名 画 家代 的 著 名 画 家达达芬奇对勾股定芬奇对勾股定理进行了研究。理进行了研究。六：达六：达芬奇证法芬奇证法AaBCbDEFOABCDEF国际调查组报告国际调查组报告n 约公元前约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理按照毕达哥拉斯定理(勾股定理勾股定理)，若正方形边，若正方形边长是

8、长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何线段都可公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第立在任何线段都可公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的一次数学危机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。海。n 不能表示成两个整数之比的数，不能表示成两个整数之比

9、的数，15世纪意大利著名画家世纪意大利著名画家达达.芬奇称之为芬奇称之为“无理的数无理的数”，无理数的英文，无理数的英文“irrational”原义原义就是就是“不可比不可比”。第一次数学危机一直持续到。第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基世纪实数的基础建立以后才圆满解决。我们将在下一章学习有关实数的知识础建立以后才圆满解决。我们将在下一章学习有关实数的知识。勾股定理与第一次数学危机勾股定理与第一次数学危机11？例例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方到一个男孩头顶正上方4000米处，过了米处，过了20秒，秒，飞机距离这个男孩飞机距离

10、这个男孩5000米，飞机每小时飞行多米，飞机每小时飞行多少千米？少千米？4000500050004000CBADABC蚂蚁沿图中的折线从蚂蚁沿图中的折线从A点爬到点爬到D点，一共爬了多少厘点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为米？（小方格的边长为1厘米）厘米）GFE只要求答案只要求答案 议一议：用数格子的方法判断图中三角形的三议一议：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足边长是否满足a2+b2=c2？aabbcc3、等腰三角形底边上的高为、等腰三角形底边上的高为8，周长为，周长为32，求这个，求这个三角形的面积三角形的面积816-XxDABC解：设这个三角形为解：设这个三角形为ABC，高

11、为高为AD，设，设AB为为X，则，则BC为（为（32-2X），），BD是（是（16x)由勾股定理得：由勾股定理得：X2=(16-X)2+82即即X2=256-32X+X2+64 X=10 SABC=BCAD/2=2 6 8/2=48 试一试试一试 有一个水池有一个水池,水面是一个边长为水面是一个边长为10尺的正方形尺的正方形,在在水池正中央有一根新生的芦苇水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面它高出水面1尺尺.如果把这根如果把这根芦苇拉向岸边芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少的深度和这根芦苇的长度各是多少?

12、5尺1尺x 尺x2+52=(x+1)2x=12水池水池补充：如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.（3）如图在）如图在ABC中，中，ACB=90，CDAB，D为为垂足垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm.求求 ABC的面积；的面积；斜边斜边AB的长；的长；斜边斜边AB上的高上的高CD的长。的长。DABC欣赏有趣的图形：欣赏有趣的图形：11FEDCBAwzyx111111111111111毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树螺形图螺形图补充练习：补充练习：1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东、放学以

13、后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是是40米米/分，小红用分，小红用15分钟到家，小颖用分钟到家，小颖用20分钟到家，分钟到家，小红和小颖家的距离为小红和小颖家的距离为 （）A、600米；米；B、800米；米；C、1000米；米；D、不能确定、不能确定2、直角三角形两直角边分别为、直角三角形两直角边分别为5厘米、厘米、12厘米，那么厘米，那么斜边上的高是斜边上的高是 （）A、6厘米；厘米；B、8厘米；厘米；C、80/13厘米；厘米；D、60/13厘米；厘米；CD2.如图，正方形网格中的如图，正方形网格

14、中的ABC，若，若小方格边长为小方格边长为1，则，则ABC是（是（）（A）直角三角形）直角三角形(B)锐角三角形锐角三角形 (C)钝角三角形钝角三角形 (D)以上答案都不对以上答案都不对 ABC3.在在ABC中，中，AB=13，AC=20，高，高AD=12，则则BC的长为的长为CA20B13D12165AC20B13D1251621或或11 如果电梯的长、宽、高分别是如果电梯的长、宽、高分别是1.5、1.5、2.2米，米，那么能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少？那么能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？2 2、如

15、图有两颗树，一棵高、如图有两颗树，一棵高8m8m，另一棵高，另一棵高2m2m，两树相距两树相距8m8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？另一棵树的树梢，至少飞了多少米？8m2m8mA AB BC CD DE E1.如图，两个正方形的面积分别为如图，两个正方形的面积分别为64，49，则则AC=()ADC64492.由四根木棒，长度分别为由四根木棒，长度分别为3，4，5，6 若去其中三根木棒组呈三角形，有若去其中三根木棒组呈三角形，有()中取法，其中，能构成直角三角形的是中取法，其中，能构成直角三角形的是（）2.假期中，王强和同学到某海岛上去玩

16、探宝游假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又千米，又往北走往北走2千米，遇到障碍后又往西走千米，遇到障碍后又往西走3千米，千米，在折向北走到在折向北走到6千米处往东一拐，千米处往东一拐，仅走仅走1千米就找到宝藏，问登陆点千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？的距离是多少千米？8AB2361C 5.如图，长方体的长为如图，长方体的长为15 cm，宽为，宽为 10 cm，高为，高为20 cm，点，点B离点离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？，需要爬行的最短距离是多少？BAC155 8.如图,四边形ABCD中,B=D=90,C=45,AD=1,BC=2,求CD的长.ABCDE